Vereinfachen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Vereinfache folgende Aufgaben:
5. [m] \wurzel[4]{\wurzel{256x^8}} [/m]
11. [m] \bruch{\bruch{x - m}{x} - \bruch{x + m}{m}}{\bruch{x - m}{m} + \bruch{x + m}{x}} [/m]
12. [m] \bruch{(x + b)^{-3} - x^{-3}}{b} [/m]
13. [m] \bruch{8}{x + 8} - \bruch{1}{x^2 + 11x + 24} [/m]
14. [m] \bruch{1}{x + 1} - \bruch{2}{(x + 1)^2} + \bruch{9}{x^2-1} [/m]
17. [m]\bruch{1 + \bruch{1}{y - 7}}{1 - \bruch{1}{y - 7}[/m]
18. [m] \bruch{7 (x + 9)^\bruch{1}{2} - x (x + 9)^{-\bruch{1}{2}}}{x + 9} [/m]
20. Vereinfache und eliminiere alle negativen Exponente
[m] \left( \bruch{a^3 b^{-2}}{x^{-3} y^5} \right)^3 \left(\bruch{x^{-4} b^{-3}}{a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}} \right) [/m] |
Hallo Leute!
Alle dieser Aufgaben kamen im Math Quiz in meinem Pre-Calculus Kurs vor. Man, ich hatte ziemlich Probleme die Aufgaben zu lösen, obwohl ich immer ganz gut in Deutschland in Mathe war. Aber hier komme ich langsam zu zweifeln. Vielleicht liegt es daran, dass ich so lange kein Mathe hatte.
Es wäre echt toll, wenn mir die Aufgaben jemand erklären könnte und mir helfen würde diese zu lösen!
Das wäre echt klasse!
Später werde ich mehr Aufgaben posten, die im Math Quiz vorkamen. Ich habe nur die Aufgaben hier gepostet, die ähnlich von der Aufgabenstellung her sind.
Lieben Gruß
Steffi
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Hallo steffi!
Also dann mal der Reihe nach.
> Vereinfache folgende Aufgaben:
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> 5. [m]\wurzel[4]{\wurzel{256x^8}}[/m]
Hier würde ich empfehlen, das Ganze in Potenzen umzuschreiben:
[mm] \wurzel[4]{\wurzel{256x^8}}=((256x^{8})^\bruch{1}{2})^\bruch{1}{4}=...
[/mm]
> 11. [m]\bruch{\bruch{x - m}{x} - \bruch{x + m}{m}}{\bruch{x - m}{m} + \bruch{x + m}{x}}[/m]
Nun ja, wie addiere, bzw. subtrahiere ich zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern? Man sucht zunächst nach dem ...?
> 12. [m]\bruch{(x + b)^{-3} - x^{-3}}{b}[/m]
>
> 13. [m]\bruch{8}{x + 8} - \bruch{1}{x^2 + 11x + 24}[/m]
>
> 14. [m]\bruch{1}{x + 1} - \bruch{2}{(x + 1)^2} + \bruch{9}{x^2-1}[/m]
>
> 17. [m]\bruch{1 + \bruch{1}{y - 7}}{1 - \bruch{1}{y - 7}[/m]
>
> 18. [m]\bruch{7 (x + 9)^\bruch{1}{2} - x (x + 9)^{-\bruch{1}{2}}}{x + 9}[/m]
>
> 20. Vereinfache und eliminiere alle negativen Exponente
> [m]\left( \bruch{a^3 b^{-2}}{x^{-3} y^5} \right)^3 \left(\bruch{x^{-4} b^{-3}}{a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}} \right)[/m]
>
> Hallo Leute!
>
> Alle dieser Aufgaben kamen im Math Quiz in meinem
> Pre-Calculus Kurs vor. Man, ich hatte ziemlich Probleme die
> Aufgaben zu lösen, obwohl ich immer ganz gut in
> Deutschland in Mathe war. Aber hier komme ich langsam zu
> zweifeln. Vielleicht liegt es daran, dass ich so lange kein
> Mathe hatte.
>
> Es wäre echt toll, wenn mir die Aufgaben jemand erklären
> könnte und mir helfen würde diese zu lösen!
> Das wäre echt klasse!
>
> Später werde ich mehr Aufgaben posten, die im Math Quiz
> vorkamen. Ich habe nur die Aufgaben hier gepostet, die
> ähnlich von der Aufgabenstellung her sind.
>
> Lieben Gruß
> Steffi
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| Aufgabe | Vereinfache:
14) [mm] \bruch{1}{x + 1} - \bruch{2}{(x + 1)^2} + \bruch{9}{x^2-1} [/mm]
18) [mm]\bruch{7 (x + 9)^\bruch{1}{2} - x (x + 9)^{-\bruch{1}{2}}}{x + 9}[/mm] |
Hallo,
okay, ich habe jetzt alle Aufgaben gelöst bis auf 14, 18 und 20. Ich schreibe hier jetzt aber erstmal 14 und 18 auf.
Gibt es eine Möglichkeit bei 14 das alles auf einen Nenner zu bringen oder gibt es eine clevere Möglichkeit Number 14 zu vereinfachen als von links nach rechts zu rechnen?
Dasselbe gilt für 18.
Bei 18 bin ich auf jedenfall so weit:
[m]\bruch{7\wurzel{x+9}-\bruch{x}{\wurzel{x+9}}}{x+9}[/m]
Sollte ich das jetzt einfach x+9 multiplizieren oder gibt's noch eine einfachere Möglichkeit?
Danke schön!
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:30 Mi 10.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Steffi!
> Vereinfache:
> 14) [mm]\bruch{1}{x + 1} - \bruch{2}{(x + 1)^2} + \bruch{9}{x^2-1}[/mm]
>
> 18) [mm]\bruch{7 (x + 9)^\bruch{1}{2} - x (x + 9)^{-\bruch{1}{2}}}{x + 9}[/mm]
>
> Hallo,
> okay, ich habe jetzt alle Aufgaben gelöst bis auf 14, 18
> und 20. Ich schreibe hier jetzt aber erstmal 14 und 18
> auf.
> Gibt es eine Möglichkeit bei 14 das alles auf einen
> Nenner zu bringen oder gibt es eine clevere Möglichkeit
> Number 14 zu vereinfachen als von links nach rechts zu
> rechnen?
Es ist eigentlich egal, aber es wird ein klein wenig einfacher, wenn du erst [mm]\bruch{1}{x + 1} - \bruch{2}{(x + 1)^2}[/mm] auf den Hauptnenner bringst. Für den dritten Bruch benutze die dritte binomische: [mm] $x^2-1 [/mm] =(x+1)(x-1)$. Am Schluss kannst du den Zähler wieder in zwei Faktoren zerlegen.
> Dasselbe gilt für 18.
>
> Bei 18 bin ich auf jedenfall so weit:
> [m]\bruch{7\wurzel{x+9}-\bruch{x}{\wurzel{x+9}}}{x+9}[/m]
>
> Sollte ich das jetzt einfach x+9 multiplizieren oder gibt's
> noch eine einfachere Möglichkeit?
Nimm dir erstmal nur den Zähler [mm] $7\wurzel{x+9}-\bruch{x}{\wurzel{x+9}}$ [/mm] und bringe den auf den Hauptnenner, d.h. erweitere den ersten Summanden mit [mm] $\wurzel{x+9}$ [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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Hey, danke Rainer, dass du mir zur späten Stunde (zumindest in Deutschland  ) noch geholfen hast!
Let's see...
Also ich habe jetzt:
[m]\bruch{x-1}{(x+1)^2} + \bruch{9}{(x+1)(x-1)}[/m]
Soll ich das jetzt addieren?
Ich könnte [m]\bruch{9}{(x+1)(x-1)}[/m] doch auch zerlegen, wenn ich 3 als Zähler nehme, oder?
Für Aufgabe 18 habe ich raus:
[m]\bruch{6x+63}{(x+9)^{3/2}}[/m]
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Ich habe nochmal eine Frage zu dem Bruch. Und zwar habe ich wohl irgendwas falsch gemacht (meine Lehrerin hat's gecheckt). Wo ist der Fehler?
Aufgabe: Vereinfache!
[m]\bruch{x-1}{(x+1)^2} + \bruch{9}{(x+1)(x-1)} = \bruch{x^2 - 2x + 1 + 9x + 9}{(x+1)^2 (x-1)} = \bruch{x^2 - 7x + 10}{(x+1)^2 (x-1)} = \bruch{(x-5)(x-2)}{(x+1)^2 (x-1)}[/m]
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> Ich habe nochmal eine Frage zu dem Bruch. Und zwar habe ich
> wohl irgendwas falsch gemacht (meine Lehrerin hat's
> gecheckt). Wo ist der Fehler?
Hallo,
Dein fehler ist klein: das rotmarkierte Minuszeichen ist falsch.
>
> Aufgabe: Vereinfache!
>
> [mm] \bruch{x-1}{(x+1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{9}{(x+1)(x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{x^2 - 2x + 1 + 9x + 9}{(x+1)^2 (x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{x^2 \red{-} 7x + 10}{(x+1)^2 (x-1)} [/mm]
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Vereinfache und eliminiere alle negativen Exponente
[m]\left( \bruch{a^3 b^{-2}}{x^{-3} y^5} \right)^3 \left(\bruch{x^{-4} b^{-3}}{a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}} \right)[/m] |
Okay, danke euch, Leute! Nur noch diese Aufgabe dann bin ich so gut wie fertig. Wie soll ich am besten vorgehen? Soll ich die Zahlen mit negativen Exponente direkt in [m]\bruch{1}{x^x}[/m] umschreiben oder soll ich lieber die Exponente vom erstem Term mit [m]*3[/m] multiplizieren?
Danke euch!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Ich würde zunächst die negativen Exponenten entfernen, indem die entsprechenden Terme vom Zähler in den Nenner bzw. umgekehrt vertauscht werden.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | Wie geht's weiter? |
Okay, ich habe bis jetzt folgendes:
[m]\left( \bruch{a^9 \bruch{1}{b^6}}{\bruch{1}{x^9} y^{15}} \right) \left(\bruch{\bruch{1}{x^4} \bruch{1}{b^3}}{a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}} \right)[/m]
Kann ich jetzt alles auf einen Bruch schreiben?
[m] \bruch{a^9 \bruch{1}{b^6} \bruch{1}{x^4} \bruch{1}{b^3}}{\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}}} \right)[/m]
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Hallo Steffi,
> Wie geht's weiter?
> Okay, ich habe bis jetzt folgendes:
> [m]\left( \bruch{a^9 \bruch{1}{b^6}}{\bruch{1}{x^9} y^{15}} \right) \left(\bruch{\bruch{1}{x^4} \bruch{1}{b^3}}{a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}} \right)[/m]
>
> Kann ich jetzt alles auf einen Bruch schreiben?
> [m]\bruch{a^9 \bruch{1}{b^6} \bruch{1}{x^4} \bruch{1}{b^3}}{\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}}} \right)[/m] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Schreibe das ganze Gezuppel mal doppelbruchfrei hin, dann kannst du mithilfe der stadtbekannten Potenzgesetze noch schön zusammenfassen...
LG
schachuzipus
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Okay, dann alles multiplizieren, richtig?
Wäre das dann der vereinfachste Term?
[m]a^{\bruch{21}{2}} y^{\bruch{46}{3}} \bruch{1}{b^9 x^{13}}[/m]
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> Okay, dann alles multiplizieren, richtig?
> Wäre das dann der vereinfachste Term?
>
> [m]a^{\bruch{21}{2}} y^{\bruch{46}{3}} \bruch{1}{b^9 x^{13}}[/m]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
schreib doch bitte immer die gesamte Gleichung mit hin, das vereinfacht die Korrektur nämlich sehr.
Dein Ergebnis ist verkehrt.
Poste mal Deine Zwischenschritte mit.
Du hattest $ \bruch{a^9 \bruch{1}{b^6} \bruch{1}{x^4} \bruch{1}{b^3}}{\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}}} \right) $ = ...=....=...= usw.
Gruß v. Angela
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Okay, let's see...
[mm] \bruch{a^9 \bruch{1}{b^6} \bruch{1}{x^4} \bruch{1}{b^3}}{\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] a^9 \bruch{1}{b^6} \bruch{1}{x^4} \bruch{1}{b^3} \bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3} [/mm] = [mm] a^{\bruch{21}{2}} y^{\bruch{46}{3}} \bruch{1}{b^9 x^{13}}
[/mm]
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> Okay, let's see...
>
> [mm]\bruch{a^9 \bruch{1}{b^6} \bruch{1}{x^4} \bruch{1}{b^3}}{\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}}[/mm]
> = [mm]a^9 \bruch{1}{b^6} \bruch{1}{x^4} \bruch{1}{b^3} \bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}[/mm]
> = [mm]a^{\bruch{21}{2}} y^{\bruch{46}{3}} \bruch{1}{b^9 x^{13}}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
Hallo,
das ist nicht richtig.
Bei Dir ist $ \bruch{1}{\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}}} \right) $ =\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}, was nicht stimmt.
Denke also scharf über den Nenner nach, und darüber, wie Du \bruch{1}{x^9} aus dem Nenner fortbekommst.
Gruß v Angela
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Hmm, warum ist der Nenner [m]\bruch{1}{\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}}}[/m] und nicht [m]\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}[/m]?
Kann ich [m]\bruch{1}{x^9}[/m] mit [mm] [/m]\bruch{1}{x^4}[/m] [/mm] kürzen? Dann [mm] [/m]\bruch{1}{\bruch{x^4}{x^9}} [/mm] = [mm] x^5[/m]? [/mm]
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> Hmm, warum ist der Nenner [m]\bruch{1}{\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}}}[/m]
> und nicht [m]\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}[/m]?
Hallo,
der Nenner ist [m]\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}[/m],
aber es ist doch
[m]\bruch{1}{\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}}}[/m] [mm] \not=[/mm] [m]\bruch{1}{x^9} y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}[/m].
Am Zahlenbeispiel: [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{3}*7} [/mm] ist nicht dasselbe wie [mm] \bruch{1}{3}*7, [/mm] sondern es ist [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{3}*7}=\bruch{3}{7}.
[/mm]
>
> Kann ich [m]\bruch{1}{x^9}[/m] mit [mm][/m]\bruch{1}{x^4}[/m][/mm] kürzen?
Bitte schreib deutlicher, worum es geht.
Um das: [mm] \bruch{\bruch{1}{x^4}}{\bruch{1}{x^9}} [/mm] ?
[mm] \bruch{\bruch{1}{x^4}}{\bruch{1}{x^9}}=\bruch{1}{x^4}*\bruch{x^9}{1}= x^5
[/mm]
> Dann
> [mm]\bruch{1}{\bruch{x^4}{x^9}}[/mm] = [mm]x^5?[/mm]
Das hier stimmt ebenfalls.
Gruß v. Angela
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Hmm... naja, ich versuche jetzt [m] \bruch{1}{x^9} [/m] aus dem Nenner zu bekommen. Und da der Zähler [m]\bruch{1}{x^4}[/m] hat, kann ich das doch dementsprechend kürzen um den Bruch [m] \bruch{1}{x^9} [/m] aus dem Nenner zu bekommen.
Da das dann [mm] x^5 [/mm] ergibt, heißt der neue Bruch so?
[m]\bruch{a^9 \bruch{1}{b^6} x^5 \bruch{1}{b^3}}{y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}}[/m]
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> Hmm... naja, ich versuche jetzt [m]\bruch{1}{x^9}[/m] aus dem
> Nenner zu bekommen. Und da der Zähler [m]\bruch{1}{x^4}[/m] hat,
> kann ich das doch dementsprechend kürzen um den Bruch
> [m]\bruch{1}{x^9}[/m] aus dem Nenner zu bekommen.
>
> Da das dann [mm]x^5[/mm] ergibt, heißt der neue Bruch so?
>
> [m]\bruch{a^9 \bruch{1}{b^6} x^5 \bruch{1}{b^3}}{y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}}[/m]
Hallo,
ich fall um! Schon wieder keine Gleichung...
Dein Vertrauen in die Merkfähigkeit Deiner Mitmenschen ist groß, und man übersieht leicht Fehler, wenn's nicht mund- bzw. augengerecht auf dem Silbertablett präsentiert wird.
Richtig ist's. Jetzt mach weiter. Fort mit den Brüchen aus dem Zähler, dann die beiden a-Potenzen und die beiden y-Potenzen verwurschten.
Gruß v. Angela
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Haha, tut mir Leid. Es ist nur sehr mühselig jeden Schritt hier aufzuzählen (was man allerdings rechtfertigen kann, da man hier wirklich gut geholfen wird!). Aber du hast schon Recht damit. Man kann die Fehler am besten entdecken, wenn man jeden Schritt aufschreibt. Und jetzt mache ich das mal:
[mm] \bruch{a^9 \bruch{1}{b^6} x^5 \bruch{1}{b^3}}{y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] a^9 \bruch{1}{b^6} x^5 \bruch{1}{b^3}y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3} [/mm] = [mm] a^{\bruch{21}{2}} \bruch{1}{b^9} x^{15} y^{\bruch{46}{3}}
[/mm]
Hmm... ich hoffe, ich habe jetzt alles richtig gemacht!
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> Haha, tut mir Leid. Es ist nur sehr mühselig jeden Schritt
> hier aufzuzählen (was man allerdings rechtfertigen kann,
> da man hier wirklich gut geholfen wird!). Aber du hast
> schon Recht damit. Man kann die Fehler am besten entdecken,
> wenn man jeden Schritt aufschreibt. Und jetzt mache ich das
> mal:
>
> [mm]\bruch{a^9 \bruch{1}{b^6} x^5 \bruch{1}{b^3}}{y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}}[/mm]
> = [mm]a^9 \bruch{1}{b^6} x^5 \bruch{1}{b^3}y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}[/mm]
> = [mm]a^{\bruch{21}{2}} \bruch{1}{b^9} x^{15} y^{\bruch{46}{3}}[/mm]
Hallo,
Du tust's schon wieder - also nicht das eine, sondern das andere...
Du kannst nicht einfach den Nenner zum Zähler machen!
Es ist [mm] \bruch{1}{y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}} [/mm] nach wie vor nicht dasselbe wie [mm] y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}.
[/mm]
Es ist ja auch [mm] \bruch{1}{15*3}\not=15*3. [/mm] Ogottogott.
Entweder faßt Du die y-Potenzen unter (!!!) dem Bruchstich zusammen, daß [mm] y^{15}*y^{\bruch{1}{3}} =y^{\bruch{46}{3}}, [/mm] stimmt ja.
Ansonsten, wenn Du negative Potenzen magst, ist
[mm]\bruch{a^9 \bruch{1}{b^6} x^5 \bruch{1}{b^3}}{y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}}[/mm] = [mm]a^9 \bruch{1}{b^6} x^5 \bruch{1}{b^3}y^{-15} a^{-\bruch{3}{2}} y^{-\bruch{1}{3}}[/mm] richtig.
Ich mache jetzt mal eine Aufgabe vor auf verschiedene Weisen, vielleicht bringt es Dir mehr für die Lösung Deiner Aufgabe, wenn Du mal ein Beispiel anschaust.
Ich rate Dir dringend, Dich nochmal mit Deinem Mathebuch aus der Mittelstufe zu beschäftigen.
Potenzgesetzte, aber auch Bruchrechnung mit Doppelbrüchen.
[mm] \bruch{a^2b^{-3}c^4}{a^{-5}b^{6}c^{-7}}=\bruch{a^2*a^5c^4*c^7}{b^{6}b^3}=\bruch{a^7c^{11}}{b^9}
[/mm]
[mm] \bruch{a^2b^{-3}c^4}{a^{-5}b^{6}c^{-7}}=\bruch{a^2\bruch{1}{b^3}c^4}{\bruch{1}{a^5}b^{6}\bruch{1}{c^7}}=a^2*\bruch{1}{b^3}c^4* a^5*\bruch{1}{b^6}*c^7=a^7*c^{11}*\bruch{1}{b^9}=a^7*b^{-9}c^{11}
[/mm]
[mm] \bruch{a^2b^{-3}c^4}{a^{-5}b^{6}c^{-7}}=a^2b^{-3}c^4*a^{5}b^{-6}c^{7}=a^7b^{-9}c^{11}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ok, Angela, vielen Dank für deine Hilfe! Ich stelle mich echt dumm an. Ich muss echt noch viel nachholen. Thanks!
Auf ein neues...
[m] \bruch{a^9 \bruch{1}{b^6} x^5 \bruch{1}{b^3}}{y^{15} a^\bruch{3}{2} y^\bruch{1}{3}} = \bruch{a^9 \bruch{1}{b^6} x^5 \bruch{1}{b^3}}{a^\bruch{3}{2} y^\bruch{46}{3}} = \bruch{a^9 x^5 \bruch{1}{b^9}}{a^\bruch{3}{2} y^\bruch{46}{3}} = \bruch{a^\bruch{15}{2} x^5 \bruch{1}{b^9}}{y^\bruch{46}{3}} = a^\bruch{15}{2} x^5 \bruch{1}{b^9 y^\bruch{46}{3}}[/m]
Ist das richtig? Kann man's jetzt noch weiter vereinfachen?
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Hallo Steffi 2012,
Deine Rechnung stimmt genau.
Gruß Andreas
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