Vergleichskriterium < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Hi,
Könmnte ihr mal drüberschauen ob ich das richtig verstanden habe.
Aufgabe lautet:
Man zeige anhand des Vergleichskriterium, dass folgende Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k}{k^3 - 1} [/mm] |
Also das Vergleichskriterium sagt aus, dass wenn ich eine unendliche Reihe
[mm] \sum_{n=0}^\infty a_n [/mm]
gegeben habe und gibt es nun eine zweite unendliche Reihe mit [mm] \sum_{n=0}^\infty b_n [/mm] (konvergent)
und gilt für alle [mm] $|a_n| \le b_n$ [/mm] so ist erstere auch Konvergent
So nun zu meiner Rechnung:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k}{k^3 - 1}
[/mm]
Und ich weiß, dass die Reihe [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k^2} [/mm] konvergent ist.
So müsste doch gelten
[mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{k}{k^3 - 1} \le \bruch{k}{k^3 } [/mm] = [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] = [mm] b_k [/mm]
Daher folgt also [mm] a_k \le b_k
[/mm]
Also ist
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k}{k^3 - 1}
[/mm]
konvergent
Habe ich das richtig verstanden?
mfg
Danke euch
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> Könmnte ihr mal drüberschauen ob ich das richtig
> verstanden habe.
>
> Aufgabe lautet:
>
> Man zeige anhand des Vergleichskriterium, dass folgende
> Reihe konvergiert:
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k}{k^3 - 1}[/mm]
> Also das
> Vergleichskriterium sagt aus, dass wenn ich eine unendliche
> Reihe
>
> [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n[/mm]
>
> gegeben habe und gibt es nun eine zweite unendliche Reihe
> mit [mm]\sum_{n=0}^\infty b_n[/mm] (konvergent)
>
> und gilt für alle [mm]|a_n| \le b_n[/mm] so ist erstere auch
> Konvergent
>
> So nun zu meiner Rechnung:
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k}{k^3 - 1}[/mm]
>
> Und ich weiß, dass die Reihe [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k^2}[/mm]
> konvergent ist.
>
> So müsste doch gelten
??????
>
> [mm]a_k[/mm] = [mm]\bruch{k}{k^3 - 1} \le \bruch{k}{k^3 }[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm] = [mm]b_k[/mm]
Das ist falsch ! Wenn [mm] \bruch{k}{k^3 - 1} \le \bruch{1}{k^2} [/mm] richtig wäre, so wäre [mm] k^3 \le k^3-1, [/mm] also 0 [mm] \le [/mm] -1.
[mm] \sum \bruch{1}{k^2} [/mm] ist also keine konvergente Majorante von [mm] \sum \bruch{k}{k^3 - 1}
[/mm]
Versuchs mal mit [mm] \sum \bruch{2}{k^2}
[/mm]
FRED
>
> Daher folgt also [mm]a_k \le b_k[/mm]
>
> Also ist
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k}{k^3 - 1}[/mm]
>
> konvergent
>
>
> Habe ich das richtig verstanden?
>
> mfg
> Danke euch
>
>
|
|
|
| |
|
> ??????
> richtig wäre, so wäre [mm]k^3 \le k^3-1,[/mm] also 0 [mm]\le[/mm] -1.
>
Aber ich darf doch laut meiner Angabe nur ab k=2 einsetzen und dann würde die Un gleichung doch passen:
Also ich meine:
[mm]k^3 \le k^3-1,[/mm] für $k [mm] \ge [/mm] 2$
Oder is dies egal?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > ??????
>
> > richtig wäre, so wäre [mm]k^3 \le k^3-1,[/mm] also 0 [mm]\le[/mm] -1.
> >
> Aber ich darf doch laut meiner Angabe nur ab k=2 einsetzen
> und dann würde die Un gleichung doch passen:
>
> Also ich meine:
>
> [mm]k^3 \le k^3-1,[/mm] für [mm]k \ge 2[/mm]
Das ist doch völliger Blödsinn ! Nimm mal k=3. Ist denn 27 [mm] \le [/mm] 26 ???
FRED
>
>
> Oder is dies egal?
>
>
>
|
|
|
| |
|
> > > ??????
> >
> > > richtig wäre, so wäre [mm]k^3 \le k^3-1,[/mm] also 0 [mm]\le[/mm] -1.
> > >
> > Aber ich darf doch laut meiner Angabe nur ab k=2 einsetzen
> > und dann würde die Un gleichung doch passen:
> >
> > Also ich meine:
> >
> > [mm]k^3 \le k^3-1,[/mm] für [mm]k \ge 2[/mm]
>
> Das ist doch völliger Blödsinn ! Nimm mal k=3. Ist denn
> 27 [mm]\le[/mm] 26 ???
>
hmmm ok, da gebe ich mich geschlagen:
Was ist mit
[mm] \bruch{k +1 -1}{k^3 -1} [/mm] = [mm] \bruch{k +1 -1}{(k -1) (k^2 +k+1)}
[/mm]
Nun kann ich kürzen und es bleibt:
[mm] \bruch{ 1 }{(k^2 +k+1)} [/mm]
Dann sollte doch gelten:
[mm] \bruch{ 1 }{(k^2 +k+1)} \le \bruch{ 1 }{(k^2 )} [/mm]
Wo liegt diesmal mein Denkfehler?
mfg
> FRED
> >
> >
> > Oder is dies egal?
> >
> >
> >
>
|
|
|
| |
|
Hallo Steffen2361,
>
> hmmm ok, da gebe ich mich geschlagen:
>
> Was ist mit
>
> [mm]\bruch{k +1 -1}{k^3 -1}[/mm] = [mm]\bruch{k +1 -1}{(k -1) (k^2 +k+1)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun kann ich kürzen und es bleibt:
> [mm]\bruch{ 1 }{(k^2 +k+1)}[/mm]
Huch? Wie soll das denn bitte zustande kommen?? Was ist mit den gültigen Gesetzen der Bruchrechnung aus der Mittelstufe?
"Aus Summen kürzen nur die D..." - den Spruch kennst du sicher ...
Von oben: [mm]\frac{k-1+1}{(k-1)(k^2+k+1)}=\frac{k-1}{(k-1)(k^2....)}+\frac{1}{(k-1)(k^2...)}=\frac{1}{k^2+k+1}+\frac{1}{k^3-1}[/mm]
>
> Dann sollte doch gelten:
>
> [mm]\bruch{ 1 }{(k^2 +k+1)} \le \bruch{ 1 }{(k^2 )}[/mm]
>
> Wo liegt diesmal mein Denkfehler?
Beim "Kürzen" oder was immer du da gemacht hast ...
>
> mfg
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
>
> Von oben:
> [mm]\frac{k-1+1}{(k-1)(k^2+k+1)}=\frac{k-1}{(k-1)(k^2....)}+\frac{1}{(k-1)(k^2...)}=\frac{1}{k^2+k+1}+\frac{1}{k^3-1}[/mm]
>
> >
Jap weiß nicht was da vorhin in mich gefahren ist :(
Also gut
Nun habe ich mir überlegt:
[mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{k}{k^3-1} [/mm] = [mm] \bruch{k}{k(k^2-1/k)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(k^2-1/k)}
[/mm]
Nun gehe ich her und sage:
[mm] \bruch{1}{(k^2-1/k} \le \bruch{1}{k^2}
[/mm]
Und jetzt nehem ich die 2 Reihe [mm] $b_k$ [/mm] von fred93 her:
[mm] b_k [/mm] = [mm] \bruch{2}{k^2}
[/mm]
es folgt:
[mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] < [mm] \bruch{2}{k^2} [/mm] = [mm] b_k
[/mm]
Was sagt ihr dazu?
Danke euch
|
|
|
| |
|
ach das stimmt doch auch nicht:
weil
$ [mm] \bruch{1}{(k^2-1/k} \le \bruch{1}{k^2} [/mm] $
nicht stimmt....
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Von oben:
> >
> [mm]\frac{k-1+1}{(k-1)(k^2+k+1)}=\frac{k-1}{(k-1)(k^2....)}+\frac{1}{(k-1)(k^2...)}=\frac{1}{k^2+k+1}+\frac{1}{k^3-1}[/mm]
> >
> > >
> Jap weiß nicht was da vorhin in mich gefahren ist :(
>
> Also gut
>
> Nun habe ich mir überlegt:
>
> [mm]a_k[/mm] = [mm]\bruch{k}{k^3-1}[/mm] = [mm]\bruch{k}{k(k^2-1/k)}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(k^2-1/k)}[/mm]
>
> Nun gehe ich her und sage:
>
> [mm]\bruch{1}{(k^2-1/k} \le \bruch{1}{k^2}[/mm]
Das stimmt nicht. Wie oft denn noch ?
>
> Und jetzt nehem ich die 2 Reihe [mm]b_k[/mm] von fred93 her:
>
> [mm]b_k[/mm] = [mm]\bruch{2}{k^2}[/mm]
>
> es folgt:
>
> [mm]a_k[/mm] = [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm] < [mm]\bruch{2}{k^2}[/mm] = [mm]b_k[/mm]
>
> Was sagt ihr dazu?
Es ist Unfug !
Zeige doch mit elementaren Äquivalenzumformungen, dass gilt:
[mm] \bruch{k}{k^3-1} \le \bruch{2}{k^2}
[/mm]
FRED
>
> Danke euch
>
>
|
|
|
| |
|
Ja ich bin sofort als ich es gepostet habe, selber drauf gekommen (siehe Mitteilung)
Nun gut
$ [mm] \bruch{k}{k^3-1} \le \bruch{2}{k^2} [/mm] $
Auf den gleich Nenner gebracht
$ [mm] \bruch{k^3}{k^2(k^3-1)} \le \bruch{2(k^3-1)}{k^2(k^3-1)} [/mm] $
Und dies gilt für k > 1
[mm] k^3 \le 2(k^3-1)
[/mm]
hmmm...
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja ich bin sofort als ich es gepostet habe, selber drauf
> gekommen (siehe Mitteilung)
>
> Nun gut
>
> [mm]\bruch{k}{k^3-1} \le \bruch{2}{k^2}[/mm]
>
> Auf den gleich Nenner gebracht
>
> [mm]\bruch{k^3}{k^2(k^3-1)} \le \bruch{2(k^3-1)}{k^2(k^3-1)}[/mm]
>
> Und dies gilt für k > 1
>
> [mm]k^3 \le 2(k^3-1)[/mm]
[mm]k^3 \le 2(k^3-1)[/mm] [mm] \gdw k^3 \le 2k^3-2 \gdw [/mm] 2 [mm] \le k^3
[/mm]
Hilfts ?
FRED
>
> hmmm...
>
> mfg
|
|
|
| |
|
> > Und dies gilt für k > 1
> >
> > [mm]k^3 \le 2(k^3-1)[/mm]
>
> [mm]k^3 \le 2(k^3-1)[/mm] [mm]\gdw k^3 \le 2k^3-2 \gdw[/mm] 2 [mm]\le k^3[/mm]
>
> Hilfts ?
Naja nicht wirklich.....Ziel ist es doch zu zeigen, dass meine Reihe [mm] \bruch{k}{k^3-1} [/mm] so umzuformen, dass sie kleiner als [mm] \bruch{2}{k^2} [/mm] ist....
hmm ich komm einfach nicht drauf:
$ [mm] a_k [/mm] $ = $ [mm] \bruch{k}{k^3-1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{k}{k(k^2-1/k)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{(k^2-1/k)} [/mm] $
und nun gilt:
$ [mm] \bruch{1}{(k^2-1/k)} \le \bruch{2}{k^2}$ [/mm]
mfg
>
> FRED
> >
> > hmmm...
> >
> > mfg
>
|
|
|
| |
|
>
> > > Und dies gilt für k > 1
> > >
> > > [mm]k^3 \le 2(k^3-1)[/mm]
> >
> > [mm]k^3 \le 2(k^3-1)[/mm] [mm]\gdw k^3 \le 2k^3-2 \gdw[/mm] 2 [mm]\le k^3[/mm]
>
> >
> > Hilfts ?
>
ohja dann würde auch gelten:
[/mm] 2 [mm]\le k^3[/mm] = [mm] \bruch{2}{k^2} [/mm] < k
Somit gilt für meine Folge:
[mm] \bruch{2}{k^2} \ge \bruch{k}{k^3-1}
[/mm]
oder?
>
>
> >
> > FRED
> > >
> > > hmmm...
> > >
> > > mfg
> >
>
|
|
|
| |
|
Au man,
dann machen wir auch mal den letzten Schritt für dich:
Es wurde ja bereits gezeigt, dass
[mm] $\bruch{k}{k^3 -1} \le \bruch{2}{k}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 2 [mm] \le k^3$
[/mm]
Für welche k gilt denn nun die untere Ungleichung?
Für welche k gilt dann die obere Ungleichung (wenn beide äquivalent sind!)?
Was kannst du mit der ersten Ungleichung also machen?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
> Au man,
>
> dann machen wir auch mal den letzten Schritt für dich:
>
> Es wurde ja bereits gezeigt, dass
>
> [mm]\bruch{k}{k^3 -1} \le \bruch{2}{k}[/mm]
>
> [mm]\gdw 2 \le k^3[/mm]
>
> Für welche k gilt denn nun die untere Ungleichung?
> Für welche k gilt dann die obere Ungleichung (wenn beide
> äquivalent sind!)?
> Was kannst du mit der ersten Ungleichung also machen?
>
Also die untere Gleichung gilt für alle k [mm] \ge \wurzel[3]{2}
[/mm]
und dies setze ich nun in die obere Gleichung ein für k = [mm] \wurzel[3]{2}
[/mm]
[mm] a_k =\bruch{\wurzel[3]{2}}{1} \le \bruch{2}{\wurzel[3]{2}}= b_k
[/mm]
und wenn ich mich nicht verrechnet habe sollte diese Ungleichung passen...hast du das so gemeint?
mfg
> MFG,
> Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Do 19.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Au man,
> >
> > dann machen wir auch mal den letzten Schritt für dich:
> >
> > Es wurde ja bereits gezeigt, dass
> >
> > [mm]\bruch{k}{k^3 -1} \le \bruch{2}{k}[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 2 \le k^3[/mm]
> >
> > Für welche k gilt denn nun die untere Ungleichung?
> > Für welche k gilt dann die obere Ungleichung (wenn
> beide
> > äquivalent sind!)?
> > Was kannst du mit der ersten Ungleichung also machen?
> >
>
> Also die untere Gleichung gilt für alle k [mm]\ge \wurzel[3]{2}[/mm]
Also für k [mm] \ge [/mm] 2, denn k [mm] \in \IN.
[/mm]
>
> und dies setze ich nun in die obere Gleichung ein für k =
> [mm]\wurzel[3]{2}[/mm]
>
> [mm]a_k =\bruch{\wurzel[3]{2}}{1} \le \bruch{2}{\wurzel[3]{2}}= b_k[/mm]
Hä ???
>
> und wenn ich mich nicht verrechnet habe sollte diese
> Ungleichung passen...
Nichts passt ! Was soll die Ungleichung da oben ?
> hast du das so gemeint?
nein, so hat er das nicht gemeint !
FRED
>
> mfg
>
>
>
>
> > MFG,
> > Gono.
>
|
|
|
| |
|
>
> Also für k [mm]\ge[/mm] 2, denn k [mm]\in \IN.[/mm]
>
Woher weiß ich das k [mm] \in \IN [/mm] ist, denn es steht nicht in meiner Angabe....
Aber Sie wollen doch darüber hinaus, dass k [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \bruch{k}{k^3 -1} \le \bruch{2}{k^2} [/mm] $
Also hätte ich k = 2 gesetzt und dies in den Rechten Teil eingesetzt.
Dies ergibt:
$ [mm] \bruch{k}{k^3 -1} \le \bruch{2}{k^2} [/mm] = $ [mm] \bruch{2}{7} \le \bruch{1}{2} [/mm] $ $
Aber das kann es doch auch nicht sein....
habe es dann mal so probiert:
[mm] \bruch{k}{k^3 -1} \le \bruch{2k}{k^3 -1} [/mm] = [mm] \bruch{2k}{k(k^2 -1/k)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{(k^2 -1/k)}
[/mm]
Nun weiß ich bei der letzten Umformung das [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k} [/mm] =0
Somit bleibt bei meiner letzten Umformung
[mm] \bruch{2}{(k^2 -1/k)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{(k^2 )} [/mm] = [mm] b_k
[/mm]
hmmm.....
Was sagts du dazu?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. über k wird och summiert, also ist [mm] k\in \IN!
[/mm]
2. oben wurde doch ganz allgemein für dich vorgerechnet dass für [mm] 2
$ [mm] \bruch{k}{k^3 -1} \le \bruch{2}{k^2} [/mm] $
dein Beweis gilt nicht, weil das ja nicht für k gegen unendlich, sondern ab einem festen n gelten muss.
du versuchst immer wieder zu vergrößern, indem du den Nenner verkleinerst, das geht aber immer schief.
also geh in den posts zurück und sieh dir den einfachen Beweis für $ [mm] \bruch{k}{k^3 -1} \le \bruch{2}{k^2} [/mm] $
für k>2 an.
du kannst auch den Nenner verkleinern indem du [mm] k^3-11
[/mm]
Aber denk dran: nenner vergrößern, wenn du einen Bruch verkleinern willst!
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Also hätte dies schon vollkommen gereicht?
$ [mm] \bruch{k}{k^3-1} \le \bruch{2}{k^2} [/mm] $
Auf den gleich Nenner gebracht
$ [mm] \bruch{k^3}{k^2(k^3-1)} \le \bruch{2(k^3-1)}{k^2(k^3-1)} [/mm] $
Und dies gilt für k > 1
$ [mm] k^3 \le 2(k^3-1) [/mm] $
$ [mm] k^3 \le 2(k^3-1) [/mm] $ $ [mm] \gdw k^3 \le 2k^3-2 \gdw [/mm] $ 2 $ [mm] \le k^3 [/mm] $
Also gilt für k > 1
[mm] a_k [/mm] = 2 [mm] \le k^3 [/mm] = [mm] b_k
[/mm]
??? :(
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also hätte dies schon vollkommen gereicht?
Hier fehlt: Behauptung:
> [mm]\bruch{k}{k^3-1} \le \bruch{2}{k^2}[/mm]
Beweis:
hier überall Äquivalenzpfeile!
> Auf den gleich Nenner gebracht
>
> [mm]\bruch{k^3}{k^2(k^3-1)} \le \bruch{2(k^3-1)}{k^2(k^3-1)}[/mm]
unnötig! Ungleichung mit [mm] k^2*(k^3-1)>0 [/mm] mult (k>!)
> Und dies gilt für k > 1
>
> [mm]k^3 \le 2(k^3-1)[/mm]
>
> [mm]k^3 \le 2(k^3-1)[/mm] [mm]\gdw k^3 \le 2k^3-2 \gdw[/mm] 2 [mm]\le k^3[/mm]
>
> Also gilt für k > 1
>
> [mm]a_k[/mm] = 2 [mm]\le k^3[/mm] = [mm]b_k[/mm]
Was soll der Quatsch? [mm] a_k=2 [/mm] ist völliger Blödsinn!
du hast doch jetzt
[mm] a_k<\le \bruch{2}{k^2} [/mm] gezeigt und weisst andererseits
[mm] 2*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{k^2} [/mm] konvergiert.
jetz fass mal deinen ganzen Beweis möglichst knapp aber exakt zusammen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ok ich stelle mich anscheinend echt zu Blöd an, desshalb probiere ich es einfach mal ganz anders:
Ich habe meine Reihe $ [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k}{k^3 - 1} [/mm] $ und versuche eine zweite konvergente Reihe zu finden, sodass gilt [mm] $|a_k| \le b_k
[/mm]
Also
[mm] \bruch{k}{k^3 - 1} \le \bruch{k}{k^3 - 1} \le \bruch{k}{k^3 - k} [/mm]
Nun kürze ich
[mm] \bruch{k}{k^3 - k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k^2 - 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(k+1)(k - 1)} \le \bruch{1}{(k)(k - 1)}
[/mm]
Und dies ist nicht anderes als folgende konvergierende Teleskopreihe:
[mm] \bruch{1}{(k)(k - 1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(k)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k-1}
[/mm]
Also
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(k)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
Und [mm] $\bruch{1}{n} [/mm] $ konvergiert da der Grenzwert 0 (für n [mm] \rightarrow \infty) [/mm] ist
Also konvergiert auch [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k}{k^3 - 1}
[/mm]
Hoffe dies klingt besser .....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum schon wieder anders?
> Ok ich stelle mich anscheinend echt zu Blöd an, desshalb
> probiere ich es einfach mal ganz anders:
>
> Ich habe meine Reihe $ [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k}{k^3 - 1}[/mm]
> $ und versuche eine zweite konvergente Reihe zu finden,
> sodass gilt [mm]$|a_k| \le b_k[/mm]
>
> Also
>
> [mm]\bruch{k}{k^3 - 1} \le \bruch{k}{k^3 - 1} \le \bruch{k}{k^3 - k}[/mm]
für k>1 fehlt
> Nun kürze ich
>
> [mm]\bruch{k}{k^3 - k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k^2 - 1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(k+1)(k - 1)} \le \bruch{1}{(k)(k - 1)}[/mm]
>
> Und dies ist nicht anderes als folgende konvergierende
> Teleskopreihe:
>
> [mm]\bruch{1}{(k)(k - 1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(k)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k-1}[/mm]
falsch! nachrechnen!
>
> Also
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(k)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
auch falsch für die richtige teleskopreihe und deine!
> Und [mm]\bruch{1}{n}[/mm] konvergiert da der Grenzwert 0 (für n
> [mm]\rightarrow \infty)[/mm] ist
>
> Also konvergiert auch [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k}{k^3 - 1}[/mm]
Du hast jetzt -oh Wunder" raus, dass eine summe von lauter positiven Zahlen 0 ergibt????
> Hoffe dies klingt besser .....
Nee
Kannst du nicht mal deine Ergebnisse etwa kritischer ansehen?
auch überlegen, ob sie plausibel sind? das mit der Teleskopreihe geht zwar, - woher hast du die-?
aber dann eben richtig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ich habe es über einen anderen Weg versucht da ich den Überblick bezüglich des Disskusionsstranges verloren habe. Aber hat ja trotzdem nicht funktioniert
Also gut nochmal von vorne
Ich habe meine unendliche Reihe $ [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{k}{k^3 - 1} [/mm] $ nun ist gesucht oob diese Konvergent ist. Ich kenne aber eine andere Reihe $ [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{2}{k^2} [/mm] $ die konvergent ist.
Also gilt für k>1:
[mm] \bruch{k}{k^3 - 1} \le \bruch{2}{k^2}
[/mm]
Ich versuche Sie auf den gleichen Nenner zu bringen.
$ [mm] \bruch{k^3}{k^2(k^3-1)} \le \bruch{2(k^3-1)}{k^2(k^3-1)} [/mm] $
Nun kann ich die Nenner streichen und ich betrachte die Zähler:
$ [mm] k^3 \le 2(k^3-1) \gdw k^3 \le 2k^3-2 \gdw [/mm] $ 2 $ [mm] \le k^3 [/mm] $
Nun weiß ich [mm] a_k \le \bruch{2}{k^2} [/mm] für k >1
Deshalb folgt aus der Konvergenz von $ [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{2}{k^2} [/mm] $ und [mm] a_k \le \bruch{2}{k^2}, [/mm] dass meine Reihe konvergent ist.
Danke für deine Bemühungen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt richtig.
allerding an der Stelle:
Also gilt für k>1:
$ [mm] \bruch{k}{k^3 - 1} \le \bruch{2}{k^2} [/mm] $
kann man nicht so argumentieren: du musst schreiben: als muss ich noch zeigen
zukünftig schreib dir doch aus unseren Hilfen das raus, was du verstanden hast. sonst gibt das alles nur durcheinander.
Grus leduart
|
|
|
|
