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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Fr 21.04.2006 | | Autor: | bubble |
| Aufgabe | Y1 [mm] \sim [/mm] Po( [mm] \lambda1)
[/mm]
Y2 [mm] \sim [/mm] Po( [mm] \lambda2)
[/mm]
Zeigen Sie, dass die bedingte Verteilung von Y1, gegeben, dass Y1 + Y2=s, eine Binominalverteilung ist mit Parametern s und p:= [mm] \lambda1/(\lambda1+\lambda2). [/mm] Das heisst:
P(Y1=k | Y1 + Y2=s)= [mm] \vektor{s \\ k} p^k(1-p)^{s-k} [/mm] für k= 0,...,s. |
Hallo zusammen,
ich muss diese Aufgabe bis am Montag abgeben und weiss überhaupt nicht, was ich machen muss. Hat jemand eine Ahnung, was ich hier machen muss?
Ich habe diese Frage in keinem anderen forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi bubble,
hier mal ein paar Hinweise, dann schaffst du es bestimmt selbst:
Ich nehme an du weisst wie die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung errechnet werden:
Falls [mm] X\sim [/mm] Po [mm] (\lambda), [/mm] dann
[mm] P(X=k)=\bruch{(\lambda)^k}{k!}*e^{-\lambda}
[/mm]
Für die Summe zweier unabhängiger Po-Vert. ZV:
[mm] Y_1+Y_2\sim [/mm] Po [mm] (\lambda_1+\lambda_2)
[/mm]
Ich nenne mal Ereignis
A: [mm] Y_1=k
[/mm]
B: [mm] Y_1+Y_2=s
[/mm]
Es gilt:
[mm] P(Y_1=k|Y_1+Y_2=s)=P(A|B)=\bruch{P(A\cap B)}{P(B)}
[/mm]
Ausserdem:
[mm] P(B|A)=\bruch{P(A\cap B)}{P(A)}
[/mm]
also
[mm] P(Y_1=k|Y_1+Y_2=s)=\bruch{P(A)}{P(B)}*P(B|A)
[/mm]
und [mm] P(B|A)=P(Y_2=s-k)
[/mm]
Jetzt musst du nur noch alle Wahrscheinlichkeiten einsetzen und rumrechnen, bis es da steht. Ich habs auf Papier gemacht, es geht.
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Fr 21.04.2006 | | Autor: | bubble |
Danke, ich habe noch eine Frage: Wie rechne ich P(Y2=s-k) aus? Ich kann ja nicht einfach die Wahrscheinlichkeit von s - die Wahrscheinlichkeit von k ausrechen, oder doch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi bubble,
nein das geht nicht, ist aber viel einfacher:
[mm] P(Y_2=s-k)=\bruch{\lambda_2^{(s-k)}}{(s-k)!}*e^{-\lambda_2}
[/mm]
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Fr 21.04.2006 | | Autor: | bubble |
Danke, dann werde ich es mal weiterversuchen.
Schönes Wochenende
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mo 24.04.2006 | | Autor: | bubble |
Hallo zusammen,
hat jemand eine Ahnung, wie man die Konfidenzschranken für [mm] \lambda_{1}/\lambda_{2} [/mm] berechnen könnte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Di 25.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Bubble,
also spontan fälltmir nix ein, habt ihr denn keine weiteren Hinweise gegeben? Weisst du, wie diese Grösse verteilt ist? Habt ihr einen Schätzer dafür angegen?
l G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Di 25.04.2006 | | Autor: | bubble |
Nein, es sind keine Schätzer gegeben und auch keine anderen Hinweise. Ich weiss, dass man die Schranken einer Binominalverteilung mit der Wilson-Methode berechnen kann. Hilft mir aber nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Di 25.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi bubble,
also folgende Idee:
du hast ja im vorhergehenden Aufgabenteil rausgefunden, dass
[mm] p:=\bruch{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}=\bruch{1}{1+\bruch{\lambda_2}{\lambda_1}} [/mm] dem p in einer Binomialverteilung entspricht, nämlich bei [mm] P(Y_1=k|Y_1+Y_2=s). [/mm] Ermittle also einen Konfidenzbereich für dieses p und löse dann nach dem Gewünschten auf.
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Di 25.04.2006 | | Autor: | bubble |
Ich danke dir. Ich habe es versucht, weiss jedoch nicht, ob es richtig ist. Mal schauen, wenn die Korrektur zurückkommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Y1 [mm]\sim[/mm] Po( [mm]\lambda1)[/mm]
> Y2 [mm]\sim[/mm] Po( [mm]\lambda2)[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass die bedingte Verteilung von Y1, gegeben,
> dass Y1 + Y2=s, eine Binominalverteilung ist mit Parametern
> s und p:= [mm]\lambda1/(\lambda1+\lambda2).[/mm] Das heisst:
VORSICHT: Du hast vergessen dazuzuschreiben, dass [mm] $Y_1$ [/mm] und [mm] $Y_2$ [/mm] stochastisch unabhaengig sein sollen! Ansonsten klappt das ganze nicht! (Insbesondere nicht das was Walde ueber die Summe zweier Poisson-ZVen geschrieben hat, dazu braucht man die Unabhaengigkeit...)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Mo 24.04.2006 | | Autor: | bubble |
Ja, du hast Recht. In der Aufgabe steht auch geschrieben, dass Y1 und Y2 unabhaengig sind. Wir hatten bisher in der Vorlesung nur die Konfidenzschranken von Binominalverteilungen ausgerechnet. Nun weiss ich nicht, ob dies auch fuer diese Aufgabe geht.
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