Vergessenskurve < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [Auf die wichtigsten Infos reduziert]
[mm]p(t)[/mm] bedeutet den Prozentsatz des Lernstoffes, der nach [mm]t[/mm] Zeiteinheiten noch im Gedächtnis ist. Also ist p(0) = 100
Ein gewisser Prozentsatz [mm]b[/mm] des Stoffes wird nie vergessen. Also ist [mm]0 < b < 100[/mm] .
Zur Zeit [mm]t[/mm] ist die Vergessensrate [mm]p'(t)[/mm] proportional zu dem noch zu vergessenden Stoff, also zu [mm]p(t) - b[/mm]
Formulieren Sie das Problem als Differentialgleichung und lösen Sie diese. |
Hallo zusammen,
ich sitze jetzt schon seit einiger Zeit an meiner Lösung zu dieser Aufgabe und würde gern wissen, in wie weit Ihr sie für sinnvoll haltet – und natürlich, was nicht sinnvoll, also falsch ist.
Aus den gegebenen Daten stelle ich zunächst einmal folgende Gleichung auf:
[mm]\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} p(t) = \mu * (p(t)-b)[/mm]
wobei [mm]\mu[/mm] die Wachstumsrate ist.
Jetzt stelle ich die Gleichung nach [mm]\mu[/mm] um (in der Hoffnung, dass sie richtig ist):
[mm]\bruch{p'(t)}{p(t) - b} = \mu[/mm]
Nun geht's an die Integration:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{p'(t)}{p(t)-b} dt} = \integral_{}^{}{\mu dt}[/mm]
Die linke Seite integriere ich (Substitution) und die rechte Seite ignoriere ich erstmal:
[mm]u := p(t) - b[/mm]
[mm]\mathrm{d} t = \frac{\mathrm{d} u}{u'} = \frac{\mathrm{d} u}{p(t)'}[/mm]
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{p'(t)}{u} * \bruch{\mathrm{d} u}{p'(t)}}[/mm]
[mm]\integral_{}^{} \bruch{1}{u} * \mathrm{d} u[/mm]
[mm]log(u)[/mm]
Jetzt führe ich die Resubstitution durch und integriere im selben Schritt die rechte Seite der Gleichung, die ich bis eben ignoriert habe:
[mm]log(p(t)-b) = \mu*t[/mm]
[mm]p(t)-b = exp(\mu*t)[/mm]
[mm]p(t) = exp(\mu*t) + b[/mm]
Eine Sache fehlt mir jetzt wohl noch: Die Bedingung, dass [mm]p(0) = 100[/mm]
Wie baue ich das da mit rein? Vielleicht so?
[mm]p(t) = (100-p(t)) exp(\mu*t) + b[/mm]
Ich freue mich auf Eure Anmerkungen.
Viele Grüße
Patrick
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Mo 17.12.2012 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
du hast beim integrieren die Konstante vergessen, das gibt ein C vor dem e^{\mu*t)
ich würde \mu gleich negativ schreiben
sonst ist es richtig
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo leduart,
danke für deine Antwort.
> du hast beim integrieren die Konstante vergessen, das gibt
> ein C vor dem e^{\mu*t)
Ich integriere ja beide Seiten der Gleichung, wodurch ja auch zwei Konstanten "entstehen" würden.
Irgendwann hätte ich da also stehen
[mm]log(p(t)-b) + C = \mu * t + C[/mm]
Macht das denn überhaupt Sinn?
Wenn ich jetzt exp(x) anwende, dann wende ich exp(x) ja auch auf die Konstante an. C stünde dann also nicht vor dem [mm]exp(\mu * t)[/mm], sondern "drin".
Hab ich hier einen Denkfehler?
Viele Grüße
Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Di 18.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> Hallo leduart,
>
> danke für deine Antwort.
>
> > du hast beim integrieren die Konstante vergessen, das gibt
> > ein C vor dem e^{\mu*t)
>
> Ich integriere ja beide Seiten der Gleichung, wodurch ja
> auch zwei Konstanten "entstehen" würden.
>
> Irgendwann hätte ich da also stehen
>
> [mm]log(p(t)-b) + C = \mu * t + C[/mm]
>
> Macht das denn überhaupt Sinn?
So nicht, sondern so:
[mm]log(p(t)-b) = \mu * t + C[/mm]
Mit p(0)=100 ergibt sich:
[mm]log(100-b) = C[/mm]
FRED
> Wenn ich jetzt exp(x) anwende, dann wende ich exp(x) ja
> auch auf die Konstante an. C stünde dann also nicht vor
> dem [mm]exp(\mu * t)[/mm], sondern "drin".
>
> Hab ich hier einen Denkfehler?
>
> Viele Grüße
> Patrick
|
|
|
| |
|
Aber warum taucht auf der linken Seite keine Konstante auf? Ich integriere doch sowohl links als auch rechts.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Di 18.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Aber warum taucht auf der linken Seite keine Konstante auf?
> Ich integriere doch sowohl links als auch rechts.
Dann machen wir das so:
$ log(p(t)-b) + [mm] C_1 [/mm] = [mm] \mu \cdot{} [/mm] t + [mm] C_2 [/mm] $
Setze [mm] C=C_2-C_1
[/mm]
Dann
$ log(p(t)-b) = [mm] \mu \cdot{} [/mm] t + C $
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Di 18.12.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo Fred,
> [mm]log(p(t)-b) + C_1 = \mu \cdot{} t + C_2[/mm]
>
> Setze [mm]C=C_2-C_1[/mm]
>
> Dann
>
> [mm]log(p(t)-b) = \mu \cdot{} t + C[/mm]
das ist ein toller "Trick" – danke!
Damit konnte ich jetzt p(t) bestimmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:21 Mi 19.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > [mm]log(p(t)-b) + C_1 = \mu \cdot{} t + C_2[/mm]
> >
> > Setze [mm]C=C_2-C_1[/mm]
> >
> > Dann
> >
> > [mm]log(p(t)-b) = \mu \cdot{} t + C[/mm]
>
> das ist ein toller "Trick"
Das ist kein Trick ! Sondern "Folklore"
FRED
> – danke!
> Damit konnte ich jetzt p(t) bestimmen.
|
|
|
|
