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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Bina02 |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
Hallo ihr Lieben! :)
Ich bearbeite zur Zeit meine Hausaufgabe mit dem Thematik Vektorrechnung, die mir leider etwas Kopfzerbrechen bereitet *seufz*.
Nachdem ich mich nun bereits durch 3 Aufgaben durchgeschlagen habe, hänge ich nun an einer Aufgabe mit Teilaufgaben a,b,c die alle untereinander abhängig sind, so dass ich sie erstmal poste:
a) Zeigen sie, dass U={(x1;x2;x3 / x1+2x2+3x3 ==} ein Teilraum von [mm] \IR^{3} [/mm] ist und die Vektoren [mm] \vec{b1}= [/mm] (-2;1;0) und [mm] \vec{b2}= [/mm] (-3;0;1) eine Basis von U bilden.
Fassen wir den [mm] \IR^{3} [/mm] als geometrischen Vektorraum auf, wird U zu einer Ebene E1 (die den Nullpunkt enthält). Notieren sie eine Gleichung von E1.
b) Betrachten sie die drei Punkte P= (1;1;1) , Q= (3;q2;q3) und R=(2;5;r3).
Die fehlenden Komponenten q2, q3 und r3 sollen nun so gewählt werden, dass die Vektoren [mm] \vec{PQ} [/mm] und [mm] \vec{PR} [/mm] linear abhängig sind und zugleich in E1 (bzw. U) liegen.
Warum liegen die Punkte P,Q, und R auf einer Geraden g1? Geben sie eine Gleichung dieser Geraden an und untersuchen sie deren Lage zur Ebene E1.
c) Die drei Punkte A= (0;0;0), B=(1;4;-3) und C=(-1;2;3) sind die Eckpunkte des Dreiecks ABC. Dieses Dreieck liegt in der Ebene E2. Geben sie eine Gleichung dieser Ebene an.
Zeigen sie, dass sich die ebenen E1 und E2 in einer Geraden g2 schneiden und stellen sie eine Geradengleichung zu g2 auf. Wie verhalten sich die Geraden g1 und g2 zueinander?
Die Dreiecksseite CB liegt auf der Geraden g3. Geben sie auch für diese Gerade eine Gleichung an und untersuchen sie deren Verhältnis zu g1.
- So, dass wären erstmal die Aufgaben. Nun meine Lösungsansätze, wobei natürlich gerne auf Fehler hingewiesen werden darf ;)
zu a) Unterraum-/Teilraumkriterien:
I. U ungleich {}
II. u1 + u2 [mm] \in [/mm] U für alle u1,u2 E U
[mm] III.\lambda*u1 \in [/mm] U für alle [mm] \lambda \in [/mm] IR und u [mm] \in [/mm] U
I. Sei a= (a1; a2,a3) [mm] \in [/mm] U ; ai [mm] \in [/mm] IR , dann gilt:
a1 + 2 a2 +3 a3 = 0
=> U ungleich {}
II. Seien a = (a1;a2;a3) [mm] \in [/mm] U und b = (b1;b2;b3) [mm] \in [/mm] U ; ai,bi [mm] \in [/mm] IR , dann gilt:
(1) a1 + 2 a2+ 3 a3 = 0
(2) b1+ 2 b2+ 3 b3 = 0
(1)+(2) = (a1+b1) + 2(a2+b2) + 3(a3+b3) = 0
=> a+b [mm] \in [/mm] U
III. Seien a= (a1;a2;a3) [mm] \in [/mm] U; ai [mm] \in [/mm] R und [mm] \lambda \in [/mm] IR , dann gilt:
a1+ 2 a2+ 3 a3 = 0
[mm] \lambda*a1+ [/mm] 2 [mm] \lambda*a2+ [/mm] 3 [mm] \lambda* [/mm] a3 =0
=> delta*a [mm] \in [/mm] U
=> U ist ein Teilraum von [mm] R^3
[/mm]
Basis von U:
[mm] \vec{b1}= [/mm] (-2;1;0) und [mm] \vec{b2}= [/mm] (-3;0;1)
Da [mm] m*\vec{b1} [/mm] + n* [mm] \vec{b2} [/mm] = 0 =>der Nullvektor [mm] \vec{0} [/mm] ist nur in der Form 0* [mm] \vec{b1} [/mm] +0* [mm] \vec{b2} [/mm] darstellbar => [mm] \vec{b1} [/mm] und [mm] \vec{b2} [/mm] sind linear unabhängig.
x1+2 x2+ 3x3 = 0
=> für [mm] \vec{b2}: [/mm] 1*(-2)+ 2*1+ 3*0 = 0 => [mm] \vec{b1} \in [/mm] U
für [mm] \vec{b2} [/mm] : 1*(-3)+ 2*0+ 3*1 = 0 => [mm] \vec{b2} \in [/mm] U
=> [mm] \vec{b1} [/mm] und [mm] \vec{b2} [/mm] bilden eine Basis von U
Ebenengleichung E1: x1 + 2x2 + 3x3 = 0
Zu b) Hier habe ich zunächst einmal eine Frage bzw. Überlegung vorzubringen, da Vektoren ja nur eine Richtung, nicht aber eine Lage haben. Dies würde aber bedeuten das [mm] \vec{PQ} [/mm] und [mm] \vec{PR} [/mm] nicht wie gefordert in E1 liegen können, was wiederum bedeutet das auch Q und R nicht in E1 liegen können. Was meint ihr dazu??
Hier einmal meine bisherigen Rechnungen:
[mm] \vec{PQ} [/mm] = [mm] \vec{Q} -\vec{P} [/mm] = (3;q2;q3) (1;1;1) = (2;x2;x3)
[mm] \vec{PR} [/mm] = [mm] \vec{R} [/mm] - [mm] \vec{P} [/mm] = (2;5;r3) (1;1;1) = (1;4;y3)
Für die lineare Abhängigkeit muss gelten:
[mm] \vec{PQ} [/mm] *c = [mm] \vec{PR}
[/mm]
=> (2;x2,x3) c = (1;4;y3) , da x1 =2 = 2*y1
=> c = 0,5 (da 0,5*2 =1 =y1)
=> x2 = 8
=> [mm] \vec{PQ} [/mm] = (2 ;8;x3) = (3 ;q2 ;q3) (1 ;1 ;1)
=> q2 = 9
Da nach meinen Überlegungen [mm] \vec{PQ} [/mm] und [mm] \vec{PR} [/mm] nicht in E1 liegen, können sie nur parallel zu E1 liegen
Also: [mm] \vec{PR} \parallel [/mm] E1 , mit E1: x1+ 2x2 + 3x3 = 0
=> 1*1+ 2*4+ 3* y3 = 0
[mm] \gdw [/mm] 9 + 3y3 = 0
[mm] \gdw [/mm] 3y3 = -9
[mm] \gdw [/mm] y3 = -3
=> [mm] \vec{PR} [/mm] = (1 ;4 ;-3) = (2 ;5, r3) (1 ;1 ;1)
=> r3 = -2
[mm] \vec{PQ} \parallel [/mm] E1 , mit E1: x1+ 2x2 + 3x3 = 0
=> 1*2 + 2*8+ 3*x3 = 0
[mm] \gdw [/mm] 18+ 3x3 = 0
[mm] \gdw [/mm] 3x3 = -18
[mm] \gdw [/mm] x3 = -6
=> [mm] \vec{PQ} [/mm] = (2;8;-6) = (3;9;q3) (1;1;1)
=> q3 = -5
Also : P = (1;1;1) ; Q = (3;9;-5) ; R = (2;5;-2)
Da [mm] \vec{PQ} [/mm] und [mm] \vec{PR} [/mm] linear abhängig sind bestimmen sie folglich nur eine Richtung
=> g1: [mm] \vec{x} [/mm] = (1;1;1) + s1*(1;4;-3) , s1 [mm] \in [/mm] IR
Aufgrund meiner anfänglichen Überlegung bezüglich der Lage von
[mm] \vec{PQ} [/mm] und [mm] \vec{PR} [/mm] ist g [mm] \parallel [/mm] E1
-Was meint ihr zu meinem b) ?? Kommentare sind sehr erwünscht.
zu c) E2: [mm] \vec{x} [/mm] = (0;0;0) + s* (1;4;-3) + t*( -1;2,3) ; s,t [mm] \in [/mm] IR
E1 zu E2: (0+s-t) +2*(0+4s+2t) +3*(0-3s+3t) = 0
[mm] \gdw [/mm] 0+s-t +8s+ 4t- 9s+ 9t = 0
[mm] \gdw [/mm] 13t = 0
[mm] \gdw [/mm] t = 0
=> E1 und E2 schneiden sich in einer Geraden g2
g2: [mm] \vec{x} [/mm] = (0;0;0) + s2* (1;4;-3) ; s2 [mm] \in [/mm] IR
g3: [mm] \vec{x} [/mm] = (-1;2;3) + s3* ((1;4;-3) (-1;2;3)) ; s3 [mm] \in [/mm] IR
= (-1;2,3) + s3* (2;2;-6)
Bei dem Verhältnis von g3 zu g2 bin ich leider etwas ratlos, da ich schon auf Parallelität, Identität sowie gemeinsame Punkte untersucht habe, aber leider nichts von den Dreien zutraf.
Hilfe wäre also sehr willkommen.
So, nun hab ich endlich alles aufgeschrieben und hoffe ich könnt etwas zu meinen Lösungen sagen.
Bin euch jedenfalls für jedes Kommentar dankbar! :)
Liebe Grüße, Sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:21 Do 28.07.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo Sabrina,
also zu a):
I. :
So kannst Du nicht argumentieren, denn Du setzt voraus "Sei a [mm] \in [/mm] U". Natürlich ist dann U nicht leer, aber das sollst Du ja gerade zeigen. Wähle einen speziellen Punkt, der in U liegt, z.B. den Nullvektor. Der liegt in U, da
0+2*0+3*0=0 gilt. Also ist U nicht leer.
II.:
ist ok
III.:
ist ok, aber [mm] \lambda [/mm] heißt lambda 
Basis von U:
Dass der Nullvektor nur durch m=n=0 darstellbar ist, könntest Du noch begründen: die 2. Komponente von b1 ist ungleich 0, die dritte gleich 0, bei b2 ist es umgekehrt. Ist aber ok so.
Ansonsten muss neben der linearen Unabhängigkeit gelten, dass b1 und b2 ein Erzeugendensystem bilden, d.h. dass sich jeder beliebige Vektor in U als Linearkombination von b1 und b2 schreiben lässt,d.h.
m*(-2,1,0) + n*(-3,0,1) = (x1,x2,x3) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U
Dies ergibt das Lineare Gleichungssystem
-2*m-3*n=x1
m =x2
n=x3
Einsetzen in die 1. Gleichung liefert
x1 = -2*x2-3*x3 ,d.h.
x1+2*x2+3*x3 = 0
Das bedeutet, dass alle x [mm] \in [/mm] U, die letztere Gleichung erfüllen, als Linearkombination von b1 und b2 darstellen lassen. Letztere Gleichung ist aber ja gerade die, die für die x aus U gilt nach Definition von U, also lassen sich alle x [mm] \in [/mm] U als Linearkombination von b1 und b2 darstellen, dh. b1 und b2 bilden ein Erzeugendensystem von U und damit eine Basis, da sie ja linear unabhängig sind.
Die Ebenengleichung ist ok; du kannst auch x=m*b1+n*b2 nehmen, da b1 und b2 ja die Basis bilden und der Nullvektor in U liegt (er bildet den Ortsvektor)
zu b)
Deine Rechnungen sind soweit alle richtig, auch die Geradengleichung am Schluss. Nur Deine Vorüberlegung leuchtet nicht ein... Die Vektoren PQ und PR liegen tatsächlich in E1, und das hast Du auch sogar gezeigt: Du hast beide doch in E1 eingesetzt und es kam 0 heraus, d.h. die Gleichung war erfüllt. Das bedeutet gerade, dass sie in E1 liegen.
Für die Gerade am Ende bleibt also nur, dass sie parallel zu E1 oder in E1 liegen könnte. Setzt man aber die Gerade in die Ebenengleichung ein, so erhält man
(1+s1)+2*(1+4s1)+3*(1-3s1) = 6 ,also ungleich 0, d.h. die Ebenengleichung ist für kein s1 [mm] \in [/mm] IR erfüllt. Daher kann die Gerade nicht in E1 liegen. Sie liegt parallel zu E1, da ja schließlich PR in E1 liegt und zugleich der Richtungsvektor der Geraden ist.
zu c)
Eine schöne Lösung!
Nur die Verhältnisse von g1 zu g2 sowie von g1 zu g3 hast Du nicht aufgeführt. g1 und g2 sind parallel, da die Richtungsvektoren gleich sind, aber der Ortsvektor von g2, also der Nullvektor, nicht auf g1 liegt.
g1 und g3 sind windschief (Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen ---> keine s1,s3 zu finden. Parallelität scheidet auch aus, da die Richtungsvektoren von g1, g3 linear unabhängig sind)
Das Verhältnis von g2 und g3 ist eigentlich gar nicht gefordert laut Aufgabenstellung. Sie schneiden sich im Punkt (1,4,-3). Gleichsetzen liefert wiederum s2=s3=1, dann s2 in g2 einsetzen oder s3 in g3.
Und streng genommen muss es in der zweiten Äquivalenz bei "E1 zu E2" heißen
12t = 0 statt 13t = 0
Wahrscheinlich nur ein Tippfehler ändert ja auch nichts am Ergebnis.
Du scheinst das Thema aber größtenteils sehr gut verstanden zu haben!
Hoffe, Dir damit geholfen zu haben! 
Liebe Grüße,
Matthias.
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