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| Aufgabe | (a) Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm] v_{1}:=(0,1,...,1),\, v_{2}:=(1,0,1,...,1),...,\, v_{n}:=(1,...,1,0) [/mm] für [mm] n\geq2 [/mm] eine Basis des [mm] \mathbb{R}^{n} [/mm] bilden.
(b) Stellen Sie [mm] e_{1}:=(1,0,...,0) [/mm] als Linearkombination von [mm] v_{1},v_{2},...,v_{n} [/mm] dar. |
Also Aufgabenteil (a) habe ich mal beispielhaft für n=3 durchgerechnet (also die Vektoren dann einfach skalar zum Nullvektor kombiniert wobei dann alle skalare =0 sind).
Ich weiß nur nicht, wie ich das für den allgemeinen Fall beweisen soll.
Bei (b) ist genau das gleiche Problem.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Wenn Du den Fall n = 3 schon gesehen und verstanden hast, ist das ja schon mal die halbe Miete. Allgemein musst Du ja nur ein Gleichungssystem lösen.
Genauer (zu Teil a): Es sind n Vektoren gegeben, die Dimension des Vektorraumes ist auch gleich n, wenn also gezeigt wird, dass diese linear unabhängig sind, dann ist man fertig.
Dazu betrachtet man Skalare [mm] $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \IR$ [/mm] mit der Eigenschaft
[mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i [/mm] = 0$ (wobei hier der Nullvektor gemeint ist, wie auch immer ihr den notiert)
und zu zeigen ist, dass alle [mm] $\lambda_i$ [/mm] gleich 0 sind.
Einsetzen der Vektoren liefert also ein Gleichungssystem mit $n$ Gleichungen. Jede der Gleichungen ist von der Gestalt
[mm] $\sum_{i=1 \atop i \not= j}^n \lambda_i [/mm] = 0$ für festes $j$, d.h. in jeder Gleichung fehlt genau eines der [mm] $\lambda_i$.
[/mm]
Wenn Du nun all diese Gleichungen addierst, dann folgt daraus doch
$(n-1) [mm] \cdot \sum_{i=1}^n \lambda_i [/mm] = 0$ (Kannst Du das zeigen?)
Und nach Division durch $n-1$ dann sofort [mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i [/mm] = 0$.
Mit dieser Gleichung bewaffnet kannst Du Dir die ursprünglichen Gleichungen vornehmen und leicht zeigen, dass die Koeffizienten alle schon 0 gewesen sein müssen.
Zur b): Lass Dich doch von dem Fall n = 3 leiten. Probieren auch mal, [mm] $e_1$ [/mm] für $n = 4$ darzustellen. Versuche daraus, eine Formel für den allgemeinen Fall herzuleiten und zu beweisen.
Viel Erfolg!
Lars
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okay ich habe jetzt mal folgende formel entwickelt:
[mm] e_{1}=-\frac{n-2}{n-1}v_{1}+\frac{1}{n-1}v_{2}+\frac{1}{n-1}v_{3}+...+\frac{1}{n-1}v_{n} [/mm].
Stimmt das soweit?
Wenn ja, wie beweise ich das?
Also hab da als ersten Schritt die Vektoren jeweils zu e1 kombiniert. Sprich folgende Gleichung erstellt:
[mm] \lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+...+\lambda_{n}v_{n}=e_{1} [/mm].
Dann die Vektoren eingesetzt und man erhält ein inhomogenes Gleichungssystem mit n Gleichungen. Aber wie geht es jetzt weiter (vorausgesetzt das ist soweit alles richtig)?
Was ich vllt. machen könnte, ist daraus ein homogenes GLS zu machen. Also in der ersten Gleichung -1 als Rechenbefehl. Aber das bringt mich auch nicht so recht weiter oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Mi 19.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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