Varianz nach 3 Spielen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sie machen folgende Wette: Sie gewinnen 100 Euro falls bei einem Wurf eines nicht
fairen Würfel mit P(6) = 1/3 die 6 fällt.
Wie groß sollte ein fairer Gewinn für den anderen Spieler sein, im Falle wo nicht die 6
fällt?
b) Wir groß ist der Erwartungswert der Gewinnsumme nach 3 Spielen?
c) Wir groß ist die Abweichung vom Erwartungswert der Gewinnsumme nach 3
Spielen? |
Hier mal meine Vermutungen dazu:
a) ziemlich sicher 50.
b) hier gehe ich mal daon aus das das Ergebnis von a nicht mit eingerechnet werden soll denn sonst wäre meine Erwartung ja immer 0.
Also:
[mm]E[X]=100\bruch{1}{3}=\bruch{100}{3}[/mm]
Das ganze dann noch mal 3 wegen den 3 Spielen ergibt E[X]=100.
c)Hier bin ich am unsichersten wie die Formel richtig zu nutzen ist:
[mm] VAR[X]=(100-\bruch{100}{3})^2\bruch{1}{3}=\bruch{40000}{27}[/mm]
Das wäre dann ja die Varianz nach einem Spiel.
Falls das richtig ist müsste man das ganze noch mit 3 multiplizieren denke ich mal.
Wäre super wenn mal einer sagen kann ob das so stimmt.
Danke
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Do 27.08.2009 | | Autor: | koepper |
Guten Abend,
> Sie machen folgende Wette: Sie gewinnen 100 Euro falls bei
> einem Wurf eines nicht
> fairen Würfel mit P(6) = 1/3 die 6 fällt.
> Wie groß sollte ein fairer Gewinn für den anderen
> Spieler sein, im Falle wo nicht die 6
> fällt?
> b) Wir groß ist der Erwartungswert der Gewinnsumme nach 3
> Spielen?
> c) Wir groß ist die Abweichung vom Erwartungswert der
> Gewinnsumme nach 3
> Spielen?
> Hier mal meine Vermutungen dazu:
> a) ziemlich sicher 50.
stimmt.
> b) hier gehe ich mal daon aus das das Ergebnis von a nicht
> mit eingerechnet werden soll denn sonst wäre meine
> Erwartung ja immer 0.
eben.
> Also:
> [mm]E[X]=100\bruch{1}{3}=\bruch{100}{3}[/mm]
> Das ganze dann noch mal 3 wegen den 3 Spielen ergibt
> E[X]=100.
ja.
> c)Hier bin ich am unsichersten wie die Formel richtig zu
> nutzen ist:
seltsame Aufgabenstellung. Wenn hier die Varianz gemeint wäre müßte es eher heißen "Erwartungswert der quadratischen Abweichung vom Erwartungswert der ZV:Gewinnsumme"
> [mm]VAR[X]=(100-\bruch{100}{3})^2\bruch{1}{3}=\bruch{40000}{27}[/mm]
> Das wäre dann ja die Varianz nach einem Spiel.
> Falls das richtig ist müsste man das ganze noch mit 3
> multiplizieren denke ich mal.
das geht so nicht.
Am übersichtlichsten geht es mit einer Tabelle: Du berechnest für alle 4 Fälle (kein Gewinn, 1, 2, oder 3 Gewinne) die Gewinnsumme und die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Dann den Erwartungswert der Wsk. (100 EUR) jeweils subtrahieren und die Differenz quadrieren. von diesen Werten dann unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeiten wieder den Erwartungswert berechnen. Mit dem Verschiebungssatz geht es auch und noch einfacher geht es hier zufällig auch direkt über die Varianzformel für die Bin.-Verteilung. Aber ich würde zum Verständnis doch erstmal die Tabelle empfehlen.
LG
Will
> Wäre super wenn mal einer sagen kann ob das so stimmt.
> Danke
> Marc
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Also zunächst mal die Tabelle:
0 € (kein Gewinn): 8/27
100€ (1 Gewinn): 12/27
200€ (2 Gewinne): 6/27
300€ (3 Gewinne): 1/27
So ich mache das ganze jetzt mal mit einer anderen Formel, es wäre super wenn du mir mal schreiben kannst wie genau "von diesen Werten dann unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeiten wieder den Erwartungswert berechnen" praktisch zu machen ist.
[mm]Var(x)=(0-100)^2\bruch{8}{27}+(100-100)^2\bruch{12}{27}+(200-100)^2\bruch{6}{27}+(300-100)^2\bruch{1}{27}=\bruch{80000}{27}+\bruch{60000}{27}+\bruch{40000}{27}=6666,66[/mm]
selbiges erhalte ich über den Verschiebungssatz.
Wie ginge das denn jetzt über die Binomialverteilung?
Die Formel für die Varianz ist dort ja:
[mm] Var(x)=n\phi(1-\phi)=3\bruch{1}{3}(\bruch{2}{3})=\bruch{2}{3}[/mm]
Ist ja nicht ganz dasselbe, irgendwo muss da doch noch irgendwas einfließen??
Vielen Dank für die Hilfe
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Do 03.09.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo Marc,
tut mir leid, dass du so lange warten mußtest. Stochastik scheint bei den anderen Helfern nicht ganz so beliebt zu sein.
> Also zunächst mal die Tabelle:
> 0 € (kein Gewinn): 8/27
> 100€ (1 Gewinn): 12/27
> 200€ (2 Gewinne): 6/27
> 300€ (3 Gewinne): 1/27
die ist richtig.
> So ich mache das ganze jetzt mal mit einer anderen Formel,
> es wäre super wenn du mir mal schreiben kannst wie genau
> "von diesen Werten dann unter Berücksichtigung der
> Wahrscheinlichkeiten wieder den Erwartungswert berechnen"
> praktisch zu machen ist.
> [mm]Var(x)=(0-100)^2\bruch{8}{27}+(100-100)^2\bruch{12}{27}+(200-100)^2\bruch{6}{27}+(300-100)^2\bruch{1}{27}=\bruch{80000}{27}+\bruch{60000}{27}+\bruch{40000}{27}=6666,66[/mm]
auch das ist vollkommen richtig.
Was ich mit einer Tabelle vorgeschlagen hatte, machst du hier mit der Formel.
Das ist nicht ganz so durchsichtig aber dafür schneller 
Schau diese Formel mal genau an. Du berechnest hier de facto den Erwartungswert der quadratischen Abweichung der möglichen Spielergebnisse vom Erwartungswert (=100): Die quadrierten Differenzen werden jeweils mit der zugehörigen Wsk. multipliziert und dann addiert.
> selbiges erhalte ich über den Verschiebungssatz.
> Wie ginge das denn jetzt über die Binomialverteilung?
> Die Formel für die Varianz ist dort ja:
>
> [mm]Var(x)=n\phi(1-\phi)=3\bruch{1}{3}(\bruch{2}{3})=\bruch{2}{3}[/mm]
> Ist ja nicht ganz dasselbe, irgendwo muss da doch noch
> irgendwas einfließen??
ja. Wegen $Var(r [mm] \cdot [/mm] X) = [mm] r^2 \cdot [/mm] Var(X)$ und Gewinn = 100 * Anzahl der gewonnenen Spiele, ist
Var(Gewinn) = [mm] $100^2 \cdot [/mm] Var(X) = [mm] 6666{,}\overline{6}$.
[/mm]
LG
Will
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