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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mo 15.01.2007 | | Autor: | diego |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über einem Körper K, und seien U und W Unterräume von V. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.
1. Wenn V/U oder V/W endlich erzeugt sind, dann ist V/(U+W) endlich erzeugt.
2. Wenn V/(U+W) endlich erzeugt ist, dann ist V/U oder V/W endlich erzeugt. |
Hallo,
könnt ihr mir bitte, bitte helfen!
Das Thema sind eigentlich unendlichdimensionale Vektorräume, aber wie kann ich das auf die Aufgabe anwenden?
Muss ich irgendwas mit den Indizien machen?
Wäre über eine Tip sehr dankbar!!!
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 21:30 Di 16.01.2007 | | Autor: | Stoecki |
zur ersten kann ich dir spontan helfen... die frage ist was ist u+w...
u+w ider der kleinste unterraum der sowohl u als auch w enthält... also sind u und w teilmenge von u+w (also sogar unterräume)
Wenn u und w jedoch beide von ihrer dimension kleiner gleich u+w sind und [mm] V\(u) [/mm] oder [mm] V\(w) [/mm] endlich erzeugt sind (es also für eine der räume eine endliche basis gibt) dann gibt es auch für [mm] V\(u+w) [/mm] eine endliche basis, da diese menge ja definitiv kleiner ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 So 21.01.2007 | | Autor: | Sashman |
Moin diego!
zu 2.)
denke das ist mit einem Gegenbeispiel zu erschlagen.
Sei $V=K[T], [mm] U=,W=$
[/mm]
Dann ist [mm] $dim(V/(U+W))=0\to$ [/mm] endlich erzeugt aber
[mm] $dim(V/U)=dim(V/W)=\infty\to$ [/mm] nicht endlich erzeugt.
Viele Grüße nach Niedersachsen
Sashman
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