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| Aufgabe | Gegeben: A(6/-4/0)
B(6/6/0)
C (12/6/8)
1) Berechne [mm] \varepsilon [/mm] (Ebene) durch ABC
2) Gubt es ein D, so dass ABCD ein Quadrat ist? Wenn ja berechne D
3) Zeige, dass die Punkte St=(15+3t/-9+5t/-13+4t) auf einer Geraden g liegen, die parallel zu [mm] \varepsilon [/mm] liegt. |
Mein Versuch: 1) [mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{6 \\ 6 \\ 0}-\vektor{6 \\ -4 \\ 0}=\vektor{0 \\ 10 \\0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{12 \\ 6 \\ 8} [/mm] - [mm] \vektor{6 \\ -4 \\ß}=\vektor{6 \\ 10 \\ 8}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t*\vektor{6 \\ 10 \\ 8}
[/mm]
2) [mm] \overrightarrow{BC}=\vektor{12 \\ 6 \\ 8}- \vektor{6 \\ 6 \\0}=\vektor{6 \\ 0 \\8}
[/mm]
Die Länge von [mm] \overrightarrow [/mm] {BC} ist dessen Betrag:
[mm] \sqrt{6^2+8^2}=10 [/mm] E
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist ebenfalls 10 E
Nun könnte es jedoch noch eine Raute sein.
Nun also [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 8} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 10 \\ 0}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
=90°, also ist es ein Quadrat, da rechter Winkel.
[mm] A+\overrightarrow{BC}=D
[/mm]
D= [mm] \vektor{6 \\ -4 \\ 0 } [/mm] + [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 8}
[/mm]
D=(12/-4/8)
Stimmen meine bisherigen Berechnungen?
Nun frage ich mich aber, wie ich mir 3) berechne. Ich habe echt keine Ahnung. THX im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mi 19.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben: A(6/-4/0)
> B(6/6/0)
> C (12/6/8)
>
> 1) Berechne [mm]\varepsilon[/mm] (Ebene) durch ABC
> 2) Gubt es ein D, so dass ABCD ein Quadrat ist? Wenn ja
> berechne D
> 3) Zeige, dass die Punkte St=(15+3t/-9+5t/-13+4t) auf
> einer Geraden g liegen, die parallel zu [mm]\varepsilon[/mm] liegt.
>
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> Mein Versuch: 1) [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{6 \\ 6 \\ 0}-\vektor{6 \\ -4 \\ 0}=\vektor{0 \\ 10 \\0}[/mm]
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> [mm]\overrightarrow{AC}=\vektor{12 \\ 6 \\ 8}[/mm] - [mm]\vektor{6 \\ -4 \\ß}=\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t*\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm]
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> 2) [mm]\overrightarrow{BC}=\vektor{12 \\ 6 \\ 8}- \vektor{6 \\ 6 \\0}=\vektor{6 \\ 0 \\8}[/mm]
>
> Die Länge von [mm]\overrightarrow[/mm] {BC} ist dessen Betrag:
> [mm]\sqrt{6^2+8^2}=10[/mm] E
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] ist ebenfalls 10 E
> Nun könnte es jedoch noch eine Raute sein.
> Nun also [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 8}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 10 \\ 0}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> =90°, also ist es ein Quadrat, da rechter Winkel.
> [mm]A+\overrightarrow{BC}=D[/mm]
> D= [mm]\vektor{6 \\ -4 \\ 0 }[/mm] + [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 8}[/mm]
>
> D=(12/-4/8)
>
> Stimmen meine bisherigen Berechnungen?
ja, alles bestens.
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> Nun frage ich mich aber, wie ich mir 3) berechne. Ich habe
> echt keine Ahnung.
Schreib [mm] s_t [/mm] mal als Vektor: [mm] \vektor{15 \\ -9 \\-13}+t\vektor{3 \\ 5 \\4} [/mm] und blicke auf Deine Ebenengleichung. Siehst Du was ?
> THX im Voraus!
Was bedeutet THX ?
FRED
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Nein, tut mir leid, doch ich kann leider nichts erkennen. Was sollte ich im Vergleich mit der Ebenengleichung erkennen?
Ich frage mich überdies, wie du auf $ [mm] \vektor{15 \\ -9 \\-13}+t\vektor{3 \\ 5 \\4} [/mm] $ kommst.
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> Nein, tut mir leid, doch ich kann leider nichts erkennen.
Hallo,
hast Du Dir die Ebenengleichung und die Geradengleichung mal so hingeschrieben, daß Du beide gleichzeitig betrachten kannst?
Schau scharf auf die Richtungsvektoren von Ebene und Gerade.
Ist vielleicht der Richtungsvektor der Geraden eine Linearkombination der Richtungsvektoren der Ebene? Oder gar ein Vielfaches von einem der beiden?
> Was sollte ich im Vergleich mit der Ebenengleichung
> erkennen?
> Ich frage mich überdies, wie du auf [mm]\vektor{15 \\ -9 \\-13}+t\vektor{3 \\ 5 \\4}[/mm]
> kommst.
Du hattest doch die Punkteschar
>>> St=(15+3t/-9+5t/-13+4t)
gegeben.
Siehst Du wirklich nicht, wie man von dieser zur obigen Geradengleichung kommt?
LG Angela
LG
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Achso, dumm von mir.
$ [mm] \overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8} [/mm] $
$ [mm] \vektor{15 \\ -9 \\-13}+t\vektor{3 \\ 5 \\4} [/mm] $
[mm] \vektor{6 \\ 10 \\ 8} [/mm] ist ja das doppelte von [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 4}
[/mm]
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Hallo,
> Achso, dumm von mir.
> [mm]\overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm]
>
> [mm]\vektor{15 \\ -9 \\-13}+t\vektor{3 \\ 5 \\4}[/mm]
>
> [mm]\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm] ist ja das doppelte von [mm]\vektor{3 \\ 5 \\ 4}[/mm]
Ja, genau. Damit ist schonmal klar, dass die Gerade entweder in der Ebene liegt, oder parallel zu ihr.
Das entscheidet sich an ihrem Aufpunkt [mm] (15,-9,-13)^T. [/mm] Liegt der in der Ebene oder nicht?
Grüße
reverend
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$ [mm] \overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8} [/mm] $
und t* $ [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 4} [/mm] $
I. 3=6+0s+6t => 6t=-3 => t=-0,5
II. 5=-4+10s+10t => 9=10s+10t
III. 4=0+0s+8t => 4=8t => t=0,5
Da kann etwas nicht stimmen. Wie kann ich das s wegbekommen? Habe ich die Formel um zu überprüfen, dass ein Punkt auf einer Ebene liegt falsch angewandt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Mi 19.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm]
>
> und t* [mm]\vektor{3 \\ 5 \\ 4}[/mm]
>
> I. 3=6+0s+6t => 6t=-3 => t=-0,5
> II. 5=-4+10s+10t => 9=10s+10t
> III. 4=0+0s+8t => 4=8t => t=0,5
>
> Da kann etwas nicht stimmen. Wie kann ich das s
> wegbekommen? Habe ich die Formel um zu überprüfen, dass
> ein Punkt auf einer Ebene liegt falsch angewandt?
>
Was treibst Du da ? Die Frage ist doch ob $ [mm] (15,-9,-13)^T. [/mm] $ in der Ebene liegt.
FRED
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E: $ [mm] \overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8} [/mm] $
P: [mm] \vektor{15 \\ -9 \\ -13}*t
[/mm]
I. 15=6+0s+6t => t= 1,5
II. -9= -4 +10s+10t => -5= 10s+10t
III. -13=0+0s+8t => -13=8t => t=-1,625
Irgendetwas mache ich falsch.
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> E: [mm]\overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm]
>
[mm] >\red{ P: \vektor{15 \\ -9 \\ -13}*t}
[/mm]
Hallo,
was meinst Du damit?
Offenbar möchtest Du prüfen, ob der Punkt P mit dem Ortsvektor [mm] \overrightarrow{0P} [/mm] in der Ebene E liegt:
> I. 15=6+0s+6t => t= 1,5
> II. -9= -4 +10s+10t => -5= 10s+10t
> III. -13=0+0s+8t => -13=8t => t=-1,625
>
> Irgendetwas mache ich falsch.
Nö.
Ich find's etwas unsystematisch, aber Falsches kann ich bisher nicht entdecken.
Schade, daß Du etwas wortkarg bist und nicht aussprichst, was Dich denken läßt, daß Du etwas Verkehrtes tust.
Kannst Du eigentlich mal sagen, woran man merkt, ob ein Punkt in der Ebene liegt oder nicht?
LG Angela
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Ein Punkt liegt auf einer Ebene, wenn die Gleichungen "erfüllt" sind.
$ [mm] >\red{ P: \vektor{15 \\ -9 \\ -13}\cdot{}t} [/mm] $
$ [mm] \overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8} [/mm] $
I. 15=6+0s+6t
II. -9= -4 +10s+10t
III. -13=0+0s+8t
I.+II.=
9=6t /*5
-5=10s+10t /*-3
45=30t
15=-30s-30t
60=-30s
s=-2
Nun einsetzen: 15=-30*(-2)-30t
15=60-30t/-60
t=1,5
in I. einsetzen: 15=6+0*-2+6*1,5
15=6+9
15=15
Somit würde jedoch der Punkt auf der Ebene liegen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Do 20.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ein Punkt liegt auf einer Ebene, wenn die Gleichungen
> "erfüllt" sind.
> [mm]>\red{ P: \vektor{15 \\ -9 \\ -13}\cdot{}t}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{X}= \vektor{6 \\ -4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 10 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm]
>
> I. 15=6+0s+6t
> II. -9= -4 +10s+10t
> III. -13=0+0s+8t
>
> I.+II.=
> 9=6t /*5
> -5=10s+10t /*-3
>
> 45=30t
> 15=-30s-30t
>
> 60=-30s
> s=-2
>
> Nun einsetzen: 15=-30*(-2)-30t
> 15=60-30t/-60
> t=1,5
>
> in I. einsetzen: 15=6+0*-2+6*1,5
> 15=6+9
> 15=15
>
> Somit würde jedoch der Punkt auf der Ebene liegen.
nein. Tut er nicht ! Die von Dir gefundenen Werte t und s erfüllen nicht Gleichung III
FRED
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