Vektorfeld - Rotation, Divergenz, Laplace-Operator < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
eigentlich ist meine Aufgabe hier nur ausrechnen, aber plötzlich versthet man es dann doch nicht mehr...
Sei [mm] $U\subset \IR^3$ [/mm] offen und [mm] $v=(v_1,v_2,v_3)$ [/mm] ein zweimal stetig differenzierbares Vektorfeld. Man zeige, daß
rot(rot v) = [mm] $\nabla [/mm] (div\ v) - [mm] (\Delta v_1,\Delta v_2, \Delta v_3)$.
[/mm]
(Quelle: Otto Forster, Übungsbuch zur Analysis 2, Kapitel 5, Aufgabe 5d)
Dabei ist [mm] $\nabla$ [/mm] der Gradient und [mm] $\Delta$ [/mm] der Laplace-Operator.
OK, linke seite der Gleichung ist kein Problem. Man rechnet nach der Formel erst die Rotation von v aus, dann die Rotation der Rotation von v. Man erhält also wieder einen Vektor der Dimension 3.
Wenn ich mich auf die rechte Seite der Gleichung stürze, stehe ich aber auf dem Schlauch. Ich soll den gradienten der Divergenz von v bilden. Nach meinen Formeln ist die Divergenz
$ div\ v = [mm] \summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial v_i}{\partial x_i}$
[/mm]
Ich gestehe, ich sehe hier lediglich einen Vektor der Dimension 1 - also eine Zahl in [mm] $\IR$. [/mm] Wenn ich nun hier noch den Gradienten bilde - na, dann ist das einfach wieder eine Zahl. Folglich steht nach meinen Überlegungen auf der rechten Seite der Gleichung
(Vektor der Dimension 1) - (Vektor der Dimension 3).
Mmmh... Ist das den überhaupt definiert?
Freue mich, wenn jemand mir den Schlauch unter den Füßen wegzieht...
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Gut, dann schauen wir uns mal die rechte Seite an.
Also: nach deiner Formel ist die Divergenz also die angegebene Summe. Ergibt also ein Polynom (oder, wenn diese partiellen Ableitungen alle =0 sind, eine Zahl - aer davon gehen wir hier nicht aus). Wird haben also ein Polynom (durch die Divergenz gebildet worden) - und davon bestimmen wir den Gradienten --- und das ergibt einen: genau. Vektor. Der Gradient einer skalarwertigen mehrdim-Funktion ist doch der Vektor seiner partiellen Ableitungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Wessel |
OK., danke! Das Stichwort war Polynom!
Mit anderen Worten ist dann der Gradient:
grad(div v) = grad( $ [mm] \summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial v_i}{\partial x_i}$ [/mm] )
$ = ( [mm] \bruch{\partial}{\partial x_1} \summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial v_i}{\partial x_i}, \bruch{\partial}{\partial x_2} \summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial v_i}{\partial x_i}, \bruch{\partial}{\partial x_3} \summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial v_i}{\partial x_i})$
[/mm]
Und die rechte Seite der Gleichung löst sich auf in
$ [mm] \nabla [/mm] (div\ v) - [mm] (\Delta v_1,\Delta v_2, \Delta v_3) [/mm] = $
$( [mm] \bruch{\partial}{\partial x_1} \summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial v_i}{\partial x_i}, \bruch{\partial}{\partial x_2} \summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial v_i}{\partial x_i}, \bruch{\partial}{\partial x_3} \summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial v_i}{\partial x_i}) [/mm] - ( [mm] \bruch{\partial}{\partial x_1} \bruch{\partial v_1}{\partial x_1}, \bruch{\partial}{\partial x_2} \bruch{\partial v_2}{\partial x_2}, \bruch{\partial}{\partial x_3} \bruch{\partial v_3}{\partial x_3})$
[/mm]
Oder interpretiere ich den letzten Vektor falsch?
Danke,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Danke fürs rübergucken, Paulus.
Gruß
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Genau so ist es! 