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| Aufgabe | Sei F(s,{h}) = c ln[ [mm] \int [/mm] dt g(s-t) h(t) ] + (1-c) ln[ [mm] \int [/mm] dt (1-g(s-t)) h(t) ]
mit 0<=c<=1. g hat Wertebereich ]0,1[ und ist streng monoton. Die Funktion h ist normiert und positiv definit: [mm] \int [/mm] dt h(t) = 1 und [mm] h(t)\ge0 [/mm] für alle t. Die Zahl s und die Funktion h werden so gewählt, dass F maximal wird. Zeige: h ist die delta-Funktion. |
Die Originalaufgabe lautet: bestimme h. Ich bin mir aber ziemlich sicher, dass die delta-Funktion herauskommt.
Ich habe eine Beweisidee, für die ich h diskretisiere: h(t) = [mm] \sum_j (n_j)^2 \delta(t-t_j). [/mm] Das Gitter [mm] {t_j} [/mm] sei fest vorgegeben. Die Koeffizienten werden quadratisch geschrieben, weil h positiv definit. Dann Lagrange-Multiplikator an F: maximiere F + [mm] \lambda (\sum_j (n_j)^2 [/mm] - 1). Führt auf ein Gleichungssystem, das nur lösbar ist, wenn genau ein [mm] n_j\ne0.
[/mm]
Ich suche eine elegantere Beweisidee.
Zulässige Vereinfachungen: Setze erstmal c=1/2. Setze h=Gaußkurve und zeige sigma->0.
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Der Fall c=1/2 ist nicht, wie ich gestern gedacht hatte, besonders einfach, sondern speziell: dort und nur dort scheint jede symmetrische Funktion h das gleiche F zu liefern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 27.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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