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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Mo 03.12.2007 | | Autor: | quest |
| Aufgabe | K ist Körper, n [mm] \in \IN_0 [/mm] beliebig.
a) Zeige, dass [mm] Pol_n(K) [/mm] <= F(K,K) und Pol(K) <= F(K,K).
b) Geben Sie Basen von [mm] Pol_n(\IR) [/mm] und [mm] Pol(\IR) [/mm] an.
Dabei ist [mm] Pol_n(K) [/mm] = {f [mm] \in [/mm] F(K,K) | [mm] \exists a_0,...,a_n \in [/mm] K : f(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n}{a_i x^i} \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] K}
Pol(K)= [mm] \bigcup_{n \in \IN_0}{Pol_n(K)} [/mm] |
Hallo liebe Vorhelfer,
mit dem ersten Teil in a) habe ich noch keine so große Schwierigkeiten. Da muss ich ja "nur", das Unterraumkriterium prüfen.
Ich habe also [mm] f_1, f_2 \in Pol_n(K) [/mm] und [mm] k_1, k_2 \in [/mm] K. Betrachte
[mm] f_1(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}{a_i x^i} [/mm] , [mm] a_i \in [/mm] K
[mm] f_2(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}{b_i x^i} [/mm] , [mm] b_i \in [/mm] K.
Dann ist [mm] (k_1 f_1 [/mm] + [mm] k_2 f_2)(x) [/mm] = [mm] k_1 f_1(x) [/mm] + [mm] k_2 f_2(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}{(k_1 a_i + k_2 b_i)x^i} \in Pol_n(K), [/mm] da [mm] k_1 a_i \in [/mm] K, [mm] k_2 b_i \in [/mm] K und damit auch deren Summe.
Komplizierter wird es da bei Pol(K) = [mm] \bigcup_{n \in \IN_0}{Pol_n(K)}.
[/mm]
Im Endeffekt muss ich doch wieder "nur", das Unterraumkriterium prüfen, oder? Nur das das n nun wirklich beliebig sein kann, und ich kann zu [mm] f_1, f_2 [/mm] unterschiedliche n's haben -- oder gibt es sonst noch was zu beachten?
Zu b) hab ich den Tipp bekommen, zu differenzieren.
Für [mm] Pol_n(\IR) [/mm] hätte ich nun mal gedacht, dass eine Basis etwa die Vektoren $B = [mm] \{1,x^1,x^2,x^3,...,x^n\}$ [/mm] bilden.
Ich seh nur nicht ein, wie mir das Differenzieren helfen soll, denn daraus reduziere ich ja den "Grad" der Polynome.
Irgendwie riecht das nach Induktion, aber wie sieht denn da der Anfang denn aus.
Induktion wäre ja über n, also Induktionsanfang wäre ja n=0. Wenn die Basis oben stimmt, dann wäre von
[mm] Pol_0(K) [/mm] eine Basis der Vektor f(x) = 1, es wäre ja:
[mm] $Pol_0(K) [/mm] = { f [mm] \in [/mm] F(K,K) [mm] \| \exists a_0 \in [/mm] K: f(x) = [mm] a_0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] K }$.
Das wären die Konstanten Funktionen.
Eine Induktionsbehauptung wäre ja jetzt etwa:
n = k ist $B = [mm] {1,x^1,x^2,x^3,...,x^k\}$ [/mm] eine Basis von [mm] Pol_k(K).
[/mm]
Induktionsschluss wäre k -> k+1:
Betrachte
[mm] $Pol_{k+1}(K) [/mm] = [mm] \{f \in F(K,K) | \exists a_0,...,a_{k+1} \in K : f(x) = \summe_{i=0}^{k+1}{a_i x^i} \forall x \in K\}$.
[/mm]
Und wo kommt das Differenzieren?
Wie sieht es denn bei [mm] Pol(\IR) [/mm] aus, also der "Vereinigung aller Polynome"?
Vielen herzlichen Dank!
Grüße und einen schönen Abend
Quest
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum im Internet gestellt.
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> K ist Körper, n [mm]\in \IN_0[/mm] beliebig.
> a) Zeige, dass [mm]Pol_n(K)[/mm] <= F(K,K) und Pol(K) <= F(K,K).
> b) Geben Sie Basen von [mm]Pol_n(\IR)[/mm] und [mm]Pol(\IR)[/mm] an.
>
> Dabei ist [mm]Pol_n(K)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {f [mm]\in[/mm] F(K,K) | [mm]\exists a_0,...,a_n \in[/mm]
> K : f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n}{a_i x^i} \forall[/mm] x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K}
>
> Pol(K)= [mm]\bigcup_{n \in \IN_0}{Pol_n(K)}[/mm]
Hallo,
zunächst wollen wir uns nochmal klarmachen, was sich hinter [mm] Pol_n(K) [/mm] und Pol(K) verbirgt.
Ersteres sind (für ein festes n) die Polynome vom Höchstgrad n.
Pol(K) umfaßt sämtliche Polynome.
Im Prinzip planst Du genau das richtige.
Ein Problem, welches Du bei beiden Mengen hast ist: was tust Du, wenn Du Polynome verschiedenen Grades addierst?
Vielleicht ist das bereits im Vorfeld (Vorlesung, Übung) geklärt: Du definierst dann die Koeffizienten vor den "nicht vorhandenen" Potenzen als 0 - ich hoffe, Du verstehst, was ich meine.
Bei der Menge Pol(K) hast Du ja Polynome beliebigen Grades zu addieren. Z.B. v. Grad m und v. Grad m.
Da sagst Du dann: sei obdA [mm] m\ge [/mm] n, definierst die nicht vorhandenen Koeffizienten als Null, und dann geht's weiter.
Die Produkte mit [mm] \lambda \in [/mm] K sind natürlich auch noch zu betrachten.
> Zu b) hab ich den Tipp bekommen, zu differenzieren.
>
> Für [mm]Pol_n(\IR)[/mm] hätte ich nun mal gedacht, dass eine Basis
> etwa die Vektoren [mm]B = \{1,x^1,x^2,x^3,...,x^n\}[/mm] bilden.
>
> Ich seh nur nicht ein, wie mir das Differenzieren helfen
> soll, denn daraus reduziere ich ja den "Grad" der
> Polynome.
Mache Dir das für n=2 vor.
Beh: (1,x, [mm] x^2) [/mm] ist eine Basis v. [mm] Pol_n(K). [/mm]
Erzeugendensystem ist offensichtlich, ich zeige die Unabhängigkeit.
Sei [mm] a*1+b*x+c*x^2=0 [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] K
Zweimal differenzieren ergibt b+2c*x=0 und 2c=0 f.a. [mm] x\in [/mm] K
==> c=0 ==> b=0 ==> a=0
> Wie sieht es denn bei [mm]Pol(\IR)[/mm] aus, also der "Vereinigung
> aller Polynome"?
Da hast Du eine Basis aus unendlich vielen Elementen.
Du mußt schauen, wei bei Euch lineare Unabhängigkeit definiert ist, wahrscheinlich: jede endl. Teilmenge ist unabhängig.
Hierzu zeigst Du dann, daß für beliebiges n die Mene [mm] (1,x,x^2,...,x^n) [/mm] unabhängig ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Di 04.12.2007 | | Autor: | quest |
Super! Vielen dank.
So bekomm ich das hin 
Grüße
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Hallo was is denn mit Koeffizienten null setzten gemeint?eigentlich doch dass ich alle k´s null setze oder?
LG
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> Hallo was is denn mit Koeffizienten null setzten
> gemeint?eigentlich doch dass ich alle k´s null setze oder?
Hallo,
ich weiß nicht was Du meinst. Welche k?
Wovon ich geredet habe ist folgendes :
Du mußt ja irgendwie z.B. erklären, was für [mm] p(x)=2x^2+3x+4 [/mm] und q(x)= [mm] 7x^5+x [/mm] bei p+q herauskommen soll.
Gruß v. Angela
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Mh....irgendwie versteh ich das nich...was is denn dann mit den Koeffizienten gemeint?
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> Mh....irgendwie versteh ich das nich...was is denn dann mit
> den Koeffizienten gemeint?
Die Zahlen vor den x-Potenzen.
Das "Problem": wie erklärst Du, wie für $ [mm] p(x)=2x^2+3x+4 [/mm] $ und q(x)= $ [mm] 7x^5+x [/mm] $ bei p+q die Koeffizienten lauten.
Du addierst hier ein Polynom v. Grad 5 und eins von Grad 2. Das ist es, worüber ich geredet habe.
Allgemein:
Was ergibt [mm] \summe_{i=1}^{n}a_ix^i [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{m}b_ix^i [/mm] .
Gruß v. Angela
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