Vektoren finden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Audience |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Vektoren, die mit [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] einen Winkel von 60° UND mit [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] einen Winkel von 90° bilden.
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Lösung: Alle Vielfachen von [mm] \vektor{-4 \\ 2 + \wurzel{14} \\ 8} [/mm] und [mm] \vektor{-4 \\ 2 - \wurzel{14} \\ 8} [/mm] |
Hallo,
habe mich vergeblich an dieser Aufgabe versucht. Eigentlich müsste Sie laut Ihrer Einordnung im Mathebuch zu den einfacheren Aufgaben gehören, aber irgendwie will mir nichts so recht gelingen. Mein Ansatz war erstmal eine Ebene mit dem zweiten Vektor aufzustellen und dann sin(60°) = irgendwas zu machen, weil damit der Winkel ins Spiel kommt. Aber es will mir nichts so recht gelingen. Vor allem sind alle meine Lösungsansätze kompliziert...
Danke für jedgliche Hilfe!
Gruß,
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mo 12.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin thomas,
zunächst brauchst du hier das skalarprodukt:
cos [mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{ \vec{a} * \vec{b} }{| \vec{a}| * | \vec{b}| }
[/mm]
> Bestimmen Sie alle Vektoren, die mit [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> einen Winkel von 60° UND mit [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -1}[/mm] einen
> Winkel von 90° bilden.
> ___
> Lösung: Alle Vielfachen von [mm]\vektor{-4 \\ 2 + \wurzel{14} \\ 8}[/mm]
> und [mm]\vektor{-4 \\ 2 - \wurzel{14} \\ 8}[/mm]
> Hallo,
> habe mich vergeblich an dieser Aufgabe versucht.
> Eigentlich müsste Sie laut Ihrer Einordnung im Mathebuch zu
> den einfacheren Aufgaben gehören, aber irgendwie will mir
> nichts so recht gelingen. Mein Ansatz war erstmal eine
> Ebene mit dem zweiten Vektor aufzustellen und dann sin(60°)
> = irgendwas zu machen, weil damit der Winkel ins Spiel
> kommt. Aber es will mir nichts so recht gelingen. Vor allem
> sind alle meine Lösungsansätze kompliziert...
> Danke für jedgliche Hilfe!
> Gruß,
> Thomas
cos 60° = [mm] \bruch{ \vektor{x \\ y \\ z} * \vektor{1 \\ 1 \\ 0} }{ |
\wurzel{x^2 + y^2 + z^2} | * | \wurzel{1^2 +1^2 +0^2} | } [/mm]
-0,9524 = [mm] \bruch{x + y}{| \wurzel{x^2 + y^2 + z^2} | * | \wurzel{2} | }
[/mm]
oder ist der zweite vektor ggf. bekannt???
zur zweiten aufgabe:
falls die vektoren orthogonal sind (90°), dann ist ihr skalarprodukt =0 !
[mm] \vektor{x \\ y\\ z} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] = 0
x -y -z = 0
gibt es denn nähere angaben zu dem gesuchten vektor???
gruß
w.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Audience |
Nein, es gibt keine anderen Angaben. Sonst hätte ich sie ja erwähnt. Ich glaube du hast die Aufgabenstellung missverstanden: Der gesuchte Vektor muss BEIDE Bedingungen (60 und 90 Grad) erfüllen! Also müsste es lösbar sein. Soweit wie oben geschrieben war ich auch schon - nun ist aber guter Rat teuer - wie geht's weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Audience!
Setze doch ohne Einschränkung voraus, dass Dein gesuchter Vektor $\vektor{x\\y\\z}$ normiert ist; sprich: die Länge $1_$ hat.
Damit ergibt sich für die 3 unbekannten Koordinaten folgendes Gleichungssystem:
$\wurzel{x^2+y^2+z^2} \ = \ 1$ $\gdw$ $x^2+y^2+z^2 \ = \ 1$
$\cos(60°) \ = \ \bruch{1}{2} \ = \ \bruch{x+y}{1*\wurzel{2}$ $\gdw$ $x+y \ = \ \bruch{1}{2}\wurzel{2}$
$\cos(90°) \ = \ 0 \ = \ x-y-z$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Audience |
Hallo Loddar! Deine Vorgehensweise scheint mir logisch - nur kann ich noch keine Quadratischen LGS lösen - was ich ja laut deiner Lösung machen müsste um auf einen grünen Zweig zu kommen. Also müsste es doch irgendwie anders gehen? Es scheint so, als seien schon einige Leute an dieser Aufgabe verzweifelt... (Mathelehrer, Nachhilfelehrer ... )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Audience!
Stelle zunächst die 3. Gleichung nach $z \ = \ ...$ um und setze in die 1. Gleichung ein.
Anschließend die 2. Gleichung nach $x \ = \ ...$ oder $y \ = \ ...$ umstellen und ebenfalls einsetzen in Gleichung 1.
Und die entstehende quadratische Gleichung kannst Du dann doch bestimmt lösen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Di 13.03.2007 | | Autor: | Audience |
So.. hier ist mal meine Rechnung, bei der einfach kein zum Lösungsheft passendes Ergebnis rauskommen will:
Ich setze z = x - y (III) in (I) ein:
x² + y² + (x-y)² = 1
Danach setze ich y = [mm] 1/2*\wurzel{2} [/mm] - x (II) in (I) ein:
x² + [mm] (1/2*\wurzel{2} [/mm] - x)² + (x- [mm] 1/2*\wurzel{2} [/mm] + x)² = 1
Alles schön ausrechnen:
x² + 1/2 - [mm] x*\wurzel{2} [/mm] + x² + 4x² - [mm] 2x*\wurzel{2} [/mm] + 1/2 = 1
= 6x² - [mm] 3x\wurzel{2} [/mm] + 1 = 1
= 6x² - [mm] 3x\wurzel{2} [/mm] + 0 = 0
x(6x - [mm] 3x\wurzel{2}) [/mm] = 0
x1 = 0
x2 = [mm] 1/2\wurzel{2}
[/mm]
Das sieht aber nicht nach den Lösungen im Buch aus... bin etwas am verzweifeln
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Di 13.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo audience,
Die Lösung im Buch ist falsch ! (siehe gestrigen Beitrag von riwe und heutigen Beitrag von mir)
Die Lösungsmenge besteht aus allen Vektoren der Form :
> [mm]\vec{v}_1=\lambda\vektor{0\\1\\-1}[/mm] und
> [mm]\vec{v}_2=\mu\vektor{1\\0\\1}[/mm]
>
>
mit [mm] \lambda ,\mu [/mm] > 0 .
LG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wolfgang!
Hast Du Deinen TR eventuell auf Bogenmaß [RAD] eingestellt?
Denn ich erhalte für [mm] $\cos(60°) [/mm] \ = \ 0.5$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Mo 12.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin loddar,
äh stimmt. excel verwendet das bogenmaß :-( .
mit 0,5 läßt sich sicher einfacher weiterrechnen.
gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 12.03.2007 | | Autor: | riwe |
> Bestimmen Sie alle Vektoren, die mit [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> einen Winkel von 60° UND mit [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -1}[/mm] einen
> Winkel von 90° bilden.
> ___
> Lösung: Alle Vielfachen von [mm]\vektor{-4 \\ 2 + \wurzel{14} \\ 8}[/mm]
> und [mm]\vektor{-4 \\ 2 - \wurzel{14} \\ 8}[/mm]
> Hallo,
> habe mich vergeblich an dieser Aufgabe versucht.
> Eigentlich müsste Sie laut Ihrer Einordnung im Mathebuch zu
> den einfacheren Aufgaben gehören, aber irgendwie will mir
> nichts so recht gelingen. Mein Ansatz war erstmal eine
> Ebene mit dem zweiten Vektor aufzustellen und dann sin(60°)
> = irgendwas zu machen, weil damit der Winkel ins Spiel
> kommt. Aber es will mir nichts so recht gelingen. Vor allem
> sind alle meine Lösungsansätze kompliziert...
> Danke für jedgliche Hilfe!
> Gruß,
> Thomas
die angeführten lösungen sind falsch.
aber egal, das geht relativ einfach so:
mit dem EINHEITSvektor [mm] \vec{n}
[/mm]
[mm] \frac{\vec{n}\cdot\vektor{1\\1\\0}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\to n_1+n_2=\frac{\sqrt{2}}{2}
[/mm]
[mm] n_1-n_2-n_3=0
[/mm]
[mm] n_1²+n_2²+n_3²=1
[/mm]
ergibt
[mm] \vec{v}_1=\lambda\vektor{0\\1\\-1} [/mm] und [mm] \vec{v}_2=\mu\vektor{1\\0\\1}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Audience |
Hallo,
wo hast du die 60° bitte untergebracht? Die angegebenen Lösungen stammen aus dem Mathe-Lösungsbuch ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Mo 12.03.2007 | | Autor: | riwe |
> Hallo,
> wo hast du die 60° bitte untergebracht? Die angegebenen
> Lösungen stammen aus dem Mathe-Lösungsbuch ..
das macht sie nicht richtiger. man kann sich doch ganz leicht davon überzeugen, dass diese vektoren nicht auf den 2. vektor senkrecht stehen
cos(60) [mm] =\frac{1}{2} [/mm] steckt in der 1. gleichung im skalarprodukt.
die 2. besagt, dass das skalarprodukt null ist.
die 3. dass ich einen einheitsvektor suche, den ich anschließend wieder erweitere.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Di 13.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo ,
>
>
>
> die angeführten lösungen sind falsch.
>
> aber egal, das geht relativ einfach so:
>
> mit dem EINHEITSvektor [mm]\vec{n}[/mm]
>
> [mm]\frac{\vec{n}\cdot\vektor{1\\1\\0}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\to n_1+n_2=\frac{\sqrt{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]n_1-n_2-n_3=0[/mm]
>
> [mm]n_1²+n_2²+n_3²=1[/mm]
>
> ergibt
>
> [mm]\vec{v}_1=\lambda\vektor{0\\1\\-1}[/mm] und
> [mm]\vec{v}_2=\mu\vektor{1\\0\\1}[/mm]
>
>
Es muß außerdem [mm] \lambda ,\mu [/mm] > 0 gelten.
MfG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Di 13.03.2007 | | Autor: | riwe |
> Hallo ,
>
> >
> >
> >
> > die angeführten lösungen sind falsch.
> >
da> > aber egal, das geht relativ einfach so:
> >
> > mit dem EINHEITSvektor [mm]\vec{n}[/mm]
> >
> >
> [mm]\frac{\vec{n}\cdot\vektor{1\\1\\0}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\to n_1+n_2=\frac{\sqrt{2}}{2}[/mm]
>
> >
> > [mm]n_1-n_2-n_3=0[/mm]
> >
> > [mm]n_1²+n_2²+n_3²=1[/mm]
> >
> > ergibt
> >
> > [mm]\vec{v}_1=\lambda\vektor{0\\1\\-1}[/mm] und
> > [mm]\vec{v}_2=\mu\vektor{1\\0\\1}[/mm]
> >
> >
>
> Es muß außerdem [mm]\lambda ,\mu[/mm] > 0 gelten.
>
> MfG
>
> Heiko
das ist meiner meinung nach nur bedingt richtig, es muß (nur )gelten
[mm] \lambda,\mu\in\IR
[/mm]
da man ja üblicherweise bei [mm] \alpha>\pi/2 [/mm] den komplementärwinkel wählt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Di 13.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo ,
so ist der Winkel zwischen zwei Geraden im [mm] \IR^3 [/mm] definiert.
Der Winkel zwischen zwei Vektoren v,w ist [mm] \alpha [/mm] = arccos( [mm] \bruch{v \cdot w}{\left| v \right|\cdot \left| w \right|}) [/mm] , also das Minimum der beiden möglichen Winkel.
Da der Winkel mit dem Nullvektor gar nicht definiert ist, muß [mm] \lambda, \mu [/mm] > 0 gelten.
MfG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Do 15.03.2007 | | Autor: | Audience |
Ich habs jetzt mal versucht nachzurechnen. Verstehen tu ich alles, aber irgendwie kommen bei mir nicht die gleichen Lösungen raus, sondern was total Krummes wegen der Wurzel 2. Wie hast du das nur gerechnet?
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> Ich habs jetzt mal versucht nachzurechnen. Verstehen tu ich
> alles, aber irgendwie kommen bei mir nicht die gleichen
> Lösungen raus, sondern was total Krummes wegen der Wurzel
> 2. Wie hast du das nur gerechnet?
Hallo,
schade, daß Du nicht zeigst, was Du errechnet hast - sollte Dir die Sache mit dem Formeleditor zu mühsam sein? (Für mich ist's mindestens genauso mühsam.)
So kann man nun leider nicht sehen, ob Du falsch gerechnet hast.
Falls Du jedoch die [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}-fachen [/mm] von riwes Vektoren ausgerechnet hast, ist alles im grünen Bereich: Du hast dann die Einheitsvektoren in die entsprechenden Richtungen, und die positiven Vielfachen davon liefern Dir alle Vektoren mit den gefragten Eigenschaften.
Es ergeben die [mm] \lambda\vektor{\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0\\\bruch{\wurzel{2}}{2}} [/mm] denselben Raum wie die [mm] \lambda\vektor{1 \\ 0\\1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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