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| Aufgabe | Es seien a,b,c drei Vektoren eines Vektorraumes V über einem Körper K. Zeigen Sie:
(a) a-b, b-c und c-a sind linear abhängig.
(b) Falls 1+1 [mm] \not= [/mm] 0 in K gilt, sind a,b,c genau dann linear unabhängig, wenn a+b, b+c, c+a linear unabhängig sind. |
Hallo!
Ich habe diese Aufgabe durch Beispielvektoren gelöst. Also für a, b und c einfach Vektoren ausgedacht und dann (a) und (b) bewiesen. Leider habe ich darauf nur die Hälfte der Punkte bekommen da durch Beispiele nichts bewiesen ist.
Kann mir irgend jemand sagen wie ich (a) und (b) ohne Beispielvektoren beweise?
Wäre echt supi!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mo 27.03.2006 | | Autor: | goeba |
Es seien a,b,c drei Vektoren eines Vektorraumes V über einem Körper K. Zeigen Sie:
(a) a-b, b-c und c-a sind linear abhängig.
Wenn Du so was zeigen sollst, musst Du immer einen der Vektoren als Summe der anderen (ggf. mit Vorfaktoren ) darstellen.
Hier gilt (a-b)+(b-c) = a - c = -(c-a), also kann der letzte als Summe der anderen dargestellt werden.
b)
(b) Falls 1+1 $ [mm] \not= [/mm] $ 0 in K gilt, sind a,b,c genau dann linear unabhängig, wenn a+b, b+c, c+a linear unabhängig sind.
Hier musst Du beide Richtungen zeigen.
Ich zeige Dir mal die erste, die zweite könntest Du dann vielleicht sleber probieren. Warum man das 1+1 ungleich Null braucht, fällt mir gerade nicht ein.
Zu Zeigen ist also erstens: Wenn a, b, c l.u. sind, dann sind a+b, b+c, c+a l.u.
Angenommen, a+b, b+c, c+a wären nicht l.u.
Dann gäbe es Zahlen x und y, so dass
a+b = x(b+c) + y(c+a)
Das ganze lässt sich dann abe rnach a auflösen, so dass man gezeigt hat, dass a, b, c schon linear abhängig sind, was ein Widerspruch ist.
So in der Art, viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Di 28.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
schön, dass du dich einbringst, aber ganz richtig ist das meiner Meinung nach am Ende nicht:
> Wenn Du so was zeigen sollst, musst Du immer einen der
> Vektoren als Summe der anderen (ggf. mit Vorfaktoren )
> darstellen.
> Hier gilt (a-b)+(b-c) = a - c = -(c-a), also kann der
> letzte als Summe der anderen dargestellt werden.
Die Definition sagt, linear abhängig, wenn es eine nicht-triviale Lösung für Gleichsetzung mit 0 gibt.
Es ist zwar richtig, dass es dann einen Vektor geben muss
(aber man weiß nicht welchen !!)
Hier würde man aber ganz schnell sehen, dass:
1*(a-b) + 1*(b-c) +1*(c-a) =0
also haben wir eine nicht-triviale lösung gefunden.
Also nochmal der Hinweis : bisher war die Antwort oben auch richtig, aber nicht unbedingt konsequent an die Definitionen gehalten, denn diese braucht man gleich bei der b) sehr !
> Hier musst Du beide Richtungen zeigen.
> Ich zeige Dir mal die erste, die zweite könntest Du dann
> vielleicht sleber probieren. Warum man das 1+1 ungleich
> Null braucht, fällt mir gerade nicht ein.
Zwei Richtungen zeigen ist richtig - welche es genau sind, zeige ich gleich.
2 soll nicht 0 sein, denn sonst wäre doch:
1*(a+b)+1*(b+c)+1*(c+a)=2a+2b+2c=0+0+0=0
wieder eine nicht-triviale Lösung !
>
> Zu Zeigen ist also erstens: Wenn a, b, c l.u. sind, dann
> sind a+b, b+c, c+a l.u.
> Angenommen, a+b, b+c, c+a wären nicht l.u.
> Dann gäbe es Zahlen x und y, so dass
> a+b = x(b+c) + y(c+a)
Und hier steckt der Fehler !
man kann nicht sagen, welche Vektoren sich wie als Linkombi der anderen darstellen lassen !
Wahr ist nur : mindestens einer lässt sich als Linkombi der anderen darstellen
NICHT : immer der erste oder immer der letzte oder sowas !
Man muss muss hier zwei Richtungen zeigen:
es gibt keine nicht-triviale Linkombi der 0 für a,b,c => es gibt keine nicht-triviale Linkombi der 0 für (a+b),(b+c),(c+a)
und dann auch die Rückrichtung danach !
Das würde ich jetzt mal mit Widerspruch machen:
angenommen es gäbe k,s,t mind. einer ungleich 0, so dass
k*(a+b)+s*(b+c)+t*(c+a)=0
das ist aber dasselbe wie : (k+t)*a+(k+s)*b+(s+t)*c=0
Wenn jetzt min ein skalarer Vorfaktor nicht 0 ist, ist es ein Widerspruch zur Vorraussetzung, dass es keine nicht-triviale Linkombi für a,b und c gibt.
Es bleibt für die Fragestellerin also zwei Dinge zu tun:
1) warum ist min. ein Vorfaktor ungleich 0?
(man gehe oBdA davon aus, dass k ungleich 0 war - wie muss dann t gewählt werden (in endlichen und unendlichen Körpern) und wie danch s un dann passiert was bei (k+s) für 2 ungleich 0 ???)
2) Die Rückrichtung
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Di 28.03.2006 | | Autor: | goeba |
> Hi,
>
> schön, dass du dich einbringst, aber ganz richtig ist das
> meiner Meinung nach am Ende nicht:
>
Es kann ungenau dargestellt sein, aber abgesehen davon ist es entweder richtig oder falsch in dem Sinne, dass unter den gegebenen Voraussetzungen ein Spezialfall übersehen wurde oder nicht.
>
> > Wenn Du so was zeigen sollst, musst Du immer einen der
> > Vektoren als Summe der anderen (ggf. mit Vorfaktoren )
> > darstellen.
> > Hier gilt (a-b)+(b-c) = a - c = -(c-a), also kann der
> > letzte als Summe der anderen dargestellt werden.
>
>
> Die Definition sagt, linear abhängig, wenn es eine
> nicht-triviale Lösung für Gleichsetzung mit 0 gibt.
> Es ist zwar richtig, dass es dann einen Vektor geben muss
> (aber man weiß nicht welchen !!)
>
> Hier würde man aber ganz schnell sehen, dass:
> 1*(a-b) + 1*(b-c) +1*(c-a) =0
>
> also haben wir eine nicht-triviale lösung gefunden.
>
> Also nochmal der Hinweis : bisher war die Antwort oben auch
> richtig, aber nicht unbedingt konsequent an die
> Definitionen gehalten, denn diese braucht man gleich bei
> der b) sehr !
>
>
> > Hier musst Du beide Richtungen zeigen.
> > Ich zeige Dir mal die erste, die zweite könntest Du
> dann
> > vielleicht sleber probieren. Warum man das 1+1 ungleich
> > Null braucht, fällt mir gerade nicht ein.
>
> Zwei Richtungen zeigen ist richtig - welche es genau sind,
> zeige ich gleich.
>
> 2 soll nicht 0 sein, denn sonst wäre doch:
> 1*(a+b)+1*(b+c)+1*(c+a)=2a+2b+2c=0+0+0=0
> wieder eine nicht-triviale Lösung !
Gut, da hatte ich , wie gesagt, nicht dran gedacht.
>
>
> >
> > Zu Zeigen ist also erstens: Wenn a, b, c l.u. sind, dann
> > sind a+b, b+c, c+a l.u.
> > Angenommen, a+b, b+c, c+a wären nicht l.u.
> > Dann gäbe es Zahlen x und y, so dass
> > a+b = x(b+c) + y(c+a)
>
> Und hier steckt der Fehler !
> man kann nicht sagen, welche Vektoren sich wie als
> Linkombi der anderen darstellen lassen !
> Wahr ist nur : mindestens einer lässt sich als Linkombi
> der anderen darstellen
> NICHT : immer der erste oder immer der letzte oder sowas
> !
Das ist meiner Meinung nach aber äquivalent, da es sich ja schließlich um einen Vektorraum über einem Körper handelt, nicht um ein Modul oder so was.
Also angenommen, wir haben eine nichttriviale Darstellung:
x * a + y * b + z * c = 0
dann ist
x * a = - y * b - z * c (denn inverse Elemente gibt es ja)
dann ist
a = -y/x *b - z/x *c (denn inverse Elemente der Multiplikation gibt es in K, da es ein Körper ist). Und die triviale Lösung ist es auch nicht, da es in Körpern keine Nullteiler gibt.
Diese Rechnung wäre auch für b und c gültig (die Addition ist kommutativ), also sind in einem Vektorraum über K genau dann drei Vektoren linear abhängig, wenn sich einer als lineare Summe der anderen darstellen lässt.
Und ich behaupte, dass historisch da der Begriff "linear abhängig" auch herkommt. Eine Abhängigkeit ist doch normalerweise von der Form "abhängige Größe = irgendwas mit unabhängiger Größe". Allerdings habe ich das jetzt nicht recherchiert.
Hinzu kommt: Man sollte doch, gerade vor dem Hintergrund des Lehramtsstudiums der o.P. nicht ganz vergessen, dass es für reelle Vektorräume auf jeden Fall richtig ist, was ich sage. Didaktisch klafft das ganze doch sehr auseinander: Die o.P. weiß nicht, was daran falsch ist, das ganze am Beispiel zu rechnen. Das heißt, dass ein allgemein gültiger Beweis für einen reellen Vektorraum schon ein großer Fortschritt wäre.
Es könnte auch hilfreich sein, sich das Ganze im R3 mal aufzumalen und damit besser vorstellen zu können. Anschaulich heißt das doch z.B. dass a und b die gleiche Ebene aufspannen wie a+b und a usw.
In meiner LA Vorlesung wurden seinerzeit zunächst reelle Vektorräume betrachtet, und dann verallgemeinert. Das mag zwar streng genommen mehr Arbeit sein, aber wenn man gleich mit beliebigen Vektorräumen über einem beliebigen Körper K (noch nicht mal die Charakteristik ist Null!) anfängt, ist doch sichergestellt, dass fast keiner mehr was kapiert.
Es würde mich aber doch sehr interessieren, ob meine Antwort nicht auch im Strengen Sinne richtig ist.
Viele Grüße
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Di 28.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Also angenommen, wir haben eine nichttriviale
> Darstellung:
> x * a + y * b + z * c = 0
>
> dann ist
>
> x * a = - y * b - z * c (denn inverse Elemente gibt es
> ja)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann ist
>
> a = -y/x *b - z/x *c (denn inverse Elemente der
> Multiplikation gibt es in K, da es ein Körper ist).
nein, wer sagt denn, dass x nicht 0 ist ?
Ganz einfaches Beispiel:
[mm] $\{ \vektor{1\\0} , \vektor{0\\1}, \vektor{0\\5} \}$
[/mm]
diese menge ist offensichtlich linear abhaengig, aber man kann den ersten Vektor nicht als LinKombi der beiden anderen darstellen !
> Diese Rechnung wäre auch für b und c gültig (die Addition
> ist kommutativ), also sind in einem Vektorraum über K genau
> dann drei Vektoren linear abhängig, wenn sich einer als
> lineare Summe der anderen darstellen lässt.
Ja, das habe ich ja auch nicht bestritten !
In deiner Argumentation in der ersten Antwort gehst du allerdings davon aus, dass du den ersten der Vektoren als Linkombi der anderen darstellen kannst.
Also im strengen Sinne steckt da noch ein Fehler drinne.
Jedoch koennte man jetzt einwenden, dass man sagen koennte:
"oBdA kann man den ersten Vektor als LinKombi der anderen darstellen"
jedoch wenn man sich die anderen Faelle anschaut, die man ohne Beschraenkung als analog damit betrachten wuerde, ergeben sich voellig andere Rechnungen.
(ich sage nicht, dass diese Rechnungen schwieriger waeren, aber sind eben anders und damit nicht unbedingt voellig analog zu dem Fall, dass ausgerechnet der erste Vektor als Linkombi dargestellt werden kann.)
Das meinte ich auch damit, dass es nicht unbedingt falsch sein muss:
Wenn man "oBdA" auch fuer diesen Fall gerne anwenden moechte, dann ware die Argumentation mit diesem Zusatz richtig.
Jedoch wuerde ich als Tutor irgendwas abziehen, denn die anderen Faelle sind nicht voellig analog zu behandeln.
(was ist wenn (a+b)=0 aber die beiden anderen nicht?
Da muss man also zusaetzliche Leistung einbringen)
Ausserdem sehe ich gerade auch nicht, wo die notwendige Vorraussetzung (siehe meinem Beispiel in der ersten Antwort) von [mm] $2\not= [/mm] 0$ gebraucht wird bei deiner Argumentation.
Wie der Begriff "linear abhaengig" entstanden ist und was didaktisch sinnvoller ist zu lehren, will ich gar nicht erst besprechen - aber klar sollte doch sein, dass zu einer mathematischen Arbeit der genaue Umgang mit Definitionen gehoeren sollte (und dies sollte man solch Studenten, egal ob fuer Lehramt oder nicht, auch schnell effizient beibringen).
[uebrigens ist linear unabhaengiges Erzeugendensystem aequivalent damit, dass die Vektoren eine eindeutige Darstellung innerhalb des Erzeugnisses haben -das halte ich persoenlich fuer wichtiger als sich vorzustellen, dass man einen als linkombi der anderen darstellen kann (ohne zu wissen welchen)]
aber naja - darueber kann man sicher viel Reden - ganz richtig war deine Argumentation sicher nicht - wenn man noch ein "oBdA" einfuegt stimmt sie zwar im strengen Sinne, aber ob man damit wirklich nicht die Allgemeinheit beschraenkt ist geschmackssache...
viele (hoffentlich : sonnige) Gruesse
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Di 28.03.2006 | | Autor: | goeba |
> > a = -y/x *b - z/x *c (denn inverse Elemente der
> > Multiplikation gibt es in K, da es ein Körper ist).
>
> nein, wer sagt denn, dass x nicht 0 ist ?
Ist klar, das ist in der Tat ein echter Fehler!
> Also im strengen Sinne steckt da noch ein Fehler drinne.
>
> Jedoch koennte man jetzt einwenden, dass man sagen
> koennte:
> "oBdA kann man den ersten Vektor als LinKombi der anderen
> darstellen"
Du hast völlig recht, oBdA wäre sehr großzügig. Für meine Argumentation bräuchte man die Voraussetzung, dass die Vektoren paarweise linear unabhängig sind (oder, wenn man das verallgemeinern möchte, dass n Vektoren l.a. sind, aber je (n-1) l.u.)
> Wie der Begriff "linear abhaengig" entstanden ist und was
> didaktisch sinnvoller ist zu lehren, will ich gar nicht
> erst besprechen - aber klar sollte doch sein, dass zu einer
> mathematischen Arbeit der genaue Umgang mit Definitionen
> gehoeren sollte (und dies sollte man solch Studenten, egal
> ob fuer Lehramt oder nicht, auch schnell effizient
> beibringen).
Das ist nur so lange richtig, wie man damit nicht jede Heuristik zuschüttet. Und der Ursprung der Vektorrechnung liegt nun mal im R3, und da sind drei paarweise lin. u. Vektoren genau dann lin. abh., wenn sie in einer Ebene liegen. Das sind Sachen, die man wirklich wissen sollte als Lehrämtler, und es ist schon ein Fehler, wenn ein Lehrämtler nach dem Grundstudium zwar ein paar mehr oder weniger triviale Beweise auf Grundlage der Definitionen beherrscht, aber von Geometrie eigentlich keine Ahnung hat.
Ich will jetzt aber auch nicht missverstanden werden, ich bin ganz und gar nicht der Meinung, dass Lehrämtler das alles nicht lernen sollen. Ein guter Background schadet nie.
Vielen Dank, dass Du Dir die Zeit genommen hast, das einem alten Mathelehrer mal zu erklären, wie ungenau er arbeitet 
Viele Grüße,
Andreas
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