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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Fr 18.11.2005 | | Autor: | heine789 |
Hallo Leute!
Habe folgende Aufgabe:
Es sei { [mm] a_{1},...,a_{r} [/mm] } eine Basis eines Vektorraumes V. Zeigen Sie, dass für jeden Vektor a [mm] \in [/mm] V die Koeffizienten [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{r} [/mm] in der Darstellung a = [mm] \summe_{i=1}^{r} \lambda_{i} a_{i} [/mm] eindeutig bestimmt sind.
Ich hab mir schon ein paar Sachen überlegt, aber ich weiss einfach nicht, wie ich das beweisen soll.
Hat jemand einen Tip für mich?
Gruß heine
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo Leute!
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> Habe folgende Aufgabe:
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> Es sei { [mm]a_{1},...,a_{r}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} eine Basis eines Vektorraumes V.
> Zeigen Sie, dass für jeden Vektor a [mm]\in[/mm] V die Koeffizienten
> [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{r}[/mm] in der Darstellung a =
> [mm]\summe_{i=1}^{r} \lambda_{i} a_{i}[/mm] eindeutig bestimmt
> sind.
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> Ich hab mir schon ein paar Sachen überlegt, aber ich weiss
> einfach nicht, wie ich das beweisen soll.
>
> Hat jemand einen Tip für mich?
Hallo,
wenn ich doch wüßte, was Du Dir überlegt hast, und was genau Du nicht beweisen kannst...
Man will ja nicht offene Türen einrennen oder zuviel schreiben...
Du kannst für "eindeutig" annehmen, daß es eine zweite Darstellung gibt. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Vektoren [mm] a_i [/mm] erhältst Du: beide Darstellungen sind gleich.
Gruß v. Angela
>
> Gruß heine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Fr 18.11.2005 | | Autor: | heine789 |
Mir ist klar, dass die Basis-Vektoren linear unabhängig sind und ich jeden Vektor aus V als LK dieser Vektoren schreiben kann.
also
a = [mm] \alpha_{1} a_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} a_{2} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{r} a_{r}
[/mm]
a = [mm] \beta_{1} a_{1} [/mm] + [mm] \beta_{2} a_{2} [/mm] + ... + [mm] \beta_{r} a_{r}
[/mm]
a-a = ( [mm] \alpha_{1} [/mm] - [mm] \beta_{1} )a_{1} [/mm] + ( [mm] \alpha_{2} [/mm] - [mm] \beta_{2} )a_{2} [/mm] + ... + ( [mm] \alpha_{r} [/mm] - [mm] \beta_{r} )a_{r}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha_{i} [/mm] = [mm] \beta_{i} [/mm] , i = (1,...,r) [mm] \in [/mm] K
Daraus schließe ich, die Koeffizienten [mm] \lambda [/mm] sind eindeutig bestimmt, oder?
Denn wenn [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta, [/mm] dann gibts es nur einen eindeutigen Koeffizienten.
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> Mir ist klar, dass die Basis-Vektoren linear unabhängig
> sind und ich jeden Vektor aus V als LK dieser Vektoren
> schreiben kann.
>
> also
Seien [mm] \alpha_i, \beta_i \in \IR, [/mm] i=1,...,n mit
>
> a = [mm]\alpha_{1} a_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} a_{2}[/mm] + ... +
> [mm]\alpha_{r} a_{r}[/mm]
und
> a = [mm]\beta_{1} a_{1}[/mm] + [mm]\beta_{2} a_{2}[/mm]
> + ... + [mm]\beta_{r} a_{r}[/mm]
==>
>
> a-a = ( [mm]\alpha_{1}[/mm] - [mm]\beta_{1} )a_{1}[/mm] + ( [mm]\alpha_{2}[/mm] -
> [mm]\beta_{2} )a_{2}[/mm] + ... + ( [mm]\alpha_{r}[/mm] - [mm]\beta_{r} )a_{r}[/mm]
Da die [mm] a_i, [/mm] i=1,...,n linearunabhängig,
==> [mm] 0=\alpha_i- \beta_i
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \alpha_{i}[/mm] = [mm]\beta_{i}[/mm] , i = (1,...,r) [mm]\in[/mm] K
>
> Daraus schließe ich, die Koeffizienten sind
> eindeutig bestimmt, oder?
Ja, die beiden Darstellungen sind zwangsläufig gleich. Du hast alles richtig gemacht, ich habe ein paar Kleinigkeiten eingefügt. Es sind die Kleinigkeiten für Übergenaue...
Gruß v. Angela
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