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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | | Bestimme einen Vektor der Länge 1 in [mm] \IR^2, [/mm] der mit dem Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] genau den Winkel 150° einschließt. |
Also, ich habe dazu folgendes:
Ich nehme die Formel [mm] cos(\alpha)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| } [/mm] und setze alles ein, was ich kenne und erhalte:
[mm] cos(\alpha)=\frac{\vektor{1 \\ 0} \cdot \vektor{b_1 \\ b_2}}{|\vektor{1 \\ 0}| \cdot |\vektor{b_1 \\ b_2}|} [/mm] = [mm] \frac{b_1}{1 \cdot 1} [/mm] = [mm] b_1. [/mm] Wegen [mm] cos(150\°)=-\frac{\sqrt{3}}{2} [/mm] folgt: [mm] b_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
[/mm]
Wegen der geforderten Länge 1 berechnet man [mm] b_2=\sqrt{1-b_1^2}. [/mm] Also ist [mm] b_2=\frac{1}{2} [/mm] und wir haben den gesuchten Vektor [mm] \vec{b}=\vektor{-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2}} [/mm] gefunden!
So, nun hat es ein Mitstudent aber so gemacht:
Gesucht ist ein Vektor [mm] \vec{b}=\vektor{x \\ y}. [/mm] Wir kennen [mm] \alpha=150°=\frac{5\pi}{6}. [/mm] Also erhalten wir:
[mm] x=cos(\alpha-\frac{\pi}{2})=cos(\frac{5\pi}{6} [/mm] - [mm] \frac{\pi}{2}) [/mm] = [mm] cos(\frac{\pi}{3}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}.
[/mm]
[mm] y=-sin(\alpha-\frac{\pi}{2}) [/mm] = [mm] -sin(\frac{\pi}{3}) [/mm] = [mm] -\frac{\sqrt{3}}{2}.
[/mm]
Also ist [mm] \vec{b}=\vektor{\frac{1}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}}.
[/mm]
Wir haben also quasi vertauschte Komponenten in den Vektoren bekommen. Wer von uns hat Recht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Fr 26.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme einen Vektor der Länge 1 in [mm]\IR^2,[/mm] der mit dem
> Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] genau den Winkel 150°
> einschließt.
> Also, ich habe dazu folgendes:
>
> Ich nehme die Formel [mm]cos(\alpha)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| }[/mm]
> und setze alles ein, was ich kenne und erhalte:
> [mm]cos(\alpha)=\frac{\vektor{1 \\ 0} \cdot \vektor{b_1 \\ b_2}}{|\vektor{1 \\ 0}| \cdot |\vektor{b_1 \\ b_2}|}[/mm]
> = [mm]\frac{b_1}{1 \cdot 1}[/mm] = [mm]b_1.[/mm] Wegen
> [mm]cos(150\°)=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/mm] folgt:
> [mm]b_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}.[/mm]
> Wegen der geforderten Länge 1 berechnet man
> [mm]b_2=\sqrt{1-b_1^2}.[/mm]
Besser: [mm]b_2= \pm \sqrt{1-b_1^2}.[/mm]
> Also ist [mm]b_2=\frac{1}{2}[/mm]
Besser: [mm]b_2= \pm \frac{1}{2}[/mm]
> und wir haben
> den gesuchten Vektor [mm]\vec{b}=\vektor{-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2}}[/mm]
> gefunden!
Und es gibt noch einen.
>
>
> So, nun hat es ein Mitstudent aber so gemacht:
>
> Gesucht ist ein Vektor [mm]\vec{b}=\vektor{x \\ y}.[/mm] Wir kennen
> [mm]\alpha=150°=\frac{5\pi}{6}.[/mm] Also erhalten wir:
> [mm]x=cos(\alpha-\frac{\pi}{2})=cos(\frac{5\pi}{6}[/mm] -
> [mm]\frac{\pi}{2})[/mm] = [mm]cos(\frac{\pi}{3})[/mm] = [mm]\frac{1}{2}.[/mm]
> [mm]y=-sin(\alpha-\frac{\pi}{2})[/mm] = [mm]-sin(\frac{\pi}{3})[/mm] =
> [mm]-\frac{\sqrt{3}}{2}.[/mm]
> Also ist [mm]\vec{b}=\vektor{\frac{1}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}}.[/mm]
>
>
> Wir haben also quasi vertauschte Komponenten in den
> Vektoren bekommen. Wer von uns hat Recht?
Du. Mal Dir doch mal die Lösung Deines Kumpels auf !
FRED
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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