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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Vektorraum, lin. Abb.

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Vektorraum, lin. Abb.: Frage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:17 Mi 08.12.2004
Autor:	Nilez

Hallo!

Hab da ein kleines Problem:
K ist ein Körper mit der Eigenschaft 1+1=0 (also z.B. Restklassenkörper mod 2), V ein Vektorraum über K und f eine lineare Abbildung von V in V.

Dann gilt doch f *f= idV (die Identische Abb.) genau dann wenn g:= f+ idV die Eigenschaft g*g= 0 hat.
Dies zu prüfen ist nicht schwer (man muss halt die Eigenschaft des Körpers beachten), und auch nicht mein Problem, jedoch soll ich die Frage beantworten, welche Lage Kern und Bildraum von g haben!

Kann mir da vielleicht jemand helfen?
Danke im Voraus,
Nilez

Bezug

Vektorraum, lin. Abb.: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	16:45 Do 09.12.2004
Autor:	Julius

Hallo Nilez!

> Hab da ein kleines Problem:
> K ist ein Körper mit der Eigenschaft 1+1=0 (also z.B.
> Restklassenkörper mod 2), V ein Vektorraum über K und f
> eine lineare Abbildung von V in V.
>
> Dann gilt doch f *f= idV (die Identische Abb.) genau dann
> wenn g:= f+ idV die Eigenschaft g*g= 0 hat.

> Dies zu prüfen ist nicht schwer (man muss halt die
> Eigenschaft des Körpers beachten), und auch nicht mein
> Problem, jedoch soll ich die Frage beantworten, welche Lage
> Kern und Bildraum von g haben!

Was ist damit genau gemeint, mit der "Lage"? Und in welcher Situation? Wenn eine der beiden obigen äquivalenten Bedingungen gilt? In diesem Fall weiß man immerhin:

$Bild(g) [mm] \subset [/mm] Kern(g) = [mm] \{v \in V\, : \, f(v)=v\} [/mm] = Fix(f)$,

wobei $Fix(f)$ die Menge der Fixpunkte von $f$ ist.

Aber ob das gemeint war?