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Hallo zusammen!
Endlich ist mal vorlesungsfreie Zeit, da will ich die ganzen Sachen nachholen die unverstanden liegengeblieben sind.
Für jedes k einer nichtleeren Menge K sei [mm] M_{k} [/mm] eine Menge.
[mm] \bigcup_{k\in K}^{} [/mm] := { x | für alle k [mm] \in [/mm] K : x [mm] \in M_{k} [/mm] }.
Für k [mm] \in \IN [/mm] sei
[mm] M_{k} [/mm] := { a - b | a [mm] \in \IN \wedge [/mm] b [mm] \in \IN \wedge [/mm] b [mm] \le [/mm] k}.
Behauptung:
[mm] \bigcup_{k\in K}^{} M_{k} [/mm] = [mm] \IZ
[/mm]
Beweis:
gut, ich weiß, dass ich einmal zeigen muss, dass die Vereinigung Teilmenge von [mm] \IZ [/mm] ist, und andersherum.
1. TEIL
[mm] \bigcup_{k\in K}^{} M_{k} \subseteq \IZ [/mm] :
also ist zu zeigen: für alle x : ( x [mm] \in \bigcup_{k\in K}^{} M_{k} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \IZ [/mm] ).
aber nun weiß ich nicht wie man da rangehen kann / muss. Es bringt ja nichts, wenn ich sage "na gut, das sieht man eben an der Def von der Vereinigung und von [mm] M_{k}, [/mm] dass dies gilt..." Kann mir da bitte jemand helfen?
dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:24 Fr 24.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo dancingestrella!
> Endlich ist mal vorlesungsfreie Zeit, da will ich die
> ganzen Sachen nachholen die unverstanden liegengeblieben
> sind.
>
> Für jedes k einer nichtleeren Menge K sei [mm]M_{k}[/mm] eine Menge.
>
> [mm]\bigcup_{k\in K} := \{ x | für alle k \in K : x \in M_{k} \}[/mm].
Das verstehe ich nicht ganz. Zunächst fehlt hier doch eine Mengenfamilie, über die vereinigt werden soll, oder?
Und dann scheinst du die Definition des Durchschnitts angebenen zu haben...
Müßte es nicht so heißen:
[mm] $\bigcup_{k\in K} \red{M_k} [/mm] := [mm] \{ x\ |\ \mbox{\red{es existiert} } k \in K\ :\ x \in M_{k}\}$
[/mm]
> Für $k [mm] \in \IN$ [/mm] sei
> [mm] $M_{k} [/mm] := [mm] \{ a - b\ |\ a \in \IN \wedge b \in \IN \wedge b \le k\}$
[/mm]
>
> Behauptung:
> [mm]\bigcup_{k\in K}^{} M_{k}[/mm] = [mm]\IZ[/mm]
>
> Beweis:
> gut, ich weiß, dass ich einmal zeigen muss, dass die
> Vereinigung Teilmenge von [mm]\IZ[/mm] ist, und andersherum.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 1. TEIL
> [mm]\bigcup_{k\in K}^{} M_{k} \subseteq \IZ[/mm] :
>
> also ist zu zeigen: für alle x : ( x [mm]\in \bigcup_{k\in K}^{} M_{k} \Rightarrow[/mm]
> x [mm]\in \IZ[/mm] ).
> aber nun weiß ich nicht wie man da rangehen kann / muss. Es
> bringt ja nichts, wenn ich sage "na gut, das sieht man eben
> an der Def von der Vereinigung und von [mm]M_{k},[/mm] dass dies
> gilt..."
Na gut, aber diese Richtung ist tatsächlich die "triviale".
Formal könntest du so argumentieren:
Sei [mm] $x\in\bigcup_{k\in K} M_k$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Es existiert ein [mm] $k\in [/mm] K$, [mm] $a,b\in\IN$ [/mm] (mit [mm] $b\le [/mm] k$, aber hier unwichtig) so dass $x=a-b$
[mm] $\Rightarrow$ $x\in\IZ$, [/mm] da [mm] $\IZ$ [/mm] eine Gruppe bzgl. Addition ist und deswegen [mm] $a-b\in\IZ$
[/mm]
Das war's auch schon (für diese Richtung) 
> Kann mir da bitte jemand helfen?
Probier' doch noch mal die Rückrichtung selbst (sie ist etwas schwieriger, also nicht verzweifeln dass es nicht so einfach wie die "Hinrichtung" ist)
Viel Erfolg,
Marc
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Hallo Marc!
natürlich hast du mit deinen Verbesserungen recht.
Mir ist da noch ein Felher unterlaufen (immer dieses doofe Copy-Paste...) und zwar müsste bei der Behauptung stehen:
[mm] \bigcup_{k \in \IN}^{} M_{k} [/mm] = [mm] \IZ
[/mm]
also unter den Vereinigungszeichen k [mm] \in \IN [/mm] statt k [mm] \in [/mm] K.
Tut mir Leid, ich werde in Zukunft gründlich nochmal durchlesen, bevor ich sowas auf den Matheraum loslasse
Zum Glück habe ich zu Weihnachten ein paar Schoko-vorräte bekommen, kann ja nie schaden... zum Frustabbau 
mein oben angesprochener Fehler ändert doch nichts an der "Herrichtung", oder?
und dein Einschub, dass [mm] \IZ [/mm] eine Gruppe bezüglich der Addition ist, soll doch belegen, dass a-b [mm] \in \IZ [/mm] ist, oder? damit spielst du doch hoffentlich auf das inverse Element an, oder?
Wenn ja, dann ist gut...
Ist das übrigens ein üblicher Mathe-Trick, dass man mit "Sei x [mm] \in [/mm] ... " beweist?
zur anderen Richtung:
zu zeigen: [mm] \IZ \subseteq \bigcup_{k \in \IN}^{} M_{k}
[/mm]
Im Groben kann ich ja wieder mit "Sei x [mm] \in \IZ" [/mm] beginnen und irgendwie zeigen, dass dieses beliebige Element in der Vereinigung liegt, oder?
Meine Idee war mit der Definition von [mm] \IZ [/mm] zu beweisen. Aber die Definition die ich gefunden habe, nämlich
[mm] \IZ [/mm] = { 0, 1, -1, 2, -2, ... }
hilft mir nicht weiter *frust->schoko*
Kannst du mir weiterhelfen?
(Von diesem Aufgabentyp habe ich noch 3 andere Aufgaben, nur mit Durchschnitt und einer anderen Menge, über die die Vereinigung, der Durchschnitt gebildet werden... ich versuche da jetzt schonmal den "trivialen Weg", wenn es den da auch gibt.)
ich wünsche noch schöne Weihnachtsfeiertage,
dancingestrella
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Sa 25.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo dancingestrella!
> Hallo Marc!
>
> natürlich hast du mit deinen Verbesserungen recht.
> Mir ist da noch ein Felher unterlaufen (immer dieses doofe
> Copy-Paste...) und zwar müsste bei der Behauptung stehen:
> [mm]\bigcup_{k \in \IN}^{} M_{k}[/mm] = [mm]\IZ
[/mm]
> also unter den Vereinigungszeichen k [mm]\in \IN[/mm] statt k [mm]\in[/mm]
> K.
> Tut mir Leid, ich werde in Zukunft gründlich nochmal
> durchlesen, bevor ich sowas auf den Matheraum loslasse
>
>
> Zum Glück habe ich zu Weihnachten ein paar Schoko-vorräte
> bekommen, kann ja nie schaden... zum Frustabbau
>
> mein oben angesprochener Fehler ändert doch nichts an der
> "Herrichtung", oder?
Nein, denn ich habe wohl in meiner "Herrichtung" implizit mit [mm] $K=\IN$ [/mm] gerechnet.
> und dein Einschub, dass [mm]\IZ[/mm] eine Gruppe bezüglich der
> Addition ist, soll doch belegen, dass a-b [mm]\in \IZ[/mm] ist,
> oder? damit spielst du doch hoffentlich auf das inverse
> Element an, oder?
Ja, genau, dass das inverse Element -b in [mm] $\IZ$ [/mm] liegt und auf die Abgeschlossenheit der Verknüpfung, dass [mm] also$a+(-b)\in\IZ$.
[/mm]
> Wenn ja, dann ist gut...
Kannst die Schokolade wieder aus der Hand nehmen
>
> Ist das übrigens ein üblicher Mathe-Trick, dass man mit
> "Sei x [mm]\in[/mm] ... " beweist?
Einen Trick würde ich das nicht nennen, es ist mehr eine Floskel für
"ich nehme mir ein beliebiges [mm] $x\in\ldots$ [/mm] her..."
> zur anderen Richtung:
> zu zeigen: [mm]\IZ \subseteq \bigcup_{k \in \IN}^{} M_{k}
[/mm]
> Im Groben kann ich ja wieder mit "Sei x [mm]\in \IZ"[/mm] beginnen
> und irgendwie zeigen, dass dieses beliebige Element in der
> Vereinigung liegt, oder?
> Meine Idee war mit der Definition von [mm]\IZ[/mm] zu beweisen.
> Aber die Definition die ich gefunden habe, nämlich
> [mm]\IZ[/mm] = { 0, 1, -1, 2, -2, ... }
> hilft mir nicht weiter *frust->schoko*
Das ist als Definition natürlich etwas mager, vielleicht findest du ja noch etwas brauchbareres...
Aber wir können den Beweis ja schon mal beginnen:
Sei [mm] $x\in\IZ$.
[/mm]
Zu zeigen: Es exisitiert ein [mm] $k\in\IN$ [/mm] so dass [mm] $x\in M_k$ [/mm] (denn dann ist x ja in der Vereinigung der [mm] $M_k$s).
[/mm]
Meine Idee wäre hier, zunächst zu zeigen, dass [mm] $a,b\in\IN$ [/mm] existiert, so dass $x=a-b$. Dann würde ich nämlich einfach $k:=b$ wählen.
Fall 1: $x=0$: wähle einfach a:=1 und b:=1.
Fall 2: [mm] $x\ge [/mm] 1$: wähle a:=x+1 und b:=1
Fall 3: [mm] $x\le [/mm] -1$: wähle a:=1 und b:=-x+1
(Fälle 1 und 2 könnte man auch zusammenfassen zu: [mm] $x\ge0$: [/mm] wähle a:=x+1 und b:=1)
Hier ist dann nur noch zu begründen, warum [mm] $a,b\in\IN$ [/mm] gilt.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo Marc,
zuerst was allgemeines: Was meinst du mit "die Definition für [mm] \IZ [/mm] ist etwas mager"? Wir hatten weder in Analysis noch in Lineare Algebra eine andere. Haben die mir was verschiegen?
Und jetzt zum Wesentlichen... ich verstehe den Beweis nicht. Deswegen hat meine Antwort etwas länger gedauert... ich hoffte noch auf ein kleines "Klick", aber vergebens...
Jetzt wird es schwierig, ich weiß nicht so Recht wie ich meine Unklarheiten formulieren soll.
Hmmm gut (?)... also soweit ich es verstehe gehst du ran und definierst a und b so, dass sie "zusammen" mit a-b die ganzen Zahlen (also die drei Fälle) ergeben.
Der Rest ist unklarer. Ich zitier dich mal:
"Zu zeigen: Es exisitiert ein k [mm] \in \IN [/mm] so dass x [mm] \in M_k [/mm] (denn dann ist x ja in der Vereinigung der [mm] M_k [/mm] s). "
Also willst du damit zeigen, dass ein [mm] M_k [/mm] = [mm] \IZ [/mm] ist?
Ich befürchte, dass mir dies am Unklarsten ist, obwohl es ja eigentlich nur die Def von der bösen Vereinigung ist *schoko.nicht.hol.weil.zähne.schon.geputzt*
Und wieso muss ich zeigen, dass a und b [mm] \in \IN [/mm] gilt? Damit beziehst du dich doch auf die jeweils drei mal definierten a und bs, oder?
ich seh das wird diese Nacht nichts mehr... geh jetzt lieber schlafen. hoffentlich klappt's morgen besser.
gute Nacht, dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Mo 27.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo dancingestrella,
> zuerst was allgemeines: Was meinst du mit "die Definition
> für [mm]\IZ[/mm] ist etwas mager"? Wir hatten weder in Analysis noch
> in Lineare Algebra eine andere. Haben die mir was
> verschiegen?
Nein, nicht unbedingt, ich hatte nur gehofft, ihr hättet eine handlichere Definition bekommen.
Zum Beispiel [mm] $\IZ:=\{z\ |\ \exists a,b\in\IN\ :\ z=a-b\}$
[/mm]
> Und jetzt zum Wesentlichen... ich verstehe den Beweis
> nicht. Deswegen hat meine Antwort etwas länger gedauert...
> ich hoffte noch auf ein kleines "Klick", aber
> vergebens...
>
> Jetzt wird es schwierig, ich weiß nicht so Recht wie ich
> meine Unklarheiten formulieren soll.
> Hmmm gut (?)... also soweit ich es verstehe gehst du ran
> und definierst a und b so, dass sie "zusammen" mit a-b die
> ganzen Zahlen (also die drei Fälle) ergeben.
> Der Rest ist unklarer. Ich zitier dich mal:
> "Zu zeigen: Es exisitiert ein k [mm]\in \IN[/mm] so dass x [mm]\in M_k[/mm]
> (denn dann ist x ja in der Vereinigung der [mm]M_k[/mm] s). "
> Also willst du damit zeigen, dass ein [mm]M_k[/mm] = [mm]\IZ[/mm] ist?
Nein, meine Ausführungen gelten doch nur für das eine [mm] $x\in\IZ$.
[/mm]
Um eine Teilmengenbeziehung [mm] $A\subseteq [/mm] B$ zu zeigen, argumentiert man ja häufig so: Sei [mm] $x\in [/mm] A$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ... [mm] $\Rightarrow$ $x\in [/mm] B$.
Genauso wollte ich auch hier vorgehen. Ich muss zeigen, dass [mm] $x\in \bigcup M_k$ [/mm] liegt.
Wie du in deiner (von mir korrigierten Fassung deiner) Definition einer Vereinigung angegeben hattest, muss x in (mindestens) einem [mm] $M_k$ [/mm] liegen, also ein k existieren, so dass [mm] $x\in M_K$. [/mm] Das meinte ich damit
> Ich befürchte, dass mir dies am Unklarsten ist, obwohl es
> ja eigentlich nur die Def von der bösen Vereinigung ist
Das ist wahr.
> *schoko.nicht.hol.weil.zähne.schon.geputzt*
Sehr vernünftig.
> Und wieso muss ich zeigen, dass a und b [mm]\in \IN[/mm] gilt?
> Damit beziehst du dich doch auf die jeweils drei mal
> definierten a und bs, oder?
Wir müssen doch immer noch zeigen, dass ein k existiert, so dass [mm] $x\in M_k$. [/mm] Das geht am einfachsten, wenn man dieses k direkt angeben könnte.
Meine Idee war, zunächst einmal [mm] $a,b\in\IN$ [/mm] zu finden, so dass x=a-b, denn dann ist x ja auf jeden Fall [mm] $x\in M_b$ [/mm] (also k:=b).
Da ich aber noch nicht richtig begründet hatte, dass a und b bei meiner Wahl tatsäch natürliche Zahlen sind, bleibt dir das noch zu zeigen
Viele Grüße,
Marc
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Hallo Marc!
nochmal:
ich muss zeigen, dass aus x [mm] \in \IZ [/mm] folgt: es existiert ein k [mm] \in [/mm] K, so dass gilt: x [mm] \in [/mm] { a-b | a,b [mm] \in \IN [/mm] und b [mm] \le [/mm] k}.
Da x [mm] \in \IZ, [/mm] kann man drei verschiedene Fälle betrachten:
a) x = 0
b) x [mm] \ge [/mm] 1
c) x [mm] \le [/mm] -1
Wenn wird jetzt zeigen, dass alle drei Fälle a), b) und c) in { a-b | a,b [mm] \in \IN [/mm] und b [mm] \le [/mm] k} liegen und ein passendes k [mm] \in \IN [/mm] finden haben wir gewonnen, ist das richtig (dann hab ich das Prinzip verstanden... )???
Ich für mich hätte jetzt gewählt:
a) a:= 1 und b:=1 [mm] \Rightarrow [/mm] a-b = 0
b) a: [mm] \ge [/mm] 2 und b:= 1 [mm] \Rightarrow [/mm] a-b [mm] \ge [/mm] 1
c) a:= 1 und [mm] b:\ge [/mm] 2 [mm] \Rightarrow [/mm] a-b [mm] \le [/mm] -1.
Das hat den Vorteil: man sieht direkt, dass für a), b) und c) die a's und b's in [mm] \IN [/mm] liegen. Hat aber den Nachteil, dass wir wegen c) mit [mm] b:\ge [/mm] 2, b nicht beschränken können, folglich also kein k angeben können.
Ich hab das eigentlich nur aufgeschrieben, für mich zur Kontrolle, ob meine bisherigen Gedanken okay sind.
Du hattest bei den drei Fällen:
a) a:= 1 und b:= 1 [mm] \Rightarrow [/mm] a-b = 0
b) a:= x+1 und b:= 1 [mm] \Rightarrow [/mm] a-b = x
c) a:=1 und b:= -x + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] a-b = x
ich sehe leider nicht, dass bei b) x [mm] \ge [/mm] 1 und bei c) x [mm] \le [/mm] -1 rauskommt.
Ist das x bei den Konstruktionen von b) und c) denn das x [mm] \in \IZ [/mm] ?
Oder soll bei b) x [mm] \in \IN [/mm] und bei c)vielleicht x [mm] \in \IZ [/mm] \ [mm] \IN [/mm] sein? Das ist für mich noch nicht offensichtlich.
Können wir vielleicht erstmal das klären? Dann kann ich auch begründen wieso die a's und b's in [mm] \IN [/mm] liegen, glaube ich.
viele Grüße, dancingestrella
und einmal: danke, an dieser Stelle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 Do 30.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo dancingestrella!
> Hallo Marc!
>
> nochmal:
> ich muss zeigen, dass aus x [mm]\in \IZ[/mm] folgt: es existiert
> ein k [mm]\in[/mm] K, so dass gilt: $x [mm] \in\{ a-b | a,b \in \IN \wedge b \le k\}$.
[/mm]
>
> Da x [mm]\in \IZ,[/mm] kann man drei verschiedene Fälle
> betrachten:
> a) x = 0
> b) x [mm]\ge[/mm] 1
> c) x [mm]\le[/mm] -1
>
> Wenn wird jetzt zeigen, dass alle drei Fälle a), b) und c)
> in [mm] $\{ a-b | a,b \in \IN \wedge b\le k\}$ [/mm] liegen und ein
> passendes k [mm]\in \IN[/mm] finden haben wir gewonnen, ist das
> richtig (dann hab ich das Prinzip verstanden... )???
Perfekt
> Ich für mich hätte jetzt gewählt:
> a) a:= 1 und b:=1 [mm]\Rightarrow[/mm] a-b = 0
> b) a: [mm]\ge[/mm] 2 und b:= 1 [mm]\Rightarrow[/mm] a-b [mm]\ge[/mm] 1
> c) a:= 1 und [mm]b:\ge[/mm] 2 [mm]\Rightarrow[/mm] a-b [mm]\le[/mm] -1.
> Das hat den Vorteil: man sieht direkt, dass für a), b) und
> c) die a's und b's in [mm]\IN[/mm] liegen. Hat aber den Nachteil,
> dass wir wegen c) mit [mm]b:\ge[/mm] 2, b nicht beschränken können,
> folglich also kein k angeben können.
Das hat unbestreitbar deine Vorteile, aber damit hast du nur die Fälle x=0, x=1 und x=-1 betrachtet
Was ist mit x=-2 oder x=5?
Du hast hier aus den Augen verloren, dass das x ja beliebig aus [mm] $\IZ$ [/mm] gewählt war, und sich a und b in dessen Abhängigkeit befinden.
> Ich hab das eigentlich nur aufgeschrieben, für mich zur
> Kontrolle, ob meine bisherigen Gedanken okay sind.
>
> Du hattest bei den drei Fällen:
> a) a:= 1 und b:= 1 [mm]\Rightarrow[/mm] a-b = 0
> b) a:= x+1 und b:= 1 [mm]\Rightarrow[/mm] a-b = x
> c) a:=1 und b:= -x + 1 [mm]\Rightarrow[/mm] a-b = x
> ich sehe leider nicht, dass bei b) x [mm]\ge[/mm] 1 und bei c) x
> [mm]\le[/mm] -1 rauskommt.
Das ist auch nicht relevant, sondern wir wollen doch zeigen, dass a>0 und b>0 in allen drei Fällen gilt (bzw. [mm] $a,b\in\IN$)!
[/mm]
> Ist das x bei den Konstruktionen von b) und c) denn das x
> [mm]\in \IZ[/mm] ?
> Oder soll bei b) x [mm]\in \IN[/mm] und bei c)vielleicht x [mm]\in \IZ[/mm]
> \ [mm]\IN[/mm] sein? Das ist für mich noch nicht offensichtlich.
Doch, das soll das gleiche x sein. Das ist aber doch immer so, dass man nur definierte Variablen verwenden sollte, und immer die jüngste Definition der Variable gilt.
> Können wir vielleicht erstmal das klären? Dann kann ich
> auch begründen wieso die a's und b's in [mm]\IN[/mm] liegen, glaube
> ich.
Okay, dann lasse ich dir noch mal eine Chance , aber dann werde ich alles komplett aufschreiben, weil unsere Diskussion mittlerweile recht unübersichtlich wird (und du ja auch noch andere Probleme hast )
Viel Erfolg,
Marc
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