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Vektor bestimmen.: mit Hilfe von 3 Angaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Fr 07.03.2008
Autor: brichun

Aufgabe
Gegeben sind die Vektoren a=(2,1,-3) b=(1,-2,1).
Man berechne einen Vektor c mit [mm]\left| c \right|[/mm] = 5 der senkrecht auf a und b steht.

ich hab das so versucht

1) c=(x,y,z) --> 3unbekannte also brauch ich 3 Gleichungen.

2)  Aufstellen der Gleichungen:

     A: a * c =0 -->  2x+y-3z=0
     B: b * c =0 -->  x-2y+ z =0
     C:  [mm]\left| c \right|[/mm] = 5 -->

[mm]\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]=5


jetzt hab ich die Gleichung C quadriert um die Wurzel zu eliminieren.

[mm]x^2+y^2+z^2[/mm]=25

wie geht es jetzt weiter wenn ich die Gleichung A in B einsetze und danach in c hab ich immer noch 1 unbekannte zu viel. Wenn die Gleichung C nicht quadriert wäre könnte man das Ganze mit dem LGS lösen.

Danke für euren support


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vektor bestimmen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Fr 07.03.2008
Autor: Zwerglein

Hi, brichun,

> Gegeben sind die Vektoren a=(2,1,-3) b=(1,-2,1).
>  Man berechne einen Vektor c mit [mm]\left| c \right|[/mm] = 5 der
> senkrecht auf a und b steht.

>  ich hab das so versucht
>
> 1) c=(x,y,z) --> 3unbekannte also brauch ich 3
> Gleichungen.
>  
> 2)  Aufstellen der Gleichungen:
>  
> A: a * c =0 -->  2x+y-3z=0

>       B: b * c =0 -->  x-2y+ z =0
>       C:  [mm]\left| c \right|[/mm] = 5 -->

>
> [mm]\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]=5
>  
>
> jetzt hab ich die Gleichung C quadriert um die Wurzel zu
> eliminieren.
>  
> [mm]x^2+y^2+z^2[/mm]=25
>  
> wie geht es jetzt weiter wenn ich die Gleichung A in B
> einsetze und danach in c hab ich immer noch 1 unbekannte zu
> viel.

Also: Ich würde die Länge des gesuchten Vektors erst ganz am Schluss in die Rechnung einbeziehen!
Will heißen: Rechne erst mal IRGENDEINEN Vektor aus, der auf den beiden gegebenen senkrecht steht und bringe ihn dann auf die gewünschte Länge!
Nimm' also nur die beiden Gleichungen
2x+y-3z=0 und x-2y+ z =0,
setze z.B. x=1 und berechne dann y und z.

Ich nehm's vorweg: Der Vektor, den Du so rauskriegst, hat die Länge [mm] \wurzel{3}. [/mm]
Du musst ihn nun - um auf die gewünschte Länge zu kommen - durch [mm] \wurzel{3} [/mm] dividieren und dann mit 5 multiplizieren.

mfG!
Zwerglein

Bezug
                
Bezug
Vektor bestimmen.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 Fr 07.03.2008
Autor: brichun

Danke es hat geklappt ;)

Bezug
        
Bezug
Vektor bestimmen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Fr 07.03.2008
Autor: Rutzel

Darf ich Dir einen alternativen Lösungsvorschlag anbieten?

Berechne das Vektorprodukt der beiden Vektoren:

[mm] \vec{a} \times \vec{b}= \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}:=\vec{c} [/mm]

:= bedeutet, wir definieren den neuen Vektor als Vektor c.

c steht senkrecht auf der von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] augespannten Ebene.

Nun normierst du c, d.h. du bringt ihn auf Länge 1, indem du ihn durch seine eigene Länge teilst:
[mm] \bruch{\vec{c}}{|\vec{c}|} [/mm]

Jetzt hast du einen Vektor der länge 1 mit gewünschter Richtung vorliegen, diesen musste du nur noch mit 5 multiplizieren.

Gruß,
Rutzel


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