Vektorraum und Körper.. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Unterkörper des Körpers (L, +, *).
Dann ist L zusammen mit der Addition und der Multiplikation auf KxL ein Vektorraum über K.
Zeigen Sie dies.
Geben Sie Beispiele für solche Vektorräume für K = Z/2Z, K = Q, K=R, K=C. |
Zu den Beispielen:
Sei K = Z/2Z.
Das heißt doch: $ K = [mm] \{0', 1'\} [/mm] $ mit $ 0' = [mm] \{..., -12, -10..., 0, 2, 4\} [/mm] $
und $ 1' = [mm] \{...-3, -1, 1, 3, ...\} [/mm] $
Nun suche ich einen Vektorraum (L, +, KxL)..
Ich verstehe leider nicht, was genau zu tun ist =/
Ist die Menge L gesucht? Kann ich dann nicht einfach L = {0', 1'} nehmen?
Gleiches Problem für die anderen Beispiele..
Zum Beweis:
Ich zeige die Vektorraum-Axiome:
V1) zu zeigen (L, +) ist eine abelsche Gruppe. Das ist der Fall, da (L, +, *) ein Körper ist.
V2) Eigenschaften der Skalarmultiplikation.
für u,v,w [mm] \in [/mm] L und a,b [mm] \in [/mm] K gilt:
S1) Distributivgesetz, d.h.
$(a+b)*v = (a*v) + (b*v)$
Das ist erfüllt, denn alle a,b sind auch in L, da K ein Unterkörper von L ist. Für L gilt jedoch das Distributivgesetz, daher auch für die auf KxL eingeschränkte Multiplikation
S2) Neutralität des Einselements aus K:
Da K ein Unterkörper ist, hat K auch das neutrale Element bzgl. der Multiplikation aus L, d.h. es gilt tatsächlich 1*v = v
S3) a*(b*v) = (a*b)*v
S4) a*(u+v) = a*v + a*v
Vielen Dank, wie immer :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Mo 18.11.2013 | | Autor: | wieschoo |
Steht die Aufgabe wirklich so da? Denn wenn ich L selbst als Unterkörper von L betrachte, also L=K, dann sind Beispiele wie du eines angibst vollkommen richtig
> Ist die Menge L gesucht? Kann ich dann nicht einfach L = {0', 1'} nehmen?
Demnach: Ja!
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> Sei K ein Unterkörper des Körpers (L, +, *).
> Dann ist L zusammen mit der Addition und der
> Multiplikation auf KxL ein Vektorraum über K.
>
> Zeigen Sie dies.
>
> Geben Sie Beispiele für solche Vektorräume für K = Z/2Z,
> K = Q, K=R, K=C.
> Zu den Beispielen:
>
> Sei K = Z/2Z.
> Das heißt doch: [mm]K = \{0', 1'\}[/mm] mit [mm]0' = \{..., -12, -10..., 0, 2, 4\}[/mm]
>
> und [mm]1' = \{...-3, -1, 1, 3, ...\}[/mm]
>
> Nun suche ich einen Vektorraum (L, +, KxL)..
>
> Ich verstehe leider nicht, was genau zu tun ist =/
>
> Ist die Menge L gesucht? Kann ich dann nicht einfach L =
> {0', 1'} nehmen?
>
Hallo,
das kannst Du machen.
> Gleiches Problem für die anderen Beispiele..
Beispiele:
[mm] K=\IQ:\qquad \IR [/mm] ist ein [mm] \IQ-Vektorraum
[/mm]
[mm] K=\IR: \qquad\IR [/mm] ist ein [mm] \IR-Vektorraum,\IC [/mm] ist ein [mm] \IR-Vektorraum
[/mm]
[mm] K=\IC: \qquad\IC [/mm] ist ein [mm] \IC-Vektorraum
[/mm]
Über Deinen Beweis habe ich drüber geschaut. Sieht richtig aus.
LG Angela
>
>
>
>
> Zum Beweis:
> Ich zeige die Vektorraum-Axiome:
>
> V1) zu zeigen (L, +) ist eine abelsche Gruppe. Das ist der
> Fall, da (L, +, *) ein Körper ist.
>
> V2) Eigenschaften der Skalarmultiplikation.
> für u,v,w [mm]\in[/mm] L und a,b [mm]\in[/mm] K gilt:
>
> S1) Distributivgesetz, d.h.
> [mm](a+b)*v = (a*v) + (b*v)[/mm]
> Das ist erfüllt, denn alle a,b
> sind auch in L, da K ein Unterkörper von L ist. Für L
> gilt jedoch das Distributivgesetz, daher auch für die auf
> KxL eingeschränkte Multiplikation
>
> S2) Neutralität des Einselements aus K:
> Da K ein Unterkörper ist, hat K auch das neutrale Element
> bzgl. der Multiplikation aus L, d.h. es gilt tatsächlich
> 1*v = v
>
> S3) a*(b*v) = (a*b)*v
> S4) a*(u+v) = a*v + a*v
>
>
> Vielen Dank, wie immer :)
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Hallo ihr beiden!
Ja, die Aufgabe steht so da :)
Nochmal zu den Beispielen:..
1) Für K = Z/2Z
Mit dem tu ich mich leider schwer; könntet ihr mir bitte noch ein beliebiges Beispiel für einen K-Vektorraum nennen, das aber anschaulich genug ist, sodass ich daran auch nochmal die Axiome nachprüfen kann.. ?
2)
Wenn ich für K einen Körper wähle ( und das sind m.W. [mm] $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ [/mm] ) ist dann nicht auch [mm] $K^n$ [/mm] ein Vektorraum über K?
Vielen Dank.
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> Hallo ihr beiden!
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> Ja, die Aufgabe steht so da :)
>
> Nochmal zu den Beispielen:..
>
> 1) Für K = Z/2Z
> Mit dem tu ich mich leider schwer; könntet ihr mir bitte
> noch ein beliebiges Beispiel für einen K-Vektorraum
> nennen, das aber anschaulich genug ist, sodass ich daran
> auch nochmal die Axiome nachprüfen kann.. ?
Hallo,
ich weiß nicht, was Du Dir unter einem "anschaulichen" Beispiel vorstellst.
K = Z/2Z hat doch immerhin den Vorteil, daß dieser Körper nicht sehr unübersichtlich ist.
>
> 2)
> Wenn ich für K einen Körper wähle ( und das sind m.W.
> [mm]\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}[/mm] )
Das sind Beispiele für Körper.
> ist dann nicht auch
> [mm]K^n[/mm] ein Vektorraum über K?
Doch.
Aber nicht ein solcher, über welchen hier in der Aufgabe geredet wird. Hier soll die Menge der Vektoren ja aus einem Oberkörper der Menge der Skalare bestehen.
LG Angela
>
> Vielen Dank.
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