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| Aufgabe | Seien A [mm] \in R^{mxn}, [/mm] b [mm] \in R^{m} [/mm] \ {0} und [mm] \lambda \in [/mm] R gegebn. Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen Mi (i=1,2,3,4)
1) konvex
2) Untervektorräume
sind
a) M1:= {x [mm] \in R^{n} [/mm] | Ax=b}
b) M2:= {x [mm] \in R_{+}^{n} [/mm] | Ax=b}
c) M3:= {x [mm] \in R^{n} [/mm] | Ax=0}
d) M4:= {x [mm] \in R^{n} [/mm] | Ax= [mm] \lambda [/mm] x} |
Hi,
hänge an dieser Aufgabe etwas bzw. bin mit meinen Ergebnissen arg unsicher und bräuchte jemand der über meine Lösungsansätze mal kurz drüberschauen könnte.
1) Konvexität:
im folgenden sei
[mm] z=\lambda x+(1-\lambda)y
[/mm]
M1:
zz. Az=b:
[mm] A(\lambda x+(1-\lambda)y)=b
[/mm]
[mm] A\lambda x+Ay(1-\lambda)=b
[/mm]
[mm] A\lambda x-\lambda [/mm] Ay +Ay=b
[mm] \lambda [/mm] (Ax-Ay)+Ay=b
nach Vorausstzung ist Ax=b und Ay=b
[mm] \lambda [/mm] 0 + b=b
b=b
müsste ok sein?
M2:
erster Teil wie M1 zudem muss noch gezeigt werden dass z>0 ist.
z war ja [mm] \lambda x+(1-\lambda)y
[/mm]
nach Voraussetzung ist x>0 und y>0 und [mm] \lambda [/mm] muss ja [mm] \in[0;1] [/mm] sein
also wäre das auch Konvex?
M3:
sollte im Gurnde so wie M1 funktionieren, also auch konvex?
M4:
[mm] A(\lambda x+(1-\lambda)y)=\lambda [/mm] z
[mm] \lambda Ax+Ay(1-\lambda)=\lambda [/mm] z
[mm] \lambda Ax+Ay-\lambda Ay=\lambda [/mm] z
[mm] \lambda (Ax-Ay)+Ay=\lambda [/mm] z
[mm] \lambda (\lambda x-\lambda y)+\lambda [/mm] y [mm] =\lambda [/mm] z
[mm] \lambda (\lambda x-\lambda y+y)=\lambda [/mm] z
[mm] \lambda (\lambda x+(1-\lambda)y)=\lambda [/mm] z
[mm] \lambda z=\lambda [/mm] z
also auch konvex?
zu 2) UVR:
M1:
wenn x und y [mm] \in [/mm] M1 sind dann muss auch x+y [mm] \in [/mm] M1 sein, also:
Ax+Ay [mm] \in [/mm] M1?
=b+b
=2b und das ist ja nicht [mm] \in [/mm] M1 also kein UVR. kann man das so stehen lassen?
M2:
siehe M1; oder macht es einen Unterschied wegen dem x [mm] \in R_{+}^{n}???
[/mm]
M3:
i) Ax+Ay=0
0+0=0, also abgeschlossen bezüglich Addition
ii) [mm] \lambda*(Ax)=0
[/mm]
[mm] \lambda*0=0
[/mm]
0=0, also handelt es sich im UVR da auch abgeschlossen bezüglich Multiplikation
M4:
Ax+Ay
[mm] =\lambda [/mm] x + [mm] \lambda [/mm] y
= [mm] \lambda [/mm] (x+y) [mm] \not\in [/mm] M4 -> kein UVR
wär nett wenn jemand kurz Feedback geben könnte, ob das der richtige Weg ist. Vielen Dank!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Mi 07.01.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> Seien $A [mm] \in R^{mxn}$, [/mm] $b [mm] \in R^{m} \setminus \{0\}$ [/mm] und [mm] $\lambda \in [/mm] R$
> gegebn. Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen Mi
> (i=1,2,3,4)
> 1) konvex
> 2) Untervektorräume
> sind
>
> a) M1:= [mm] $\{x \in R^{n} | Ax=b\}$
[/mm]
> b) M2:= [mm] $\{x\in R_{+}^{n} | Ax=b\}$
[/mm]
> c) M3:= [mm] $\{x\in R^{n} | Ax=0\}$
[/mm]
> d) M4:= [mm] $\{x\in R^{n} | Ax=\lambda x\} [/mm] $
> Hi,
>
> hänge an dieser Aufgabe etwas bzw. bin mit meinen
> Ergebnissen arg unsicher und bräuchte jemand der über meine
> Lösungsansätze mal kurz drüberschauen könnte.
>
> 1) Konvexität:
> im folgenden sei
> [mm]z=\lambda x+(1-\lambda)y[/mm]
Vorsicht! In der Aufgabenstellung ist [mm] $\lambda$ [/mm] bereits als feste, reelle zahl gewählt. Benutze also besser einen anderen Buchstaben. Das gilt auch für die Beweise in Teil 2).
>
> M1:
>
> zz. Az=b:
>
> [mm]A(\lambda x+(1-\lambda)y)=b[/mm]
> [mm]A\lambda x+Ay(1-\lambda)=b[/mm]
>
> [mm]A\lambda x-\lambda[/mm] Ay +Ay=b
> [mm]\lambda[/mm] (Ax-Ay)+Ay=b
> nach Vorausstzung ist Ax=b und Ay=b
> [mm]\lambda[/mm] 0 + b=b
> b=b
>
> müsste ok sein?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Alles richtig!
>
> M2:
>
> erster Teil wie M1 zudem muss noch gezeigt werden dass z>0
> ist.
> z war ja [mm]\lambda x+(1-\lambda)y[/mm]
> nach Voraussetzung ist
> x>0 und y>0 und [mm]\lambda[/mm] muss ja [mm]\in[0;1][/mm] sein
> also wäre das auch Konvex?
Korrekt.
>
> M3:
>
> sollte im Gurnde so wie M1 funktionieren, also auch
> konvex?
Stimmt, geht analog, nur eben mit "0" statt "b".
>
> M4:
> [mm]A(\lambda x+(1-\lambda)y)=\lambda[/mm] z
> [mm]\lambda Ax+Ay(1-\lambda)=\lambda[/mm] z
> [mm]\lambda Ax+Ay-\lambda Ay=\lambda[/mm] z
> [mm]\lambda (Ax-Ay)+Ay=\lambda[/mm] z
> [mm]\lambda (\lambda x-\lambda y)+\lambda[/mm] y [mm]=\lambda[/mm] z
> [mm]\lambda (\lambda x-\lambda y+y)=\lambda[/mm] z
> [mm]\lambda (\lambda x+(1-\lambda)y)=\lambda[/mm] z
> [mm]\lambda z=\lambda[/mm] z
>
> also auch konvex?
Hm... ja, M4 ist konvex, aber das [mm] $\lambda$ [/mm] in der Definition aus M4 muss nicht mit dem aus der Definition aus z übereinstimmen, schreibe hier besser [mm] $z=\nu x+(1-\nu [/mm] )y$.
>
>
> zu 2) UVR:
>
> M1:
>
> wenn x und y [mm]\in[/mm] M1 sind dann muss auch x+y [mm]\in[/mm] M1 sein,
> also:
> Ax+Ay [mm]\in[/mm] M1?
> =b+b
> =2b und das ist ja nicht [mm]\in[/mm] M1 also kein UVR. kann man
> das so stehen lassen?
Genau, da [mm] $b\neq [/mm] 0$ gilt [mm] $b\neq [/mm] 2b$ und damit ist M1 kein UVR.
>
> M2:
>
> siehe M1; oder macht es einen Unterschied wegen dem x [mm]\in R_{+}^{n}???[/mm]
Die Beschränkung auf den positiven Teil schließt M2=UVR aus, denn für [mm] $x\in [/mm] M2$ ist [mm] $(-1)\cdot [/mm] x= -x [mm] \not\in [/mm] M2$.
>
> M3:
>
> i) Ax+Ay=0
> 0+0=0, also abgeschlossen bezüglich Addition
>
> ii) [mm]\lambda*(Ax)=0[/mm]
> [mm]\lambda*0=0[/mm]
> 0=0, also handelt es sich im UVR da auch abgeschlossen
> bezüglich Multiplikation
>
> M4:
>
> Ax+Ay
> [mm]=\lambda[/mm] x + [mm]\lambda[/mm] y
> = [mm]\lambda[/mm] (x+y) [mm]\not\in[/mm] M4 -> kein UVR
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Seien [mm] $x,y\in [/mm] M4$. Dann gilt für $z:=x+y$: [mm] $Az=A(x+y)=Ax+Ay=\lambda [/mm] x [mm] +\lambda [/mm] y = [mm] \lambda [/mm] (x+y) = [mm] \lambda [/mm] z$, also ist [mm] $x+y\in [/mm] M4$.
Sei [mm] $\nu\inIR$ [/mm] beliebig und [mm] $x\in [/mm] M4$. Dann: [mm] $A(\nu [/mm] x)= [mm] \nu [/mm] Ax = [mm] \nu \lambda [/mm] x = [mm] \lambda (\nu [/mm] x)$. Also [mm] $\nu x\in [/mm] M4$.
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> wär nett wenn jemand kurz Feedback geben könnte, ob das der
> richtige Weg ist. Vielen Dank!!!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß, zetamy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Kaesebrot |
supi vielen dank, hat mir sehr geholfen!
schönen Gruß.
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