Vektorräume, Basen, lin. Abb. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich sitze zur Zeit an folgenden Aufgaben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit Teilaufgabe 3 bin ich durch. Aber den Rest? Ich verstehe das nicht wirklich. Ich habe das Skript schon studiert und mir folgende Überlegungen gemacht:
1) Um zzg., dass B eine Basis von V ist, muss sie linear unabhängig sein, und ein Erzeugendensystem von B sein, aber ich weiß nicht wie ich das beweise?
2) was muss ich da machen?
3) ist erledigt..
4) Dazu muss ich erst mal wissen, was ein Isomorphismus ist, und bei mir steht "ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus." Und ein Homomorphismus ist eine Abbildung V [mm] \to [/mm] W zwischen zwei K-Vektorräumen V und W!
Aber das hilft mir nicht viel weiter  DEnn ich weiß nicht, wie ich das zeigen muss.
Ich freue mich über jede Hilfe!
Viele Grüße und Danke im Vorraus,
Informacao
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Di 02.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> 1) Um zzg., dass B eine Basis von V ist, muss sie linear
> unabhängig sein, und ein Erzeugendensystem von B sein, aber
> ich weiß nicht wie ich das beweise?
naja : fast !
eine Basis ist eine maximale linear unabhängige Vektorenmenge ODER (was äquivalent ist) ein minimales Erzeugendensystem.
Hier musst du nur zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, denn du kennst du maximale Anzahl ja schon (es sind ja 3)
wie sehen die Vektoren in B eigentlich aus, wenn du die Basis A zugrunde legst ?!?
(, diese Vektoren (nicht die Polynome) sollen jetzt mal [mm] B_A [/mm] heißen !)
>
> 2) was muss ich da machen?
[mm] T^B_A [/mm] ist einfach die Matrix, die entsteht, wenn du die VEKTOREN aus [mm] B_A [/mm] als Spalten in eine Matrix schreibst.
[mm] T^A_B [/mm] ist dann einfach nur die Inverse Matrix von [mm] T^B_A
[/mm]
lies am besten mal den Artikel :  Transformationsmatrix
> 4) Dazu muss ich erst mal wissen, was ein Isomorphismus
> ist, und bei mir steht "ein Isomorphismus ist ein
> bijektiver Homomorphismus." Und ein Homomorphismus ist eine
> Abbildung V [mm]\to[/mm] W zwischen zwei K-Vektorräumen V und W!
> Aber das hilft mir nicht viel weiter DEnn ich weiß
> nicht, wie ich das zeigen muss.
ein Homomorphismus ist eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen und ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
du musst also zuerst Linearität zeigen und dann auch noch Bijektivität.
(bzw bei endlich-dimensionalen Endomorphismen (=Homomorphismen auf sich selbst) reicht Surjektivität ODER Injektivität schon aus für Bijektivität)
wenn ich F jetzt richtig interpretiere ist das nur die Ableitungsabbildung, oder?
dann schau mal zum ersteren HIER
viele Grüße
DaMenge
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Hi,
danke schonmal für die Antwort. Ich habe mich schonmal an die Aufgabe 1 gerade gemacht. Ich komme nicht ganz klar: Also, ich will zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Also müssen die einzelnen Vektoren zusammen nur 0 ergeben. Stimmt das?
Und wenn ich das gezeigt habe, kann ich daraus schließen, dass B eine Basis von V ist, richtig?
So, verstanden habe ich das einigermaßen. Aber ich weiß nicht, wie ich das aufschreiben muss, also wie ich beweisen kann, dass die einzelnen Vektoren 0 ergeben, also linear unabhängig sind?!
Würde mich nochmal über Hilfe freuen!
Danke!
Informacao
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Naja, nicht ganz. LU bedeutet doch
[mm] $\alpha \vec [/mm] a + [mm] \beta \vec [/mm] b [mm] +\gamma \vec c...=\vec [/mm] 0$ genau (ausschließlich) dann, wenn [mm] $\alpha= \beta= \gamma=...=0$
[/mm]
Also, multipliziere jedes der Polynome mit einer Variablen, und addiere die drei. Das soll gleich 0 sein, und zwar für alle x!
Um das zu machen, sortierst du den Ausdruck zu einem schönen Polynom in x (also ...x²+...x+...=0)um. Null wird das nur, wenn die einzelnen Vorfaktoren (in denen jetz überall die drei Variablen drinstehen), null sind.
Du bekommst somit drei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten, die du lösen mußt. Es sollte sich herausstellen, daß alle drei Unbekannten 0 sind!
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Hallo,
ich verstehe nicht ganz, wie ich das nun machen kann. Kannst du mir vielleicht mal erklären, wie ich auf die Gleichungen komme? Oder wie ich die GS aufstelle? Ich hänge nämlich immer noch daran.
MfG
Informacao
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Also, jedes der drei Polynome ist ein Vektor, wird mit einer Variablen multipliziert, du die Summe soll 0 ergeben:
[mm] $\alpha* (2x^2-x-1)+\beta*(-2x^2+3x+2)+\gamma*(-x^2+x+1)=0$
[/mm]
Umsortieren:
$(2 [mm] \alpha-2\beta-\gamma)*x^2+(-\alpha+3\beta+\gamma)*x+(-\alpha+2\beta+\gamma)=0$
[/mm]
Das soll für ALLE x gelten.
Anschaulich: Du hast eine Parabel und eine Grade durch den Ursprung sowie eine konstane. Wie müssen Konstante, Steigung und Verzerrungsfaktor gewählt werden, damit die Summe aller drei Funktionen überall null ist? Nun, alle diese Werte müssen 0 sein. Also:
$2 [mm] \alpha-2\beta-\gamma=0$
[/mm]
[mm] $-\alpha+3\beta+\gamma=0$
[/mm]
[mm] $-\alpha+2\beta+\gamma=0$
[/mm]
Du mußt nun zeigen, daß das ausschließlich für [mm] $\alpha=\beta=\gamma=0$ [/mm] gilt. Das ist per Definition eine Lösung (geht aus der ersten formel in diesem Beitrag hervor), aber gibt es noch andere? Wenn ja, gibt es unendlich viele Lösungen (ein LGS hat ja eine, keine oder unendlich viele Lösungen).
Also, eigentlich mußt du nur schauen, ob dieses System eindeutig lösbar ist, z.B. mittels einer Determinante, zur Not mußt du eben das LGS wirklich ausrechnen, und wirst feststellen, daß 0 tatsächlich die einzige Lösung ist und die Polynome eine Basis bilden.
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Hallo,
ich musste doch festellen, dass ich die Aufgabe 3 noch nicht verstanden habe. Könnt ihr mir da vielleicht nochmal beim Ansatz helfen?
Danke im Vorraus,
viele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 So 07.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hattest am Anfang geschrieben, dass diese Aufgabe erledigt sei - was hat sich jetzt geändert?
Wo sind also deine Ansätze dazu?
Dann geb ich mal einen Ansatz:
Das Bild des i-ten Basisvektors steht als i-te SPALTE in der darstellungsmatrix.
als Beispiel:
also das Polynom [mm] 3x^2+2x+5 [/mm] wäre bzgl A der Vektor (3,2,5) und die Ableitung wäre 6x+2 , also der Vektor (0,6,2)
jetzt musst du also nur die Bilder der BASISVEKTOREN bestimmen und als Spalten in eine Matrix schreiben..
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 So 07.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal, du scheinst öfter mal dieselben Fragen zu stellen, wie gewisse andere User hier im Forum - schau doch bitte in Zukunft einfach mal vorher, ob diese nicht auch schon das gefragt haben, was du wissen wolltest...
So haben wir mehrere Threads zu denselbem Thema...
(das hätte man den Helfern ersparen können)
schau mal HIER
(du kannst dir die Liste der Threads von anderen Usern auch anschauen, wenn du deren Profil anschaust)
viele Grüße
DaMenge
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