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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Di 22.11.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey!
Haben ein paar Fragen bekommen, die wir beantworten sollen, bin mir aber nicht ganz sicher:
1. Es sei im [mm] \IR [/mm] -Vektorraum [mm] \IR^3 [/mm] folgende Vektoren [mm] v_1 [/mm] = (2;1;3) [mm] v_2 [/mm] = (1;0;2) [mm] v_3 [/mm] = (3;2;4) [mm] v_4 [/mm] = (1;2;3) gegeben. Sind die folgenden Aussagen richtig:
a) Der Vektor (1;0;1) [mm] \in \IR [/mm] liegt im von [mm] \{ v_1, v_2, v_3 \} [/mm] aufgespannten Raum.
Ich würde nein sagen, weil wenn man ein LGS aufstellt bekommt man einen Widerspruch heraus.
b) Für alle i , j [mm] \in \{ 1,2,3,4 \} [/mm] gilt [mm] span_\IR \{ v_i, v_j \} = \{ av_i + av_j | a \in \IR \} [/mm]
Ich würde eigentlich sofort ja sagen, aber dieses a stört mich ein wenig. Das muss doch eigentlich nicht zwingend gleich sein, oder? Ich hätte gesagt: [mm] \{ a_1v_i + a_2v_j | a_1, a_2 \in \IR \} [/mm]
c) Der von [mm] \{ v_1, v_2 \} [/mm] aufgespannte Raum ist gleich dem von [mm] \{ v_1, v_3 \} [/mm] aufgespannten Raum.
Da wären wir eigentlich schon wieder bei der Frage zuvor. Weil wenn bei einer Linearkombination aus zwei Vektoren der Vorfaktor gleich sein muss würde ich die Aussage als falsch ansehen. Wenn der Vorfaktor nicht gleich sein muss würde ich sie als wahr ansehen (wegen Überbestimmtheit)!
2. Sei V ein K-Vektorraum. Sind die folgenden Aussagen für beliebige Teilmengen [mm] X \subseteq Y \subseteq V [/mm] richtig?
a) Ist X ein Erzeugendensystem von V, so auch Y.
Ja, weil alle Elemente aus X ja auch mindestens in Y sein müssen. Und wenn X bereits Erzeugendensystem ist muss Y es auch von V sein. In Y könnten zwar auch noch weiter linear abhängige oder unabhängige Vektoren vorkommen, aber das würde beim Erzeugendensystem keine Rolle spielen, oder?
b) Ist X [mm] \ne [/mm] Y, so ist [mm] span_\IR [/mm] (X) [mm] \ne [/mm] [mm] span_\IR [/mm] (Y)
ja, Beispiel: X könnte zweidimensional sein und Y dreidimensional, somit wären auch die aufgespannten Räume von X und Y ungleich.
nebenbei: Das [mm] \IR [/mm] wundert mich bei dieser Aussage ein wenig. Es handelt sich doch eigentlich um einen K-Vektorraum. Müsste dann da nicht auch K als Indes stehen?
Ich hoffe ihr könnt meine Gedanken nachvollziehen und sie ggf. korrigieren!
mfg Mitch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Di 22.11.2005 | | Autor: | Tobi0909 |
Bei allen Fragen kann ich dir leider nicht helfen, da ich mir da selber ein bisschen unsicher bin.
1a)
Der Vektor (1,0,1) liegt auf alle Fälle nicht im aufegapannten Raum von [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$.
[/mm]
1b)
Ich hätte ich [mm] $span_K$ [/mm] auch als $ [mm] \{ \summe_{i=1}^{n}a_iv_i | n \in \IN, a_i \in K, v_i \in V \} [/mm] $ definiert. Bin mir aber leider nicht ganz sicher. Bei uns heißt da lineare Hülle.(Frage an alle anderen: ist dieser $span$ gleich der linearen Hülle ??)
1c)
Der aufgespannte Raum von [mm] $\{v_1, v_2\}$ [/mm] ist nicht der Raum von [mm] $\{v_3, v_4\}$. [/mm] Prüfen muss man, ob [mm] $v_1,v_2,v_4$ [/mm] und [mm] $v_1,v_2, v_3$ [/mm] linear abhängig sind. [mm] $v_3 [/mm] = [mm] 2\dot v_1 [/mm] - [mm] v_2$. [/mm] der Vektor würde passen, aber [mm] $v_4 [/mm] $ kann man nicht als Linearkombination von $ [mm] \{v_1, v_2\}$ [/mm] darstellen.
2a)
Einen richtigen Beweis kann ich dir leider nicht liefern, aber soviel:
Ein Vektor ist streng genommen nicht linear Abhängig (außer der Nullvektor). Linear abhängig sind nur Mengen. Also kann man eigentlich nicht von linear abhängigen Vektoren sprechen. Aber das ist Haarspalterei.
Zu zeigen wäre, dass jeder Vektor [mm] $v_i \in [/mm] Y [mm] \setminus [/mm] X$ duch eine Linearkombination aus Vektoren [mm] $\in [/mm] X$ dastellbar ist. Vielleicht kommst du jetzt auf einen mathematischen Beweis.
Vektoren [mm] $\in [/mm] Y [mm] \setminus [/mm] X$,die nicht als Linearkombinationen von Vektoren aus X dargestellt werden können würden sehrwohl eine Rolle spielen, da dann X kein Erzeigendensystem von V mehr wäre.
2b)
Ich denke die Aussage nicht richtig, möchte mich aber in meiner Ausführung zurückhalten, weil ich mir nicht 100% sicher bin.
Man kann aber durchaus zwei verschiedene Mengen X und Y finden, für die gilt:
1. $ X [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] V $
2. $ X [mm] \ne [/mm] Y $
aber deren aufgespannten Räume gleich sind.
z.B.: $X = [mm] \{(1,0,0),(0,1,0)\}$ [/mm] und [mm] $Y=\{(1,0,0),(0,1,0),(2,1,0)\}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Di 22.11.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey danke für deinen Kommentar!
1b)
Ich hätte ich $ [mm] span_K [/mm] $ auch als $ [mm] \{ \summe_{i=1}^{n}a_iv_i | n \in \IN, a_i \in K, v_i \in V \} [/mm] $ definiert. Bin mir aber leider nicht ganz sicher. Bei uns heißt da lineare Hülle.(Frage an alle anderen: ist dieser $ span $ gleich der linearen Hülle ??)
ja spanentspricht der linearen Hülle.
1c)
Der aufgespannte Raum von $ [mm] \{v_1, v_2\} [/mm] $ ist nicht der Raum von $ [mm] \{v_3, v_4\} [/mm] $. Prüfen muss man, ob $ [mm] v_1,v_2,v_4 [/mm] $ und $ [mm] v_1,v_2, v_3 [/mm] $ linear abhängig sind. $ [mm] v_3 [/mm] = [mm] 2\dot v_1 [/mm] - [mm] v_2 [/mm] $. der Vektor würde passen, aber $ [mm] v_4 [/mm] $ kann man nicht als Linearkombination von $ [mm] \{v_1, v_2\} [/mm] $ darstellen.
es war die Rede von [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_1,v_3 [/mm] ! Ich hatte mich schon nicht verschrieben! 
2b)
Ich denke die Aussage nicht richtig, möchte mich aber in meiner Ausführung zurückhalten, weil ich mir nicht 100% sicher bin.
Man kann aber durchaus zwei verschiedene Mengen X und Y finden, für die gilt:
1. $ X [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] V $
2. $ X [mm] \ne [/mm] Y $
aber deren aufgespannten Räume gleich sind.
z.B.: $ X = [mm] \{(1,0,0),(0,1,0)\} [/mm] $ und $ [mm] Y=\{(1,0,0),(0,1,0),(2,1,0)\} [/mm] $
Okay hast Recht, damit ist die Aussage falsch.
Danke, Gruß Mitch
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> 1. Es sei im [mm]\IR[/mm] -Vektorraum [mm]\IR^3[/mm] folgende Vektoren [mm]v_1[/mm] =
> (2;1;3) [mm]v_2[/mm] = (1;0;2) [mm]v_3[/mm] = (3;2;4) [mm]v_4[/mm] = (1;2;3) gegeben.
> Sind die folgenden Aussagen richtig:
>
> a) Der Vektor (1;0;1) [mm]\in \IR[/mm] liegt im von [mm]\{ v_1, v_2, v_3 \}[/mm]
> aufgespannten Raum.
> Ich würde nein sagen,
richtig
weil wenn man ein LGS aufstellt
> bekommt man einen Widerspruch heraus.
>
> b) Für alle i , j [mm]\in \{ 1,2,3,4 \}[/mm] gilt [mm]span_\IR \{ v_i, v_j \} = \{ av_i + av_j | a \in \IR \}[/mm]
Die Aussage ist nicht richtig. Die Menge, die dort angegeben ist, ist [mm] span_\IR \{ v_i+v_j \}
[/mm]
>
> Ich würde eigentlich sofort ja sagen, aber dieses a stört
> mich ein wenig. Das muss doch eigentlich nicht zwingend
> gleich sein, oder? Ich hätte gesagt: [mm]\{ a_1v_i + a_2v_j | a_1, a_2 \in \IR \}[/mm]
>
> c) Der von [mm]\{ v_1, v_2 \}[/mm] aufgespannte Raum ist gleich dem
> von [mm]\{ v_1, v_3 \}[/mm] aufgespannten Raum.
> Da wären wir eigentlich schon wieder bei der Frage zuvor.
> Weil wenn bei einer Linearkombination aus zwei Vektoren der
> Vorfaktor gleich sein muss würde ich die Aussage als falsch
> ansehen. Wenn der Vorfaktor nicht gleich sein muss würde
> ich sie als wahr ansehen (wegen Überbestimmtheit)!
Wir haben es mit zwei Ebenen zu tun. Wenn [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] beide in der von [mm] v_1,v_2 [/mm] aufgespannten Ebene liegen, sind die beiden Räume gleich. [mm] v_1 [/mm] liegt drin, logo, [mm] v_3 [/mm] meiner Rechnung nach auch, also sind die aufgespannten Räume gleich.
>
> 2. Sei V ein K-Vektorraum. Sind die folgenden Aussagen für
> beliebige Teilmengen [mm]X \subseteq Y \subseteq V[/mm] richtig?
>
> a) Ist X ein Erzeugendensystem von V, so auch Y.
> Ja, weil alle Elemente aus X ja auch mindestens in Y sein
> müssen. Und wenn X bereits Erzeugendensystem ist muss Y es
> auch von V sein. In Y könnten zwar auch noch weiter linear
> abhängige oder unabhängige Vektoren vorkommen, aber das
> würde beim Erzeugendensystem keine Rolle spielen, oder?
Genau
>
> b) Ist X [mm]\ne[/mm] Y, so ist [mm]span_\IR[/mm] (X) [mm]\ne[/mm] [mm]span_\IR[/mm] (Y)
> ja, Beispiel: X könnte zweidimensional sein und Y
> dreidimensional, somit wären auch die aufgespannten Räume
> von X und Y ungleich.
Ja, schon, aber die Ungleichheit des Spanns folgt nicht ZWINGEND aus der Ungleichheit der Mengen. Nimm X:={ [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] }, und Y:={ [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{5\\ 0}} [/mm] Trotz verschiedener Mengenist der Spann gleich.
> nebenbei: Das [mm]\IR[/mm] wundert mich bei dieser Aussage ein
> wenig. Es handelt sich doch eigentlich um einen
> K-Vektorraum. Müsste dann da nicht auch K als Indes
> stehen?
Schlamperei.
Gruß v. Angela
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> Ich hoffe ihr könnt meine Gedanken nachvollziehen und sie
> ggf. korrigieren!
> mfg Mitch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mi 23.11.2005 | | Autor: | clyrix |
Der von {v1,v2} aufgespannte Raum soll gleich dem durch {v1,v3} aufgespannten Raum sein.
Wie kommst du dadrauf, dass die Aussage falsch ist ?
v3 = 2*v1 - v2
==> die Ebenen liegen aufeinander
So ist zumindest meine Überlegung...bitte um Korrektur, falls falsch!
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> So ist zumindest meine Überlegung
Du hast richtig überlegt, und ich habe falsch gerechnet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Do 24.11.2005 | | Autor: | Mitch |
jep, ich habs auch durchgerechnet und habe festgestellt, dass [mm] v_3 [/mm] drin liegt!
Trotzdem vielen Dank an Angela!!!
Gruß Mitch
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:00 Mi 23.11.2005 | | Autor: | bumblebee |
hi ich habe noch ein paar fragen zu änlichen aufgaben:
zu 1a: der vektor (1,1,1) liegt im von {v1,v2,v3} aufgespannten raum.
ich würde sagen ja, den er ist linear abhängig von den drei vektoren.?
frage: für welches t ist (4,4,t) [mm] \in [/mm] span{v3,v4}?
ich würde sagen, 7, weil (3,2,4) + (1,2,3) = (4,4,7) ist.?
frage: ist {v1,v2,v3} eine basis von [mm] \IR^{3}?
[/mm]
würde sagen ja, weil die die drei vektoren linea unabhängig sind?
frage: der von {v1,v2} aufgespannte raum ist gleich dem von {v1,v4} aufgespannten raum?
ich glaube, die ebenen sind nicht gleich, also sind die räume nicht gleich. (wie kann man genau prüfen, ob die ebenen gleich sind?)
frage: für alle i,j [mm] \in [/mm] {1,2,3,4} gilt span [mm] \IR [/mm] {vi,vj} = {a*vi + b*vj | a,b [mm] \in \IQ}
[/mm]
hier hab ich leider keinen plan, was genau mir der ausdruck sagen soll.
kann mir nochmal einer kurz erklären, was der span ist?
zu 2. von Mitch
ist X ein Untervektorraum von V, so ist span(X) = X
im buch steht M [mm] \subset [/mm] span(M) [mm] \subset [/mm] V
also ist die aussage falsch, aber warum? was genau unterscheidet den span von der menge?
ist X linear unabhängig, dann ist auch Y linear unabhängig
ist Y linear abhängig, dann ist auch X linear abhängig.
ich glaube die aussagen stimmen beide nicht, weil wenn X linear unabhängig ist könnten in Y noch mehr Elemente sein, die es linear abhängig machen. umgekehrt, wenn Y anhängig ist, könnte man Elemente wegnehmen, so dass ein linear unabhängiges System übrig bleibt, welches dann X ist.
Hoffe ihr könnt mir sagen, ob meine gedanken richtig oder falsch sind.
Danke
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