Vektorfeld total diffbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x):=\pmat{ x_1*sinx_2*cosx_3 \\ x_1*sinx_2*sinx_3 \\ x_1*cosx_2 }
[/mm]
a)Zeige, f(x) ist total differenzierbar
b)Bestimme für alle [mm] x\in \IR^3 [/mm] die Jakobimatrix [mm] \delta [/mm] f(x)
c)Zeige, dass für alle x [mm] \in \IR^3 [/mm] die Identiät [mm] det(\delta f(x))=x_1^2*sinx_2 [/mm] gilt |
Okay, kann mir jemand erklären wie man auf totale Differenzierbarkeit überprüft? Das hab ich noch nicht so recht verstanden, erst recht nicht bei einem Vektorfeld.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Fr 04.05.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> [mm]f(x):=\pmat{ x_1*sinx_2*cosx_3 \\ x_1*sinx_2*sinx_3 \\ x_1*cosx_2 }[/mm]
>
> a)Zeige, f(x) ist total differenzierbar
> b)Bestimme für alle [mm]x\in \IR^3[/mm] die Jakobimatrix [mm]\delta[/mm]
> f(x)
> c)Zeige, dass für alle x [mm]\in \IR^3[/mm] die Identiät
> [mm]det(\delta f(x))=x_1^2*sinx_2[/mm] gilt
> Okay, kann mir jemand erklären wie man auf totale
> Differenzierbarkeit überprüft? Das hab ich noch nicht so
> recht verstanden, erst recht nicht bei einem Vektorfeld.
was genau hast Du denn nicht verstanden? Was sagt das Skript zum Thema totale Differenzierbarkeit?
Kannst Du Deine Frage präzisieren?
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Sa 05.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Berechne die jacobimatrix von f in jedem x [mm] \in \IR^3.
[/mm]
Dann wirst Du sehen, dass alle Einträge dieser Matrix stetige Funktionen sind.
Ihr hattet sicher den Satz, dass daraus folgt, dass f in jedem x total differenzierbar ist.
FRED
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Und genau da war mein Problem. Ich dachte auch daran die Jacobimatrix zu bestimmen aber das war ja schon im 2.Aufgabenteil gefordert, daher gehe ich davon aus, dass das bei der totalen Differenzierbarkeit anders gezeigt werden muss. Die Frage ist nur wie.
Gibt es noch andere Möglichkeiten das für ein Vektorfeld zu zeigen?
Könnt ihr mir auch noch einen Tipp geben für Aufgabenteil c)? Muss ich da lediglich die Determinante dieses Vektorfeldes berechnen und zeigen dass die Behauptung in der Aufgabe stimmt? Ich weiß nur nicht genau wie ich hiervon die Determinante berechne..das ist mir nur von matrizen bekannt.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Sa 05.05.2012 | | Autor: | chrisno |
> Und genau da war mein Problem. Ich dachte auch daran die
> Jacobimatrix zu bestimmen aber das war ja schon im
> 2.Aufgabenteil gefordert, daher gehe ich davon aus, dass
> das bei der totalen Differenzierbarkeit anders gezeigt
> werden muss. Die Frage ist nur wie.
> Gibt es noch andere Möglichkeiten das für ein Vektorfeld
> zu zeigen?
Du kannst natürlich auf die Definition der totalen Differenierbarkeit zurückfallen. Das ist aber keine gute Idee.
Manchmal ist es schlauer, die Aufgabenteile nicht in der vorgegebene Reihenfolge abzuarbeiten. DU hast getan, was Du solltest, sobald Du erklärst, wie Du aus der Jacobi-Matrix zur totalen Differenzierbarkeit kommst.
>
> Könnt ihr mir auch noch einen Tipp geben für Aufgabenteil
> c)? Muss ich da lediglich die Determinante dieses
> Vektorfeldes berechnen und zeigen dass die Behauptung in
> der Aufgabe stimmt? Ich weiß nur nicht genau wie ich
> hiervon die Determinante berechne..das ist mir nur von
> matrizen bekannt.
Da bist Du genau richtig. Du sollst doch die Determinante der Jacobimatrix berechnen.
>
>
> MfG
> Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Okay, dann weiß ich was zu tun ist. Wohl wieder einfacher als gedacht! Vielen Dank! :)
MfG
Mathegirl
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kann man totale Differenzierbarkeit noch anders zeigen als mit der Jacobi Matrix? Es ergibt nämlich keinen Sinn wenn erst im 2. Aufgabenteil verlangt wird die aufzustellen.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> kann man totale Differenzierbarkeit noch anders zeigen als
> mit der Jacobi Matrix?
Dann machs doch mit der Definition: zeige: ist [mm] x_0 \in \IR^3, [/mm] so gibt es eine 3x3-Matrix A mit:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)-A*h}{||h||}=0.
[/mm]
Allerdings ist die einzige Matrix die obiges erfüllt die Jacobimatrix von f in [mm] x_0.......
[/mm]
Viel Vergnügen.
> Es ergibt nämlich keinen Sinn wenn erst im 2. Aufgabenteil verlangt wird die aufzustellen.
Beschwere Dich beim Aufgabensteller.
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Die Jacobi matrix müsste ja sein:
[mm] J_f(x)=\pmat{ sinx_2*cosx_3 & x_1*cosx_2*cosx_3 & -x_1*sinx_2*sinx_3 \\ sinx_2*sinx_3 & x_1*cosx_2*sinx_3 & x_1*sinx_2*cosx_3 \\ cosx_2 & -x_1cosx_2 & 0 }
[/mm]
Muss ich jetzt für jeden einzelnen Eintrag zeigen dass dieser Stetig ist?
Weil da weiß ich nicht genau wie ich das mache.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 So 06.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Es gibt Sätze über die Verknüpfung stetiger Funkionen. Dass die x -> x und x -> cos(x) stetig sind, sollte schon abgehakt sein. Das Produkt zweier stetiger Funktionen .....
Zu der anderen Frage: Wie lautet die Definition für totale Differenzierbarkeit? ....
Ich bleibe bei meiner Anmerkung.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Di 08.05.2012 | | Autor: | heinze |
F ist stetig partiell differenzierbar, also auch total differenzierbar.
Könnt ihr nochmal erklären wie ich stetig partiell differenzierbar zeige bei einem vektorfeld?
Alle Einträge der Jakobi Matrix müssen Stetig sein. Wie man das zeigt weiß ich nicht. Es wurde etwas von Sätzen und Verknüpfungen erwähnt aber da ist mir die Anwendung nicht bekannt.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Di 08.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Wenn die Stetigkeit eingeführt wird, gibt es dazu Beispiele. Dann wird abgehandelt, dass $f(x) = [mm] x^n$ [/mm] sin(x) und weitere alle stetig sind. Weiterhin gilt, dass die Summe und das Produkt stetiger Funktionen wieder stetig sind.
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Ok..ich habe jetzt also die Jakobi - matrix bestimmt...kann ich dann einfach sagen das alle Einträge stetig sind z-B. [mm] sinx_2*cosx_3 [/mm] , [mm] cosx_2,.... [/mm] da nach Definition [mm] sinx_2 [/mm] stetig ist und [mm] cosx_3 [/mm] und das Produkt stetiger Funktionen immer stetig ist. Und wenn alle partiellen Ableitungen stetig sind, dann folgt totale Diff'barkeit?
genügt das?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok..ich habe jetzt also die Jakobi - matrix bestimmt...kann
> ich dann einfach sagen das alle Einträge stetig sind z-B.
> [mm]sinx_2*cosx_3[/mm] , [mm]cosx_2,....[/mm] da nach Definition [mm]sinx_2[/mm]
> stetig ist und [mm]cosx_3[/mm] und das Produkt stetiger Funktionen
> immer stetig ist. Und wenn alle partiellen Ableitungen
> stetig sind, dann folgt totale Diff'barkeit?
>
> genügt das?
Ja
FRED
>
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Ich glaube du hast einen falschen Eintrag an der Stelle:
letzte Zeile mittlere Spalte,
da Ableitung von cos(x)!=-cos(x)(ungleich)
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