Variationsrechnung mit N.B. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Mo 21.08.2006 | | Autor: | nik03 |
Hallo,
habe folgendes Variationsproblem mit Nebenbedingung:
Bestimme die Extremalen des Funktionals:
[mm] I(y) = \int_{0}^{\pi}{2y(x)\sin(x)+y'(x)^2 dx} [/mm]
[mm] mit \quad y \in C^1 [0,\pi], y(0)=y(\pi)=0 \quad und \int_{0}^{\pi}{y(x)dx=1}[/mm]
Da ich keine Lösung für diese Übungsaufgabe habe und ich mir nicht ganz sicher bin ob ich hier richtig liege, hat ja vielleicht jemand Lust es nachzuvollziehen und seine Meinung zu äussern.
Hier meine Rechnung:
Lagrange-Funktion: [mm] 2y(x)\sin(x)+y'(x)^2 +\lambda y(x)[/mm]
Euler-Funktion: [mm] 2\sin(x)+\lambda-2y''(x)=0[/mm]
daraus folgt nach Auflösung nach y'' und zweimaliger Integration nach x:
[mm] y(x)=-\sin(x)+\frac{\lambda}{4}x^2 +C_{1}x+C_{2}[/mm]
Bestimmung der Konstanten:
-Aus erster Bedingung folgt C2=0
-Aus zweiter Bedingung folgt [mm] C_{1}=-\frac{\lambda \pi}{4}[/mm]
-Aus Nebenbedingung folgt bei mir: [mm] \lambda=-\frac{72}{\pi^3}[/mm]
Integral zu N.B.: [mm] \int_{0}^{\pi}{-\sin(x)+\frac{\lambda}{4}x^2 +C_{1}x+C_{2}dx}=1[/mm]
Extremale am Ende: [mm] y(x)=\frac{18}{\pi^2}x-\frac{18}{\pi^3}x^2 -\sin(x)[/mm]
Wäre klasse wenn sich das jemand mal anschauen könnte.
Thanks
nik03
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Hallo nik,
also alles genau durchrechnen werde ich jetzt nicht, aber auf den ersten Blick und vom Vorgehen her sieht das richtig aus!
Gruß
Matthias
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