Vektoren linear Abhängig? < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Do 07.05.2009 | | Autor: | kilchi |
| Aufgabe | Sind folgende Vektoren in [mm] \IR^{3} [/mm] linear abhängig?
a) [mm] \vec{u}= \vektor{8 \\ -2 \\6 },\vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 1 \\
-3}
[/mm]
b) [mm] \vec{u}= \vektor{1 \\ 1 \\ -1},\vec{v}= \vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vec{w} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\-1\\ 1}, [/mm] |
Hallo Zusammen
Ich bin mir überhaupt nicht sicher ob ich das richtig rechne! Ich wäre deshalb froh um eine kurze Rückmeldung. Jetzt schon besten Dank!
es gilt [mm] a*\vec{u} [/mm] + [mm] b*\vec{v} [/mm] = 0 dann ist das ganze linear unabhängig.
a)
8a - 4b = 0
-2a + b = 0 => b = 2a (überall einsetzen)
6a - 3b = 0
8a - 4*2a = 0
6a - 3*2a = 0
Also folgt daraus, dass die Vektoren linear unabhängig sind, weil es immer 0 gibt???
b)
Gl1: 1a + 1b + 1c = 0
Gl2: 1a + 2b - 1c = 0
Gl3: -1a + 3b + 1c = 0
aus Gl3: c = a - 3b
einsetzen in GL2:
a + 2b - a + 3b = 0 => 5b = 0 => b = 0
GL1: a + b + a - 3b = 0
2a - 2b = 0
a = b und da b= 0 muss also a auch 0 sein. Somit wäre das hier auch linear unabhänig.
Können meine Lösungen stimmen?????
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> Sind folgende Vektoren in [mm]\IR^{3}[/mm] linear abhängig?
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> a) [mm]\vec{u}= \vektor{8 \\ -2 \\6 },\vec{v}[/mm] = [mm]\vektor{-4 \\ 1 \\
-3}[/mm]
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> b) [mm]\vec{u}= \vektor{1 \\ 1 \\ -1},\vec{v}= \vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vec{w}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\-1\\ 1},[/mm]
> Hallo Zusammen
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> Ich bin mir überhaupt nicht sicher ob ich das richtig
> rechne! Ich wäre deshalb froh um eine kurze Rückmeldung.
> Jetzt schon besten Dank!
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> es gilt [mm]a*\vec{u}[/mm] + [mm]b*\vec{v}[/mm] = 0 dann ist das ganze linear
> unabhängig.
Hallo,
nein, das hast Du bis zur Sinnlosigkeit verkürzt...
Es ist so:
wenn aus [mm] a*\vec{u}[/mm] [/mm] + [mm]b*\vec{v}[/mm] = 0 folgt, daß a unb beide zwingend =0 sein müssen, dann sind [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] linear unabhängig.
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> a)
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> 8a - 4b = 0
> -2a + b = 0 => b = 2a (überall einsetzen)
> 6a - 3b = 0
>
> 8a - 4*2a = 0
> 6a - 3*2a = 0
>
> Also folgt daraus, dass die Vektoren linear unabhängig
> sind, weil es immer 0 gibt???
Nein, s.o.
Du hast nun festgestellt, daß [mm] a*\vec{u}[/mm] [/mm] + [mm]b*\vec{v}[/mm] = 0 für Deine Vektoren zu lösen ist, wann immer Du Dein b so wähltst, daß es das Doppelte von a ist.
Also z.B. für a=3 und b=6. Und nicht etwa nur für a=b=0. Also linear abhängig.
Man sieht das auch sofort: der erste ist ja ein Vielfaches des zweiten.
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> b)
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> Gl1: 1a + 1b + 1c = 0
> Gl2: 1a + 2b - 1c = 0
> Gl3: -1a + 3b + 1c = 0
Dieses GS ist zu lösen, Du hast richtig errechnet, daß a und b beide =0 sein müssen, woraus sich ergibt, daß auch c=0 ist.
Ausa [mm] \vec{u}+b\vec{v}+c,\vec{w}=0 [/mm] folgt, daß a=b=c=0.
Also sind die drei linear unabhängig.
(Schau Dir nochmal genau die vollständige Definition der Unabhängigkeit an.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 So 10.05.2009 | | Autor: | kilchi |
Könntest du mir bitte noch schnell sagen, ob ich hier richtig gerechnet habe?
Sind die drei Vektoren linear abhängig?
[mm] \vec{u}\vektor{-3 \\ 0 \\4}, \vec{v}\vektor{5 \\ -1 \\ -6}, \vec{w}\vektor{0 \\ -3 \\ 2}
[/mm]
Gleichungssystem machen:
1.Gl: -3a + 5b = 0
2.Gl: - b -3c = 0 => b = -3c
3.Gl: 4a - 6b + 2c = 0
b aus 2.Gl in 1. Gl einsetzen:
=> a = -5 c
a und b in 3. Gl einsetzen
-20c +18c +2c = 0
Wie muss ich das jetzt interpretieren?
Also sind die linear unabhängig weil 0 oder weil ich für c alles einsetzen kann sind sie linear abhängig?
Ich nehme an, das diese Vektoren linear abhängig sind.
ODER ist meine logik ganz falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 So 10.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Hallo!
Es bedeutet, dass du dein c frei wählen kannst und das LGS trotzdem lösbar ist. Kannst ja einfach mal ausprobieren und c=1 setzen, daraus ergibt sich b=-3 und a=-5. Da a, b und c damit nicht zwingend Null sein müssen um das LGS zu lösen sind deine Vektoren linear abhängig!
Lieber Gruß
Sierra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 So 10.05.2009 | | Autor: | kilchi |
Das war auch mein Schlussgedanke!
Jedenfalls besten Dank für die Klärung!!!!!!!
LG
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