Vektorraum-Axiom < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum. Es wird behauptet: Für jedes [mm] \lambda \in \IR [/mm] gilt [mm] \lambda \* [/mm] 0 (Nullvektor) = 0 (Nullvektor).
Das soll man mittels den Vektorraum Axiomen beweisen. |
Ich habe keine Ahnung, welches Axiom ich dazu verwenden kann.
Also für mich ist klar, dass [mm] \lambda \* \vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] \lambda \* [/mm] 0 für x und [mm] \lambda \* [/mm] 0 für y beides mal Null ergibt und damit auch den Nullvektor.
Aber welches Axiom verwende ich ?
LG
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> Sei V ein Vektorraum. Es wird behauptet: Für jedes [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> gilt [mm]\lambda \*[/mm] 0 (Nullvektor) = 0 (Nullvektor).
> Aber welches Axiom verwende ich ?
Hallo,
versuch's mal so: [mm] \lambda*\vec{0}=\lambda*(\vec{0}+\vec{0}) [/mm] = ... und dann weiter.
Gruß v. Angela
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Also quasi so?
[mm] \lambda \* [/mm] (Nullvektor) = (Nullvektor) + (Nullvektor), daher ist [mm] \lambda \* [/mm] (Nullvektor) = [mm] \lambda \* [/mm] ((Nullvektor) + (Nullvektor))
und das ist gleich (Nullvektor) [mm] \* \lambda [/mm] + (Nullvektor) [mm] \* \lambda
[/mm]
Und das ergibt ja wieder den Nullvektor
Reicht das dann?
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> Also quasi so?
>
> [mm]\lambda \*[/mm] (Nullvektor) = (Nullvektor) + (Nullvektor),
> daher ist [mm]\lambda \*[/mm] (Nullvektor) = [mm]\lambda \*[/mm]
> ((Nullvektor) + (Nullvektor))
> und das ist gleich (Nullvektor) [mm]\* \lambda[/mm] + (Nullvektor)
> [mm]\* \lambda[/mm]
> Und das ergibt ja wieder den Nullvektor
>
> Reicht das dann?
Hallo,
bitte verwende den Formeleditor, Eingabehilfen sind unterhalb des Eingabefensters.
Nein, Deiner Argumentation kann ich nicht folgen.
Fang doch mal so an, wie ich es gemacht habe. Ich habe ja gleich hinter dem Gleichheitszeichen ein Axiom benutzt. Welches (?)
Man erhält dann, das erkennst Du richtig
> [mm] \lambda \*[/mm] [/mm] (Nullvektor)
> gleich (Nullvektor) [mm]\* \lambda[/mm] + (Nullvektor)
> [mm]\* \lambda[/mm]
Jetzt könntest Du wieder mit einem Axiom kommen. Denke daran, daß der vektorraum eine Gruppe mit der Addition ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Do 13.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Okay,
nochmal. 
[mm] \lambda \* \vec{0} [/mm] = [mm] \lambda \* [/mm] ( [mm] \vec{0} [/mm] + [mm] \vec{0} [/mm] ) --> Skalarmultiplikation
= [mm] \lambda \* \vec{0} [/mm] + [mm] \lambda \* \vec{0} [/mm] ---> Distributivität
= [mm] \lambda \* \vec{0} [/mm] + [mm] \lambda \* \vec{0} [/mm] = [mm] \lambda \* \vec{0} [/mm] + [mm] \lambda \* \vec{0} [/mm] --> Addition kummutativ
?? Soweit okay? Wie gehts dann weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Fr 14.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist denn der Nullvektor? Stell den mal aus Vektoren [mm] \ne0 [/mm] her!
Gruss leduart
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Meinst Du sowas wie:
0 [mm] \* \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Meinst Du sowas wie:
>
> 0 [mm]\* \vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm] ?
nein. Bitte schreibe hier keine Vektoren des [mm] $\IR^n\,$ [/mm] (Du beschränkst Dich ja anscheinend sogar auf den [mm] $\IR^2$; [/mm] nur wieso???) es gibt zwar gewisse Dinge, die bei gewissen (endlich-dimensionalen Vektorräumen) analog gehen, aber i.a. ist ein Vektorraum sehr viel allgemeiner (es gibt ja unendlich dimensionale Vektorräume!).
Deswegen sollst Du ja nur die Vektorraumaxiome benutzen:
Am besten fängt man eigentlich so an:
[mm] $$\vec{0}=\lambda*\vec{0}+(-\lambda*\vec{0})$$ [/mm] und jetzt benutze das, was Angela oben schon angedeutet hat:
$$ [mm] \lambda\cdot{}\vec{0}=\lambda\cdot{}(\vec{0}+\vec{0})$$
[/mm]
P.S.:
Angela wollte übrigens darauf hinaus:
[mm] $$\lambda\cdot{}\vec{0}=\lambda\cdot{}(\vec{0}+\vec{0})=\lambda\cdot{}\vec{0}+\lambda\cdot{}\vec{0}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \lambda\cdot{}\vec{0}+(-\lambda\cdot{}\vec{0})=(\lambda\cdot{}\vec{0}+\lambda\cdot{}\vec{0})+(-\lambda\cdot{}\vec{0})$$
[/mm]
Linkerhand steht nun eh schon [mm] $\vec{0}$ [/mm] (Warum?) und rechterhand kann man so nach und nach gewisse VR-Axiome benutzen (z.B. Assoziativegsetz), um zu erkennen, dass dort [mm] $\lambda*\vec{0}$ [/mm] steht.
Übrigens:
Oben bezeichne ich mit [mm] $-\lambda*\vec{0}$ [/mm] das additiv Inverse zu [mm] $\lambda*\vec{0}\,,$ [/mm] was ich daher eigentlich besser als [mm] $-(\lambda*\vec{0})$ [/mm] schreiben sollte. Das ist aber wegen eines gewissen Axioms wieder egal  .
Gruß,
Marcel
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