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| Aufgabe | Hi, könntet ihr mal wieder weiterhelfen
Beweise oder widerlege die folgenden Aussagen!
Für drei beliebige Vektoren v1, v2, v3 eines Vektorraumes V gilt: v1 [mm] \in [/mm] [v2, v3] [mm] \gdw, [/mm] v2 [mm] \in
[/mm]
[v1, v3] [mm] \gdw [/mm] v3 [mm] \in [/mm] [v1, v2].
Danke euch |
Ich nehme an , dass diese Aussage falsch ist.
Deshalb drücke ich
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \lambda v_2 [/mm] + [mm] \lambda v_3
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \epsilon v_1 [/mm] + [mm] \epsilon v_3
[/mm]
[mm] v_3 [/mm] = [mm] \gamma v_1 [/mm] + [mm] \gamma v_2
[/mm]
Ok nun setze ich [mm] v_1 [/mm] in [mm] v_2 [/mm] ein und erhalte
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \epsilon(\lambda v_2 [/mm] + [mm] \lambda v_3)+ \epsilon v_3
[/mm]
und nun setze ich dieses [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_1 [/mm] in [mm] v_3 [/mm] ein
[mm] v_3 [/mm] = [mm] \gamma \underbrace{(\lambda v_2 + \lambda v_3)}_{v_1} [/mm] + [mm] \gamma \underbrace{(\epsilon(\lambda v_2 + \lambda v_3)+ \epsilon v_3)}_{v_2}
[/mm]
ok nun hätte ich auf [mm] v_1 [/mm] umgeformt
[mm] \gamma \underbrace{(\lambda v_2 + \lambda v_3)}_{v_1} [/mm] = [mm] \gamma \underbrace{(\epsilon(\lambda v_2 + \lambda v_3)+ \epsilon v_3)}_{v_2} [/mm] - [mm] v_3
[/mm]
dividiert durch [mm] \gamma
[/mm]
[mm] \underbrace{(\lambda v_2 + \lambda v_3)}_{v_1} [/mm] = [mm] \underbrace{(\epsilon(\lambda v_2 + \lambda v_3)}_{v_2} [/mm] - [mm] \bruch {v_3} {\gamma}
[/mm]
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \underbrace{(\epsilon(\lambda v_2 + \lambda v_3)}_{v_2} [/mm] - [mm] \bruch {v_3} {\gamma}
[/mm]
Aber dieses [mm] v_1 [/mm] entspricht doch eindeutig nicht meinem [mm] v_1 [/mm] (von oben). Deshalb ein Widerspruch.
hmmm...was sagt ihr dazu?
mfg
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moin Steffen,
Dein Ansatz ist richtig; wenn du die Aussage beweisen wolltest.
Da du sie aber widerlegen möchtest, machst du es dir sehr schwer.
Es reicht vollkommen aus ein einziges Gegenbeispiel zu nennen, um eine Aussage zu widerlegen.
Hierbei kannst du dir gerne vertraute Vektorräume wie etwa den [mm] $\IR^3$ [/mm] schnappen.
Als Tipp:
Was wäre, wenn zwei der drei Vektoren gleich wären?
lg
Schadow
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> moin Steffen,
>
> Dein Ansatz ist richtig; wenn du die Aussage beweisen
> wolltest.
> Da du sie aber widerlegen möchtest, machst du es dir sehr
> schwer.
> Es reicht vollkommen aus ein einziges Gegenbeispiel zu
> nennen, um eine Aussage zu widerlegen.
> Hierbei kannst du dir gerne vertraute Vektorräume wie
> etwa den [mm]\IR^3[/mm] schnappen.
> Als Tipp:
> Was wäre, wenn zwei der drei Vektoren gleich wären?
>
Das habe ich schon herumprobiert und bin einfach auf nichts vernünftiges gekommen, deshalb habe ich den anderen Ansatz vesucht...
Auch wenn zwei der drei Vektoren gleich wären
z.B.
1)
[mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 2 \\ 0 }}_{v_1} [/mm] = 1* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + (1) [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
Dass selbe für [mm] v_2
[/mm]
[mm] \underbrace{\vektor{1 \\ 1 \\ 0 }}_{v_2} [/mm] = 1* [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0 } [/mm] + (-1) [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
und nun für [mm] v_3
[/mm]
[mm] \underbrace{\vektor{1 \\ 1 \\ 0 }}_{v_2} [/mm] = 1* [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0 } [/mm] + (-1) [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
Klappt nicht, desshalb hab ich mal den 0- Vektor probiert:
2)
[mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 3 \\ 1 }}_{v_1} [/mm] = 1* [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1 } [/mm] + (-1) [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 3 \\ 1 }}_{v_2} [/mm] = 1* [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1 } [/mm] + (-1) [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] \underbrace{\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }}_{v_3} [/mm] = 1* [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1 } [/mm] + (-1) [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1 }
[/mm]
also auch nicht....was habe ich übersehen...
> lg
>
> Schadow
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Hmm, in diesem Fall ist das Problem, dass du den dritten Vektor linear abhängig von den anderen beiden gewählt hast.
Du hast aber Recht, der Nullvektor ist eine schöne Idee, auf die bin ich noch gar nicht gekommen.^^
Nimm dir mal zwei der drei Vektoren als Nullvektor und den dritten nicht.
Dann kannst du zwar die ersten beiden als Vielfache der anderen darstellen (Nullvektor ist in jedem Unterraum drinn), aber den dritten kannst du nicht als Vielfache des Nullvektors basteln.
lg
Schadow
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Ach mein Gott danke dir :)
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