Vektor-Vektor-Produkte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie den allgemeinen Ausdruck für [mm] \vec{x} [/mm] in der Beziehung [mm] A\vec{x}=\vec{b} [/mm] mit
A= [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 4 } [/mm] ; [mm] \vec{b}=\vektor{2 \\ 3 \\ 7}
[/mm]
Wieso können Sie aus Ihrer Antwort sofort ablesen, dass die Matrix A nicht invertierbar ist? Daher können SIe hier den Lösungsvektor [mm] \vec{x} [/mm] nicht aus [mm] \vec{x}=A^{-1}\vec{b} [/mm] gewinnen.
Zeigen Sie durch Angabe von je einem Beispiel für den homogenen und den inhomogenen Fall, dass es leicht möglich ist, direkt aus der Beziehung [mm] \vec{x}=B\vec{b} [/mm] Matrizen B zu konstruieren, die den Vektor [mm] \vec{b} [/mm] in den Vektor [mm] \vec{x} [/mm] überführen. Diagnostizieren Sie in den beiden Fälle. warum Ihre jeweilige Beispielmatrix B kein geeigneter Kandidat für die Beziehung [mm] B=A^{-1} [/mm] ist, und verallgemeinern Sie die Siagnosen. |
Hallo,
ich rechne grad alte Klausuren für eine Prüfung nächste Woche durch und da ich bei ziemlich vielen Aufgaben Probleme hab, wird es wohl noch die ein oder andere Frage geben ;)
Also, bei dieser Aufgabe: normalerweise ist es ja mit folgender Beziehung möglich, aus 2 Spaltenvektoren eine Matrix zu bekommen:
[mm] \vec{v}^{T} [/mm] * [mm] \vec{w} [/mm] = A
Ich habs mal so probiert:
[mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 7}*\vektor{x \\ y \\ z}=B
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 2x & 2y & 2z \\ 3x & 3y & 3z \\ 7x & 7y & 7z }
[/mm]
Ist der Ansatz richtig?
Und wie geh ich dann weiter vor? A mit B vergleichen? Das führt nämlich zu keinem gescheiten Ergebnis :(
Vielen Dank schonmal für Eure Hilfe!!
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie den allgemeinen Ausdruck für [mm]\vec{x}[/mm] in der
> Beziehung [mm]A\vec{x}=\vec{b}[/mm] mit
> A= [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 4 }[/mm] ;
> [mm]\vec{b}=\vektor{2 \\ 3 \\ 7}[/mm]
> Wieso können Sie aus Ihrer
> Antwort sofort ablesen, dass die Matrix A nicht
> invertierbar ist? Daher können SIe hier den Lösungsvektor
> [mm]\vec{x}[/mm] nicht aus [mm]\vec{x}=A^{-1}\vec{b}[/mm] gewinnen.
> Zeigen Sie durch Angabe von je einem Beispiel für den
> homogenen und den inhomogenen Fall, dass es leicht möglich
> ist, direkt aus der Beziehung [mm]\vec{x}=B\vec{b}[/mm] Matrizen B
> zu konstruieren, die den Vektor [mm]\vec{b}[/mm] in den Vektor
> [mm]\vec{x}[/mm] überführen. Diagnostizieren Sie in den beiden
> Fälle. warum Ihre jeweilige Beispielmatrix B kein
> geeigneter Kandidat für die Beziehung [mm]B=A^{-1}[/mm] ist, und
> verallgemeinern Sie die Siagnosen.
> Hallo,
>
> ich rechne grad alte Klausuren für eine Prüfung nächste
> Woche durch und da ich bei ziemlich vielen Aufgaben
> Probleme hab, wird es wohl noch die ein oder andere Frage
> geben ;)
>
> Also, bei dieser Aufgabe: normalerweise ist es ja mit
> folgender Beziehung möglich, aus 2 Spaltenvektoren eine
> Matrix zu bekommen:
> [mm]\vec{v}^{T}[/mm] * [mm]\vec{w}[/mm] = A
>
> Ich habs mal so probiert:
> [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 7}*\vektor{x \\ y \\ z}=B[/mm]
> [mm]B=\pmat{ 2x & 2y & 2z \\ 3x & 3y & 3z \\ 7x & 7y & 7z }[/mm]
>
> Ist der Ansatz richtig?
Hallo,
nein, das ist ziemlich verkorkst - ich weiß nicht recht, was Du da gerechnet hast.
Was hier zu tun ist:
Du sollst erstmal das Gleichungssystem
[mm] A\vec{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{2 \\ 3 \\ 7} [/mm] lösen.
Welche Methode Du verwendest ist eigentlich egal, flott gehts, wenn Du die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform bringst (mit Gauß).
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Dankeschön! :)
Also ich hab das LGS jetzt mal gelöst und den Vektor
[mm] \vec{x}=\vektor{12 \\ 5 \\ 0} [/mm]
rausbekommen.
Sollte eigentlich stimmen. Hab die Matrix mit [mm] \vec{x} [/mm] multipliziert und [mm] \vec{b} [/mm] rausbekommen :)
Ok. Dann hab ich also [mm] \vec{x}. [/mm] Und aus dem Vektor soll ich sofort ablesen können, das die Matrix A nicht invertierbar ist
Aus dem Vektor kann ich das irgendwie nicht ablesen. Ich hätte folgendermaßen argumentiert:
Für eine Inverse der Matrix [mm] A=\pmat{ a& b \\ c & d } [/mm] gilt:
[mm] A^{-1}=\bruch{1}{det(A)} \pmat{ d & -b \\ -c & a }
[/mm]
Ist also det(A)=0, existiert keine Inverse der Matrix.
Und berechnet man in dem Fall die Determinante, so kommt man auf die Lösung det(A)=0
:)
So, dann gehts ja weiter in der Aufgabe...
Was ist denn mit einem homogenen und inhomogenen Fall gemeint?
|
|
|
| |
|
> Dankeschön! :)
>
> Also ich hab das LGS jetzt mal gelöst und den Vektor
> [mm]\vec{x}=\vektor{12 \\ 5 \\ 0}[/mm]
> rausbekommen.
> Sollte eigentlich stimmen. Hab die Matrix mit [mm]\vec{x}[/mm]
> multipliziert und [mm]\vec{b}[/mm] rausbekommen :)
Hallo,
Du solltest mal vorrechnen, was Du getan hast.
Bist Du Dir sicher, daß der von Dir errechnetete Vektor die einzige Lösung ist?
(Du hast aufgrund eines Schnellsch(l)usses Lösungen verloren.)
> Aus dem Vektor kann ich das irgendwie nicht ablesen. Ich
> hätte folgendermaßen argumentiert:
> Für eine Inverse der Matrix [mm]A=\pmat{ a& b \\ c & d }[/mm]
> gilt:
> [mm]A^{-1}=\bruch{1}{det(A)} \pmat{ d & -b \\ -c & a }[/mm]
> Ist
Das ist ganz nett, aber Du hast hier keine 2x2-Matrix vorliegen.
> Was ist denn mit einem homogenen und inhomogenen Fall
> gemeint?
Homogen: b ist der Nullvektor,
inhomogen: b ist nicht der Nullvektor.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Danke für die schnelle Antwort :)
also zur Findung des Vektors [mm] \vec{x} [/mm] bin ich folgendermaßen vorgegangen:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 4 }=\vektor{2 \\ 3 \\ 7}
[/mm]
Dann nach dem gaußschen Algorithmus umgeformt:
3.Zeile-1.Zeile:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 }=\vektor{2 \\ 3 \\ 5}
[/mm]
2.Zeile+1.Zeile:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 }=\vektor{2 \\ 5 \\ 5}
[/mm]
3.Zeile-2.Zeile:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }=\vektor{2 \\ 5 \\ 0}
[/mm]
LGS:
x1-2x2+x3=2
x2+x3=5 --> x3=5-x2
Da die letzte Zeile in der Matrix gleich 0.
Hab ich die Annahme gemacht, dass x3=0
Aber wahrscheinlich darf ich das nicht so einfach, oder?
Damit war x2 jedenfalls 5.
Alles in 1. Gleichung eingesetzt --> x1=12
Wenn man alles in Abhängigkeit von x2 schreibt:
x1-3x2=3 --> x1=3+3x2
Damit:
[mm] \vec{x}=\vektor{3+3x2 \\ x2 \\ 5-x2}
[/mm]
Akso kommt es einfach darauf an, welchen wert ich für x2 einsetz.
Ich hab hier also einen Vektorraum. Richtig?
Die Erklärung für die Existenz einer Inversen müsste doch auch für eine 3x3 Matrix gelten oder?
Aber ist es tatsächlich möglich an dem Vektor x zu erkennen, dass es keine Inverse gibt?
Grüße
Franz
|
|
|
| |
|
> [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }*\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}=\vektor{2 \\ 5 \\ 0}
[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") so weit alles richtig
> LGS:
x1-2x2+x3=2
x2+x3=5 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
dies müsste heissen: $\ [mm] x_2+3*x_3=5$ [/mm] !
von hier an musst du nochmal rechnen,
und ich würde dir empfehlen, [mm] x_3=t [/mm] zu setzen
und dann [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] durch t auszudrücken.
> [mm]\vec{x}=\vektor{3+3x2 \\ x2 \\ 5-x2}[/mm] (falsch)
richtig wäre: [mm]\vec{x}=\vektor{12-7t \\ 5-3t \\ t}[/mm]
> Also kommt es
> einfach darauf an, welchen wert ich für x2 einsetz.
> Ich hab hier also einen Vektorraum. Richtig?
>
> Die Erklärung für die Existenz einer Inversen müsste doch
> auch für eine 3x3 Matrix gelten oder?
> Aber ist es tatsächlich möglich an dem Vektor x zu
> erkennen, dass es keine Inverse gibt?
Hallo Franz,
in deinem Lösungsvektor ist [mm] x_2 [/mm] eine freie Variable,
welche mit einem beliebigen reellen Wert belegt
werden darf. Das heisst, die Gleichung [mm] A*\vec{x}=\vec{b}
[/mm]
hat unendlich viele Lösungsvektoren. Wäre jedoch
die Matrix A invertierbar, gäbe es einen eindeutig
bestimmten Lösungsvektor, nämlich
[mm] \vec{x}=A^{-1}*\vec{b}
[/mm]
Also ist A nicht invertierbar; [mm] A^{-1} [/mm] existiert nicht.
Die Lösungen der Gleichung stellen eine eindimensionale
Teilmenge des [mm] \IR^3 [/mm] dar, nämlich die Gerade:
g: [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{3\\0\\5}+t*\vektor{3\\1\\-1} [/mm] (falsch)
richtig: g: [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{12\\5\\0}+t*\vektor{-7\\-3\\1}
[/mm]
g ist aber kein Unter-Vektorraum des [mm] \IR^3, [/mm] da der
Nullvektor nicht in g liegt.
LG
|
|
|
|
