Vektorraum - k-Algebra < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:24 Do 25.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
| Aufgabe | Vektorraum [...] heißt K-Algebra, wenn [mm] (V,+,\circ) [/mm] Ring UND
[mm] \forall a,b\in K\forall v,w\in V:(a*v)\circ(b*w)=(ab)*(v\circ [/mm] w) |
Hey =)
Also bei der Aufgabenstellung oben versteh ich dieses zusätzlich Angefügte nicht [mm] [(a*v)\circ(b*w)=(ab)*(v\circ [/mm] w)] Also dieses (ab) ist ja eigentlich auch [mm] (a\circ [/mm] b), nur jedes Mal, wenn ich nachrechne, stimmt da was nicht.
Als Beispiel hab ich jetzt
(3*4)+(5*6)=(3+5)*(4+6) genommen, daraus folgt [mm] 12+30\not=15*10...
[/mm]
Ich glaub ich hab grad eine zu lange Leitung :D
Gruß,
s-jojo
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> Vektorraum [...] heißt K-Algebra, wenn [mm](V,+,\circ)[/mm] Ring
> UND
> [mm]\forall a,b\in K\forall v,w\in V:(a*v)\circ(b*w)=(ab)*(v\circ[/mm]
> w)
> Hey =)
>
> Also bei der Aufgabenstellung oben versteh ich dieses
> zusätzlich Angefügte nicht [mm][(a*v)\circ(b*w)=(ab)*(v\circ[/mm]
> w)] Also dieses (ab) ist ja eigentlich auch [mm](a\circ[/mm] b), nur
> jedes Mal, wenn ich nachrechne, stimmt da was nicht.
>
> Als Beispiel hab ich jetzt
> (3*4)+(5*6)=(3+5)*(4+6) genommen, daraus folgt
> [mm]12+30\not=15*10...[/mm]
>
>
> Ich glaub ich hab grad eine zu lange Leitung :D
Hallo,
nein, Du hast zu stark verkürzt, fürchte ich...
Was hast Du denn bei [...] weggelassen?
Wenn du ein Beispiel machst - was eine gute Idee ist -, mußt Du Dir erstmal klarmachen, welche Menge mit welchen Verknüpfungen Du betrachtest.
Du hast zwei Multiplikationen: einmal die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren, dann die Multiplikation im Ring.
Und von diesen Multiplikationen handelt [mm] (a*v)\circ(b*w)=(ab)*(v\circ [/mm] w). "+" hat dort nichts zu suchen.
Gruß v. Angela
>
> Gruß,
> s-jojo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 28.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
Hey :)
> Hallo,
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> nein, Du hast zu stark verkürzt, fürchte ich...
> Was hast Du denn bei [...] weggelassen?
Achso, stimmt, also da stand: Vektorraum (V,+,*) zusammen mit Abb. [mm] \circ:V\times V\to [/mm] V, [mm] (v,w)\to v\circ [/mm] w - Multiplikation- heißt K-Algebra, wenn [mm](V,+,\circ)[/mm] Ring
> Du hast zwei Multiplikationen: einmal die Multiplikation
> von Vektoren mit Skalaren, dann die Multiplikation im
> Ring.
> Und von diesen Multiplikationen handelt
> [mm](a*v)\circ(b*w)=(ab)*(v\circ[/mm] w). "+" hat dort nichts zu
> suchen.
>
Hm... das heißt wenn ich jetzt (3*4)*(5*6) hab, ist das das gleiche wie (3*6)*(4*5)... was ist daran denn so besonders? das hat man doch schon in der Schule gehabt...
Lg,
s-jojo
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> Hey :)
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> > Hallo,
> >
> > nein, Du hast zu stark verkürzt, fürchte ich...
> > Was hast Du denn bei [...] weggelassen?
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> Achso, stimmt, also da stand: Vektorraum (V,+,*) zusammen
> mit Abb. [mm]\circ:V\times V\to[/mm] V, [mm](v,w)\to v\circ[/mm] w -
> Multiplikation- heißt K-Algebra, wenn [mm](V,+,\circ)[/mm] Ring
>
> > Du hast zwei Multiplikationen: einmal die Multiplikation
> > von Vektoren mit Skalaren, dann die Multiplikation im
> > Ring.
> > Und von diesen Multiplikationen handelt
> > [mm](a*v)\circ(b*w)=(ab)*(v\circ[/mm] w). "+" hat dort nichts zu
> > suchen.
> >
> Hm... das heißt wenn ich jetzt (3*4)*(5*6) hab, ist das
> das gleiche wie (3*6)*(4*5)... was ist daran denn so
> besonders? das hat man doch schon in der Schule gehabt...
Hallo,
naja, das ist ja nicht richtig aufgeschrieben, weil du dasselbe Zeichen verwendest für die Multiplikation [mm] \circ [/mm] im Ring , die Multiplikation [mm] \* [/mm] mit Skalaren im VR und die Multiplikation [mm] \odot [/mm] im Körper K.
Richtig notiert hätte man ja [mm] (3\*4)\circ(5\*6)=(3 \odot 5)\*(4\circ [/mm] 6),
und das ist schon etwas erregender: die Multiplikationen vertragen sich.
Du kennst das auch nicht aus der Schule: in der Schule hast Du [mm] \IR [/mm] vermutlich lediglich als Körper betrachtet, und dort gelten natürlich Assoziativ- und Kommutativgesetz der Multiplikation. Aber dabei hat man es nur mit einer Verknüpfung zu tun.
Nun ist das Beispiel der [mm] \IR-Algebra \IR [/mm] vielleicht wirklich nicht so ganz prägnant.
Wichtig ist: bei einer K-Algebra sind die Multiplikation mit Skalaren und und die Multiplikation im Ring miteinander verträglich.
Ein Beispiel, bei dem das deutlicher wird, ist der [mm] \IR-VR [/mm] der (sagen wir:) [mm] 3\times [/mm] 3-Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IR.
[/mm]
Die Verknüpfungen sind hier die Addition v. matrizen und ihre Multiplikation mit reellen Zahlen.
Gleichzeitig weißt Du, daß die Matrizen zusammen mit der Addition v. Matrizen und der Matrizenmultiplikation einen Ring bilden.
Und nun gilt für Matrizen A,B und reelle Zahlen a, b doch tatsächlich, daß (aA)(bB)=(ab)(AB).
Das ist schon etwas besonderes.
Für den [mm] \IR- [/mm] VR [mm] \IR^3 [/mm] klappt das z.B. nicht, und schon das macht die Sache besonders.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 So 28.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hm... das heißt wenn ich jetzt (3*4)*(5*6) hab, ist das
> das gleiche wie (3*6)*(4*5)... was ist daran denn so
> besonders? das hat man doch schon in der Schule gehabt...
In der Schule hat man viel wenige rinteressante RÄume, die man bettrachtet.
Vielleicht hilft dir ja den ![[]](/images/popup.gif) englischen Wiki-Artikel durchzulesen? Da stehen auch viele Beispiele (die vielleicht noch zu kompliziert sind, weiß ich nicht).
Mal eines herausgegriffen: du hast die Polynomalgebra über einem Körper K, genannt [m]K[X][/m]. Also Vektorraum ist [m]1,X,X^2,\ldots[/m] eine Basis - hm, aber man kann doch auf [m]X^2[/m] kommen in dem ich einfach X mit X multipliziere. Aber X erezeugt im Allgemeinen auch wieder K[X] nicht, also der von X erzeugte Unterring ist i.A. kleiner (zB für [m]K=\iR[/m]), wenn ich X jetzt aber als erzeugendes Element der K-Algebra betrachte ist das ein Volltreffer - ich kann mit Skalaren multiplizieren und die ergebnise in der Polynomalgebra auch multiplizeiren - also ist die Polynomalgebra genau die Algebra über K die von einem Element erzeugt wird.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 So 28.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Mal eines herausgegriffen: du hast die Polynomalgebra über
> einem Körper K, genannt [m]K[X][/m]. Also Vektorraum ist
> [m]1,X,X^2,\ldots[/m] eine Basis - hm, aber man kann doch auf [m]X^2[/m]
> kommen in dem ich einfach X mit X multipliziere. Aber X
> erezeugt im Allgemeinen auch wieder K[X] nicht, also der
> von X erzeugte Unterring ist i.A. kleiner (zB für [m]K=\iR[/m]),
> wenn ich X jetzt aber als erzeugendes Element der K-Algebra
> betrachte ist das ein Volltreffer - ich kann mit Skalaren
> multiplizieren und die ergebnise in der Polynomalgebra auch
> multiplizeiren - also ist die Polynomalgebra genau die
> Algebra über K die von einem Element erzeugt wird.
Hast du nicht vergessen die Elemente [mm] $A\subset [/mm] K[X]$ zu erzeugen? Also müsste man nicht [mm] $\{1,X\}$ [/mm] als Algebren-Erzeugendensystem nehmen?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 So 28.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Algebra über K die von einem Element erzeugt wird.
> Hast du nicht vergessen die Elemente [mm]A\subset K[X][/mm] zu
> erzeugen? Also müsste man nicht [mm]\{1,X\}[/mm] als
> Algebren-Erzeugendensystem nehmen?
Ich benutzte zur Erzeugung doch (noch?) [m]X^0=1[/m]. (Müsste ich jetzt wohl noch weiter ausholen, warum man das so machen sollte ... ist wohl ein bisschen Definitonsfrage, stimmt.)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 So 28.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ich benutzte zur Erzeugung doch (noch?) [m]X^0=1[/m]. (Müsste ich
> jetzt wohl noch weiter ausholen, warum man das so machen
> sollte ... ist wohl ein bisschen Definitonsfrage, stimmt.)
Ich dachte mir das natürlich schon.... aber mich würd schon interessieren warum es sinnvoll ist, das so zu definieren 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 So 28.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich dachte mir das natürlich schon.... aber mich würd
> schon interessieren warum es sinnvoll ist, das so zu
> definieren
Wenn du 1 in der Algebra hast, dann hast du eine kanonische Kopie des Körpers via [m]k\mapsto k*1[/m], in so fern ist diese Kopie schon etwas besonderes, die jede Algebra mit 1 hat, und daher nicht so interessant ist. Auch möchte man wohl einfach, dass die Polynomalgebra eben von X erezeugt ist.
Aber mir fällt auf, dass ich da wohl nicht zu viel weiß, vielleicht weiß ja wer anders noch mehr? felixf vielleicht?
SEcki
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