Vektoren vereinheitlichen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf einem See kreuzen sich die Routen zweier Fähren [mm] F_{1} [/mm] und [mm] F_{2}. [/mm] Die Fähre [mm] F_{1} [/mm] fährt in 40 Minuten mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig vom Ort A(16|4) zum Ort B(12|20). Die Fähre [mm] F_{2} [/mm] fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 25 [mm] \bruch{km}{h} [/mm] vom Ort C(4|0) zum Ort D(24|15).
a) Zeichnen Sie die Routen in ein Koordinatensystem.
b) Wo befindet sich die Fähre [mm] F_{1} [/mm] eine halbe Stunde nach Verlassen des Ortes A?
c) Beide Fähren verlassen gleichzeitig die Orte A bzw. C. Wie viele Minuten nach Abfahrt kommen sich die beiden Fähren am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt? |
Also, ich habe erst mal die Geradengleichungen aufgestellt:
[mm] F_{1}: \vektor{16 \\ 4}+r *\vektor{-4 \\ 16}
[/mm]
[mm] F_{2}: \vektor{4 \\ 0}+t*\vektor{20 \\ 15}
[/mm]
Nun muss ich den Richtungsvektor von [mm] F_{1} [/mm] vereinheitlichen, weil ich ja nachher die 30 Minuten ausrechnen muss. Also erst mal den Richtungsvektor mit 1,5 multiplizieren:
[mm] 1,5*\vektor{-4 \\ 16}=\vektor{-6 \\ 24} [/mm] (Das ist jetzt also der Ort nach 60 Minuten)
Dann den Betrag ausrechnen, also die Länge des Vektors:
[mm] |F_{1}|: \wurzel{(-6)^2+24^2} [/mm] = [mm] \wurzel{612}
[/mm]
Der Einheitsvektor ist also: [mm] \bruch{1}{612}*\vektor{-6 \\ 24}
[/mm]
Der Weg nach 30 Minuten müsste jetzt also sein:
[mm] \vektor{16 \\ 4}+30*(\wurzel{1}{612}*\vektor{-6 \\ 24})=\vektor{\bruch{267}{17} \\ \bruch{88}{17}}
[/mm]
Ich hoffe, ich habe bis hier nichts falsch gemacht. Die Aufgabe kam auch mal in der Schule dran und in meiner Erinnerung waren da nicht so "seltsame Zahlen", die rauskamen.
Jedenfalls kommt jetzt c). Dafür müsste ich auch [mm] F_{2} [/mm] vereinheitlichen. Aber da weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll.
Es wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte.
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Hallo,
> Auf einem See kreuzen sich die Routen zweier Fähren [mm]F_{1}[/mm]
> und [mm]F_{2}.[/mm] Die Fähre [mm]F_{1}[/mm] fährt in 40 Minuten mit
> konstanter Geschwindigkeit geradlinig vom Ort A(16|4) zum
> Ort B(12|20). Die Fähre [mm]F_{2}[/mm] fährt mit konstanter
> Geschwindigkeit von 25 [mm]\bruch{km}{h}[/mm] vom Ort C(4|0) zum Ort
> D(24|15).
>
> a) Zeichnen Sie die Routen in ein Koordinatensystem.
> b) Wo befindet sich die Fähre [mm]F_{1}[/mm] eine halbe Stunde
> nach Verlassen des Ortes A?
> c) Beide Fähren verlassen gleichzeitig die Orte A bzw. C.
> Wie viele Minuten nach Abfahrt kommen sich die beiden
> Fähren am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander
> entfernt?
> Also, ich habe erst mal die Geradengleichungen
> aufgestellt:
>
> [mm]F_{1}: \vektor{16 \\ 4}+r *\vektor{-4 \\ 16}[/mm]
>
> [mm]F_{2}: \vektor{4 \\ 0}+t*\vektor{20 \\ 15}[/mm]
>
> Nun muss ich den Richtungsvektor von [mm]F_{1}[/mm]
> vereinheitlichen, weil ich ja nachher die 30 Minuten
> ausrechnen muss.
Nein, das ist an dieser Stelle unnötig, wir werden es jedoch für Teilaufgabe c) benötigen.
> Also erst mal den Richtungsvektor mit 1,5
> multiplizieren:
>
> [mm]1,5*\vektor{-4 \\ 16}=\vektor{-6 \\ 24}[/mm] (Das ist jetzt also
> der Ort nach 60 Minuten)
>
> Dann den Betrag ausrechnen, also die Länge des Vektors:
>
> [mm]|F_{1}|: \wurzel{(-6)^2+24^2}[/mm] = [mm]\wurzel{612}[/mm]
>
> Der Einheitsvektor ist also: [mm]\bruch{1}{612}*\vektor{-6 \\ 24}[/mm]
>
Wo ist da im Nenner die Wurzel geblieben?
> Der Weg nach 30 Minuten müsste jetzt also sein:
>
> [mm]\vektor{16 \\ 4}+30*(\wurzel{1}{612}*\vektor{-6 \\ 24})=\vektor{\bruch{267}{17} \\ \bruch{88}{17}}[/mm]
>
Nein, das ist falsch. Es geht auch viel einfacher: dein ursprünglicher Vektor führt dich zu dem Ort, an dem die Fähre nach 40min ist. Nach 30 Minuten hat sie davon 3/4 des Weges zurückgelegt...
> Ich hoffe, ich habe bis hier nichts falsch gemacht. Die
> Aufgabe kam auch mal in der Schule dran und in meiner
> Erinnerung waren da nicht so "seltsame Zahlen", die
> rauskamen.
>
> Jedenfalls kommt jetzt c). Dafür müsste ich auch [mm]F_{2}[/mm]
> vereinheitlichen. Aber da weiß ich nicht, wie ich vorgehen
> soll.
Wenn du einen Richtungsvektor 'vereinheitlichst' wie du das nennst (normieren wäre der übliche Fachausdruck), dann bringst du ihn auf die Länge 1 LE, was in diesem Fall einem Kilometer entspricht. Außerdem hast du ja (sinnvollerweise!) denjenigen Vektor normiert, der den Weg der Fähre 1 nach einer Stunden beschreibt. Das ist jetzt für die Lösung von Teil c) unheimlich wichtig zu verstehen. Wenn du jetzt nämlich den Weg einer dieser Fähren einfach mit dem normierten Richtungsvektor beschreibst, dann fahren sie im Prinzip mit einer Geschwindigkeit von 1 km/h. Auf der anderen Seite solltest du in beiden Geradengleichungen den selben Parameter t für die Zeit verwenden, da du ja selbige berechnen möchtest. Multipliziere daher die beiden normierten Richtungsvektoren noch mit der jeweiligen Geschwindigkeit der Fähre in km/h, stelle einen Funktionsterm für den Abstand der beiden Fähren in Abhängigkeit von der Zeit auf (Absztand der beiden Geradenpunkte!) und minimiere diesen. Dabei wäre noch zu sagen, dass hier eine Wurzelfunktion entsteht und das Berechnen von deren Minimum ist heutzutage sicherlich für die Bearbeitung mit dem GTR vorgesehen. Wenn man aber benutzt, dass eine solche Quadratwurzel genau dann minimal wird, wenn es ihr Inhalt tut, dann wird die Lösung per Ableitung und von Hand hier sehr einfach gelingen.
Gruß, Diophant
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> > Der Einheitsvektor ist also: [mm]\bruch{1}{612}*\vektor{-6 \\ 24}[/mm]
> Wo ist da im Nenner die Wurzel geblieben?
Natürlich, die muss hin. Also:
[mm]\bruch{1}{\wurzel{612}}*\vektor{-6 \\ 24}[/mm]
Der Weg nach 30 Minuten müsste jetzt also sein:
[mm] \vektor{16 \\ 4}+30*(\bruch{1}{\wurzel{612}}*\vektor{-6 \\ 24})\approx\vektor{8,72 \\ 33,10}
[/mm]
>
> Nein, das ist falsch. Es geht auch viel einfacher: dein
> ursprünglicher Vektor führt dich zu dem Ort, an dem die
> Fähre nach 40min ist. Nach 30 Minuten hat sie davon 3/4
> des Weges zurückgelegt...
>
> > Ich hoffe, ich habe bis hier nichts falsch gemacht. Die
> > Aufgabe kam auch mal in der Schule dran und in meiner
> > Erinnerung waren da nicht so "seltsame Zahlen", die
> > rauskamen.
> >
> > Jedenfalls kommt jetzt c). Dafür müsste ich auch
> [mm]F_{2}[/mm]
> > vereinheitlichen. Aber da weiß ich nicht, wie ich
> vorgehen
> > soll.
>
> Wenn du einen Richtungsvektor 'vereinheitlichst' wie du das
> nennst (normieren wäre der übliche Fachausdruck), dann
> bringst du ihn auf die Länge 1 LE, was in diesem Fall
> einem Kilometer entspricht. Außerdem hast du ja
> (sinnvollerweise!) denjenigen Vektor normiert, der den Weg
> der Fähre 1 nach einer Stunden beschreibt. Das ist jetzt
> für die Lösung von Teil c) unheimlich wichtig zu
> verstehen. Wenn du jetzt nämlich den Weg einer dieser
> Fähren einfach mit dem normierten Richtungsvektor
> beschreibst, dann fahren sie im Prinzip mit einer
> Geschwindigkeit von 1 km/h. Auf der anderen Seite solltest
> du in beiden Geradengleichungen den selben Parameter t für
> die Zeit verwenden, da du ja selbige berechnen möchtest.
> Multipliziere daher die beiden normierten Richtungsvektoren
> noch mit der jeweiligen Geschwindigkeit der Fähre in km/h,
> stelle einen Funktionsterm für den Abstand der beiden
> Fähren in Abhängigkeit von der Zeit auf (Absztand der
> beiden Geradenpunkte!) und minimiere diesen. Dabei wäre
> noch zu sagen, dass hier eine Wurzelfunktion entsteht und
> das Berechnen von deren Minimum ist heutzutage sicherlich
> für die Bearbeitung mit dem GTR vorgesehen. Wenn man aber
> benutzt, dass eine solche Quadratwurzel genau dann minimal
> wird, wenn es ihr Inhalt tut, dann wird die Lösung per
> Ableitung und von Hand hier sehr einfach gelingen.
>
>
> Gruß, Diophant
Aber ich weiß nicht, wie ich den Richtungsvektor von [mm] F_{2} [/mm] normieren soll. Ich hab doch gar keine Zeiteinheit angegeben, sondern nur die Geschwindigkeit.
In der Schule haben wir gelernt, dass man den minimalen Abstand ausrechnet, indem man:
1. Geradengleichungen vereinheitlichen (normieren, wie du sagtest), d.h. die Richtungsvektoren so umformen, dass sie die zurückgelegte Strecke nach 1 LE angeben.
2. Differenz der beiden (vereinheitlichten (normierten)) Geradengleichungen bilden (Richtungsvektor - Richtungsvektor, Stützvektor - Stützvektor)
3. Den Betrag davon ausrechnen
4. Minimum der Funktion unter der Wurzel bestimmen (bei uns nicht mit dem Taschenrechner, sondern schriftlich mit der notwendigen und der hinreichenden Bedingung)
5. Zeit und Mindestabstand bestimmen
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Hallo,
> > > Der Einheitsvektor ist also: [mm]\bruch{1}{612}*\vektor{-6 \\ 24}[/mm]
>
> > Wo ist da im Nenner die Wurzel geblieben?
>
> Natürlich, die muss hin. Also:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{612}}*\vektor{-6 \\ 24}[/mm]
>
> Der Weg nach 30 Minuten müsste jetzt also sein:
>
> [mm]\vektor{16 \\ 4}+30*(\bruch{1}{\wurzel{612}}*\vektor{-6 \\ 24})\approx\vektor{8,72 \\ 33,10}[/mm]
>
> >
Nee, das ist kein Haar besser. Erstens einmal darfst du nicht mit 30 multiplizieren, sondern es müssen 0.5 Stunden sein. Zweitens muss da ja noch mit der Geschwindigkeit der Fähre multipliziert werden, wobei sich die Wurzel wieder herauskürzt. Ich habe dir ja geraten, wie es einfacher geht, aber auf umständlich (und richtig) sieht es so aus:
[mm] \vec{s}_{30min}=\vektor{16\\4}+0.5*\wurzel{612}*\bruch{1}{\wurzel{612}}*\vektor{-6\\24}=\vektor{16\\4}+0.5*\vektor{-6\\24}=\vektor{13\\16}
[/mm]
> Aber ich weiß nicht, wie ich den Richtungsvektor von [mm]F_{2}[/mm]
> normieren soll.
Genau so wie bei [mm] F_1 [/mm] mit dem Vorteil, dass der Vorfaktor rational ist.
> Ich hab doch gar keine Zeiteinheit
> angegeben, sondern nur die Geschwindigkeit.
Das nennt man dann ein Luxusproblem. 
Genau die Geschwindigkeit brauchst du doch!
Eine geradlinige Bahn mit konstanter Geschwindigkeit v beschreibt man mit der Gleichung
b: [mm] \vec{x}=\vec{s}+t*v*\vec{r}\*
[/mm]
wobei v: Geschwindigkeit, t: Zeit (Achtung, Einheit muss die Gleiche sein wie bei v) und [mm] \vec{s} [/mm] der Startpunkt sind. [mm] \vec{r}\* [/mm] ist der normierte Richtungsvektor.
> In der Schule haben wir gelernt, dass man den minimalen
> Abstand ausrechnet, indem man:
>
> 1. Geradengleichungen vereinheitlichen (normieren, wie du
> sagtest), d.h. die Richtungsvektoren so umformen, dass sie
> die zurückgelegte Strecke nach 1 LE angeben.
Falsch: nach einer Zeiteinheit! Und dazu muss man eben noch mit der Geschwindigkeit multiplizieren!
> 2. Differenz der beiden (vereinheitlichten (normierten))
> Geradengleichungen bilden (Richtungsvektor -
> Richtungsvektor, Stützvektor - Stützvektor)
>
> 3. Den Betrag davon ausrechnen
>
> 4. Minimum der Funktion unter der Wurzel bestimmen (bei uns
> nicht mit dem Taschenrechner, sondern schriftlich mit der
> notwendigen und der hinreichenden Bedingung)
>
> 5. Zeit und Mindestabstand bestimmen
Ja, das ist dann alles richtig.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> > > > Der Einheitsvektor ist also: [mm]\bruch{1}{612}*\vektor{-6 \\ 24}[/mm]
>
> >
> > > Wo ist da im Nenner die Wurzel geblieben?
> >
> > Natürlich, die muss hin. Also:
> >
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{612}}*\vektor{-6 \\ 24}[/mm]
> >
> > Der Weg nach 30 Minuten müsste jetzt also sein:
> >
> > [mm]\vektor{16 \\ 4}+30*(\bruch{1}{\wurzel{612}}*\vektor{-6 \\ 24})\approx\vektor{8,72 \\ 33,10}[/mm]
>
> >
> > >
>
> Nee, das ist kein Haar besser. Erstens einmal darfst du
> nicht mit 30 multiplizieren, sondern es müssen 0.5 Stunden
> sein. Zweitens muss da ja noch mit der Geschwindigkeit der
> Fähre multipliziert werden, wobei sich die Wurzel wieder
> herauskürzt. Ich habe dir ja geraten, wie es einfacher
> geht, aber auf umständlich (und richtig) sieht es so aus:
>
> [mm]\vec{s}_{30min}=\vektor{16\\4}+0.5*\wurzel{612}*\bruch{1}{\wurzel{612}}*\vektor{-6\\24}=\vektor{16\\4}+0.5*\vektor{-6\\24}=\vektor{13\\16}[/mm]
Also, ich verstehe, wieso man es mit 0,5 multiplizieren muss und nicht mit 30 (weil die Zeiteinheit die Stunde ist), aber ich verstehe nicht, wieso die Geschwindigkeit von [mm] F_{2} [/mm] bei dir [mm] \wurzel{612} [/mm] ist. Und wieso ich das ganze nicht schon mit dem Einheitsvektor habe.
> > Aber ich weiß nicht, wie ich den Richtungsvektor von
> [mm]F_{2}[/mm]
> > normieren soll.
>
> Genau so wie bei [mm]F_1[/mm] mit dem Vorteil, dass der Vorfaktor
> rational ist.
>
> > Ich hab doch gar keine Zeiteinheit
> > angegeben, sondern nur die Geschwindigkeit.
>
> Das nennt man dann ein Luxusproblem.
> Genau die Geschwindigkeit brauchst du doch!
>
> Eine geradlinige Bahn mit konstanter Geschwindigkeit v
> beschreibt man mit der Gleichung
>
> b: [mm]\vec{x}=\vec{s}+t*v*\vec{r}\*[/mm]
>
> wobei v: Geschwindigkeit, t: Zeit (Achtung, Einheit muss
> die Gleiche sein wie bei v) und [mm]\vec{s}[/mm] der Startpunkt
> sind. [mm]\vec{r}\*[/mm] ist der normierte Richtungsvektor.
Mir ist dann nach dem Stellen der Frage auch aufgefallen, dass die Frage mit der Geschwindigkeit blöd war. Die Fähre fährt 25 Kilometer pro Stunde, also muss ich davon einfach den Betrag ausrechnen und der ist 25, der Einheitsvektor also praktischerweise [mm] \bruch{1}{25}.
[/mm]
Ich habe dann in der Zeit, in der du geantwortet hast, c) noch mal probiert:
[mm] F_{1}: \vektor{16 \\ 4}+r*(\bruch{1}{\wurzel{612}}*\vektor{-6 \\24}
[/mm]
[mm] F_{2}: \vektor{4 \\ 0}+t*(\bruch{1}{25}*\vektor{20 \\ 15})
[/mm]
Das müssten jetzt die beiden normierten Geradengleichungen sein. Jetzt also die Differenz der beiden Gleichungen:
[mm] F_{2}-F_{1}=\vektor{12 \\ 4}+v*\vektor{-1,04 \\ 0,37}
[/mm]
Jetzt muss der Betrag ausgerechnet werden:
[mm] F_{1}-F_{2}=\wurzel{(12^2+v^2*(-1,04)^2)+(4^2+v^2*0,37^2)}
[/mm]
[mm] =\wurzel{(1,0816v^2+144)+(0,1369v^2+16)}
[/mm]
= [mm] \wurzel{1,218v^2+200}
[/mm]
Ist das dann auch falsch jetzt? Wenn nicht, müsste ich die Nullstellen berechnen. Eigentlich doch die pq-Formel, weil das eine quadratische Funktion ist, aber ich hab ja gar kein p, also hab ich das ganze gleich 0 gesetzt und so aufgelöst. Das wäre dann:
0 = [mm] 1,218v^2+200 [/mm] |-200
<=> 200 = [mm] 1,218v^2 [/mm] | /1,218
<=> 196.4915254 = [mm] v^2 |\wurzel
[/mm]
<=> v=13,01
Also nach 13,01 Minuten wären die Fähren am nächsten. Und um die Entfernung rauszubekommen, einfach in die Gleichung der Differenz einsetzen, also:
[mm] \vektor{12 \\ 4}+13,01*\vektor{-1,04 \\ 0,37}= \vektor{-1,5304 \\ 8,8137}
[/mm]
Da passt doch was nicht, negative Zahlen machen keinen Sinn, weil sie nicht näher als 0 Einheiten beieinander sein können.
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Hallo,
> [mm]\vec{s}_{30min}=\vektor{16\\4}+0.5*\wurzel{612}*\bruch{1}{\wurzel{612}}*\vektor{-6\\24}=\vektor{16\\4}+0.5*\vektor{-6\\24}=\vektor{13\\16}[/mm]
>
> Also, ich verstehe, wieso man es mit 0,5 multiplizieren
> muss und nicht mit 30 (weil die Zeiteinheit die Stunde
> ist), aber ich verstehe nicht, wieso die Geschwindigkeit
> von [mm]F_{2}[/mm] bei dir [mm]\wurzel{612}[/mm] ist. Und wieso ich das ganze
> nicht schon mit dem Einheitsvektor habe.
Der Einheitsvektor heißt so, weil er die Länge 1 hat. Demnach hätten (nach deiner Version) alle Fähren dieser Welt eine Geschwindigkeit von 1 km/h?
Außerdem: hier geht es um die Geschwindigkeit von [mm] F_1, [/mm] und die hast du doch selbst schon ausgerechnet???
> Mir ist dann nach dem Stellen der Frage auch aufgefallen,
> dass die Frage mit der Geschwindigkeit blöd war. Die
> Fähre fährt 25 Kilometer pro Stunde, also muss ich davon
> einfach den Betrag ausrechnen und der ist 25, der
> Einheitsvektor also praktischerweise [mm]\bruch{1}{25}.[/mm]
Wie bitte??? Verstehst du das selbst noch, was du da schreibst?
>
> Ich habe dann in der Zeit, in der du geantwortet hast, c)
> noch mal probiert:
>
> [mm]F_{1}: \vektor{16 \\ 4}+r*(\bruch{1}{\wurzel{612}}*\vektor{-6 \\24}[/mm]
>
> [mm]F_{2}: \vektor{4 \\ 0}+t*(\bruch{1}{25}*\vektor{20 \\ 15})[/mm]
>
> Das müssten jetzt die beiden normierten Geradengleichungen
> sein.
Wie oft soll ich es noch schreiben: diese Gleichungen sind nicht falsch, sie bringen dir aber nichts, da sie die Geschwindigkeit der Fähren nicht berücksichtigen!
> Jetzt also die Differenz der beiden Gleichungen:...
Das kannst du alles erst in dem Moment tun, wenn du die korrekten Geradengleichungen hast. Ich würde dir in dem Zusammenhang nahelegen, alles bisherige nochmal durchzulesen, aber gründlicher.
Rein physikalisch gesehen machst du hier folgendes. Das Weg-Zeit-Gesetz für gleichförmige Bewegungen lautet bekanntlich
s=v*t
Du behauptest jedoch hartnäckig, es hieße
s=t
und ignorierst jeden anderslautenden Hinweis. Vielleicht macht das deinen Denkfehler ein wenig klarer.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> >
> [mm]\vec{s}_{30min}=\vektor{16\\4}+0.5*\wurzel{612}*\bruch{1}{\wurzel{612}}*\vektor{-6\\24}=\vektor{16\\4}+0.5*\vektor{-6\\24}=\vektor{13\\16}[/mm]
> >
> > Also, ich verstehe, wieso man es mit 0,5 multiplizieren
> > muss und nicht mit 30 (weil die Zeiteinheit die Stunde
> > ist), aber ich verstehe nicht, wieso die
> Geschwindigkeit
> > von [mm]F_{2}[/mm] bei dir [mm]\wurzel{612}[/mm] ist. Und wieso ich das
> ganze
> > nicht schon mit dem Einheitsvektor habe.
>
> Der Einheitsvektor heißt so, weil er die Länge 1 hat.
> Demnach hätten (nach deiner Version) alle Fähren dieser
> Welt eine Geschwindigkeit von 1 km/h?
>
> Außerdem: hier geht es um die Geschwindigkeit von [mm]F_1,[/mm] und
> die hast du doch selbst schon ausgerechnet???
Wo hab ich die denn ausgerechnet? Du nimmst als Geschwindigkeit für [mm] F_{1} \wurzel{612}, [/mm] das Ergebnis kam bei der Berechnung des Betrages von dem Richtungsvektor von [mm] F_{1} [/mm] raus. Das ist doch dann aber nur die Länge des Vektors, den [mm] F_{1} [/mm] abfährt, weil der Richtungsvektor die Differenz des Start-und des Zielpunktes ist.
Ich verstehe jetzt aber so halb, was du meinst, wenn du sagst, ich würde die Geschwindigkeit brauchen. Wenn ich nur den Einheitsvektor nehme, fahre ich 30 Mal einen Teil des Weges ab (des Richtungsvektors).
>
> > Mir ist dann nach dem Stellen der Frage auch aufgefallen,
> > dass die Frage mit der Geschwindigkeit blöd war. Die
> > Fähre fährt 25 Kilometer pro Stunde, also muss ich
> davon
> > einfach den Betrag ausrechnen und der ist 25, der
> > Einheitsvektor also praktischerweise [mm]\bruch{1}{25}.[/mm]
>
> Wie bitte??? Verstehst du das selbst noch, was du da
> schreibst?
Ja, das habe ich verstanden. Ich hab doch von [mm] F_{1} [/mm] den Betrag ausgerechnet, musste aber vorher den Richtungsvektor mit 1,5 multiplizieren, weil ich nicht die Strecke nach 40 Minuten brauche sondern nach 60. Bei [mm] F_{2} [/mm] muss ich das nicht mehr machen, weil ich durch die Geschwindigkeit schon die Länge nach einer Stunde habe. Und wenn man den Betrag ausrechnet, kommt 25 raus, da [mm] \wurzel{20^2+15^2}=25.
[/mm]
>
> >
> > Ich habe dann in der Zeit, in der du geantwortet hast,
> c)
> > noch mal probiert:
> >
> > [mm]F_{1}: \vektor{16 \\ 4}+r*(\bruch{1}{\wurzel{612}}*\vektor{-6 \\24}[/mm]
>
> >
> > [mm]F_{2}: \vektor{4 \\ 0}+t*(\bruch{1}{25}*\vektor{20 \\ 15})[/mm]
>
> >
> > Das müssten jetzt die beiden normierten
> Geradengleichungen
> > sein.
>
>
> Wie oft soll ich es noch schreiben: diese Gleichungen sind
> nicht falsch, sie bringen dir aber nichts, da sie die
> Geschwindigkeit der Fähren nicht berücksichtigen!
>
> > Jetzt also die Differenz der beiden Gleichungen:...
>
> Das kannst du alles erst in dem Moment tun, wenn du die
> korrekten Geradengleichungen hast. Ich würde dir in dem
> Zusammenhang nahelegen, alles bisherige nochmal
> durchzulesen, aber gründlicher.
>
> Rein physikalisch gesehen machst du hier folgendes. Das
> Weg-Zeit-Gesetz für gleichförmige Bewegungen lautet
> bekanntlich
>
> s=v*t
>
> Du behauptest jedoch hartnäckig, es hieße
>
> s=t
>
> und ignorierst jeden anderslautenden Hinweis. Vielleicht
> macht das deinen Denkfehler ein wenig klarer.
>
> Gruß, Diophant
Ich habs nicht ignoriert, nur nicht verstanden.
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Hallo,
> > Außerdem: hier geht es um die Geschwindigkeit von [mm]F_1,[/mm] und
> > die hast du doch selbst schon ausgerechnet???
>
> Wo hab ich die denn ausgerechnet? Du nimmst als
> Geschwindigkeit für [mm]F_{1} \wurzel{612},[/mm] das Ergebnis kam
> bei der Berechnung des Betrages von dem Richtungsvektor von
> [mm]F_{1}[/mm] raus.
Genau darum geht es doch: der Betrag des Richtungsvektors ist in dem Moment die Geschwindigkeit, wenn der vorangestellte Parameter die Zeit in der entsprechenden Einheit misst.
Ich lasse jetzt mal den Rest des Geschriebenen weg, da dir glaube ich schon einigermaßen klar geworden ist, wo dein Denkfehler liegt. Ich hingegen habe mich zu Beginn des Threads entschieden, auf deinen allgemeingültigen Weg einzugehen und die Vereinfachungen, die sich hier anbieten, zu ignorieren. Das war im Nachhinein ein Fehler. Daher hier die beiden korrekten Bahngleichungen für die beiden Fähren:
[mm] f_1: \vex{x}=\vektor{16\\4}+t*\vektor{-6\\24}
[/mm]
[mm] f_2: \vec{x}=\vektor{4\\0}+t*\vektor{20\\15}
[/mm]
Erklärung hierzu:
Bei der ersten Fähre ist der Vektor aus den ursprünglich gegebenen Ortsangaben der zurückgelegte Weg nach 40 Minuten. Da wir dieesen Vektor um den Faktor 1,5 skaliert haben (und natürlich wegen 1.5*40=60) besitzt dieser Richtungsvektor jetzt als Betrag die Geschwindigkeit von Fähre 1. Bei Fähre 2 ist die Geschwindigkeit von 25 km/h ja schon angegeben, und das entspricht hier glücklicherweise genau dem Betrag des Differenzvektors aus Ziel- minus Startort. Also muss man diesen Vektor überhaupt nicht mehr skalieren.
Du kannst jetzt mit den beiden oben angegebenen Gleichungen die Differenz wie besprochen minimieren. Ich entschuldige mich nochmals für meinen Denkfehler, es ist übers Internet halt doch manchmal nicht so leicht zu sehen, an welcher Stelle einer Aufgabenstellung das Verständnis aussetzt.
Gruß, Diophant
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Ich hab das mit dem Betrag/der Geschwindigkeit am Ende ehrlich gesagt immer noch nicht verstanden, aber lassen wir das. In meiner Klausur am Dienstag wird es nur eine Bewegungsaufabe geben.
Aber danke jedenfalls, dass du dir die Zeit genommen und dich bemüht hast, mir zu helfen, Diophant.
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