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| Aufgabe | a.) Geben Sie die Matrixdarstellung der Punktspiegelung [mm] \delta [/mm] am Punkt A(3|4) an.
b.) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Verkettung von [mm] \delta [/mm] und der Punktspiegelung [mm] \gamma [/mm] am Punkt B(0|0) eine Verschiebung ist. |
Hay Leute,
Mal eine Frage zu der Aufgabe und zwar hatte ich anfangs erstmal keine Ahnung wie ich bei a.) vorgehen sollte weil ich nur wusste, wie man am Ursprung spiegelt. Dann hatte ich aber eine Idee und habe einfach den Punkt A nach (0|0) verschoben und dann wie folgt gerechnet:
[mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \* \vektor{x-3\\ y-4} [/mm] + [mm] \vektor{3 \\ 4}
[/mm]
Der Vektor mit x und y ist ja ein beliebiger Punkt den man jetzt spiegeln will und 3 und 4 werden abgezogen, weil man ja A auch so verschoben hat damit der beim Nullpunkt ist. Dann kann man ja einfach die schöne Spiegelmatrix nehmen und alles ist gut ;) wenn man am Ende den Vektor [mm] \vektor{3 \\ 4} [/mm] wieder drauf rechnet damit die Verschiebung rückgängig gemacht wird.
Aber wie komme ich von da jetzt in die normale Matrixschreibweise, wo man nur eine Matrix mal x nimmt und dann am Ende noch irgendwas addiert?? Kann man den Vektor [mm] \vektor{x-3\\ y-4} [/mm] auseinandernehmen und nach dem Distributivgesetz (das war das doch in dem Fall oder ;)?) einzeln die Variablen und die Zahlen 3 und 4 mit der Matrix multiplizieren? Geht das?
Dann würde ich am Ende nämlich so weiterrechnen und auch ein Ergebnis in der richtigen Schreibweise raushaben:
[mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \* \vektor{x\\ y} [/mm] + [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \* \vektor{-3 \\ -4} [/mm] + [mm] \vektor{3 \\ 4} [/mm] =
[mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \* \vektor{x\\ y} [/mm] + [mm] \vektor{3 \\ 4}+ \vektor{3 \\ 4} [/mm] =
[mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \* \vektor{x\\ y} [/mm] + [mm] \vektor{6 \\ 8}
[/mm]
Ist das richtig? Muss man da so vorgehen oder wie geht das?
So und dann zu Aufgabe b.)
Jetzt muss man da ja beide Abbildungsgleichungen verketten. Es wird allerdings gar nicht gesagt was als erstes gemacht wird...
Ich gehe mal davon aus, dass man erst die Punktspiegelung [mm] \delta [/mm] und dann die Punktspiegelung [mm] \gamma [/mm] vornimmt, also:
[mm] \delta \circ \gamma [/mm] was ja bedeutet das man letztendlich genau andersrum multiplizieren muss...
So erstmal jetzt die Abbildungsgleichung für [mm] \gamma:
[/mm]
[mm] \gamma: \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \* \vektor{x\\ y}
[/mm]
Wie verkettet man das jetzt? Ich weiß, wie man zwei Matrizen multipliziert das ist nicht das Problem aber was fange ich mit dem Rest bei [mm] \delta [/mm] an? Also dem Teil welchen man addiert??? Ich weiß nur, dass man irgendwas von [mm] \gamma [/mm] mit [mm] \delta [/mm] multiplizieren muss und was genau ist das?
Ich habe mal in den Lösungen nachgeguckt aber das verstehe ich irgendwie nicht...
Da steht als Lösung:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \* \vektor{x\\ y} [/mm] - [mm] \vektor{6\\ 8}
[/mm]
Auf die Matrix kommt man wenn man einfach beide Matrizen multipliziert und dann kommt da das raus wobei die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] bedeutet das ja im Prinzip nichts passiert sondern nur der Rest addiert wird und das ganze dann eine Verschiebung ist.
Aber warum wird der Vektor da subtrahiert??? Könnt ihr mir mal bitte den genauen Rechenweg sagen sonst komme ich da nie drauf, unser Buch ist nämlich absolut schei** wenns ums erklären geht!
Wäre super wenn ihr mir weiterhelfen könntet!! Danke schonmal vorab!
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Hallo marvin8xxl,
> a.) Geben Sie die Matrixdarstellung der Punktspiegelung
> [mm]\delta[/mm] am Punkt A(3|4) an.
>
> b.) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Verkettung von [mm]\delta[/mm]
> und der Punktspiegelung [mm]\gamma[/mm] am Punkt B(0|0) eine
> Verschiebung ist.
> Hay Leute,
> Mal eine Frage zu der Aufgabe und zwar hatte ich anfangs
> erstmal keine Ahnung wie ich bei a.) vorgehen sollte weil
> ich nur wusste, wie man am Ursprung spiegelt. Dann hatte
> ich aber eine Idee und habe einfach den Punkt A nach (0|0)
> verschoben und dann wie folgt gerechnet:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \* \vektor{x-3\\ y-4}[/mm] + [mm]\vektor{3 \\ 4}[/mm]
>
> Der Vektor mit x und y ist ja ein beliebiger Punkt den man
> jetzt spiegeln will und 3 und 4 werden abgezogen, weil man
> ja A auch so verschoben hat damit der beim Nullpunkt ist.
> Dann kann man ja einfach die schöne Spiegelmatrix nehmen
> und alles ist gut ;) wenn man am Ende den Vektor [mm]\vektor{3 \\ 4}[/mm]
> wieder drauf rechnet damit die Verschiebung rückgängig
> gemacht wird.
> Aber wie komme ich von da jetzt in die normale
> Matrixschreibweise, wo man nur eine Matrix mal x nimmt und
> dann am Ende noch irgendwas addiert?? Kann man den Vektor
> [mm]\vektor{x-3\\ y-4}[/mm] auseinandernehmen und nach dem
> Distributivgesetz (das war das doch in dem Fall oder ;)?)
> einzeln die Variablen und die Zahlen 3 und 4 mit der Matrix
> multiplizieren? Geht das?
> Dann würde ich am Ende nämlich so weiterrechnen und auch
> ein Ergebnis in der richtigen Schreibweise raushaben:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \* \vektor{x\\ y}[/mm] + [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \* \vektor{-3 \\ -4}[/mm]
> + [mm]\vektor{3 \\ 4}[/mm] =
> [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \* \vektor{x\\ y}[/mm] + [mm]\vektor{3 \\ 4}+ \vektor{3 \\ 4}[/mm]
> =
> [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \* \vektor{x\\ y}[/mm] + [mm]\vektor{6 \\ 8}[/mm]
>
> Ist das richtig? Muss man da so vorgehen oder wie geht
> das?
Ja. das ist so richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> So und dann zu Aufgabe b.)
>
> Jetzt muss man da ja beide Abbildungsgleichungen verketten.
> Es wird allerdings gar nicht gesagt was als erstes gemacht
> wird...
> Ich gehe mal davon aus, dass man erst die Punktspiegelung
> [mm]\delta[/mm] und dann die Punktspiegelung [mm]\gamma[/mm] vornimmt, also:
> [mm]\delta \circ \gamma[/mm] was ja bedeutet das man
> letztendlich genau andersrum multiplizieren muss...
> So erstmal jetzt die Abbildungsgleichung für [mm]\gamma:[/mm]
>
> [mm]\gamma: \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \* \vektor{x\\ y}[/mm]
>
> Wie verkettet man das jetzt? Ich weiß, wie man zwei
> Matrizen multipliziert das ist nicht das Problem aber was
> fange ich mit dem Rest bei [mm]\delta[/mm] an? Also dem Teil welchen
> man addiert??? Ich weiß nur, dass man irgendwas von [mm]\gamma[/mm]
> mit [mm]\delta[/mm] multiplizieren muss und was genau ist das?
>
Setze jetzt für
[mm]\pmat{x \\ y} =\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \* \vektor{x'\\ y'}[/mm] + [mm]\vektor{6 \\ 8}[/mm]
ein.
> Ich habe mal in den Lösungen nachgeguckt aber das verstehe
> ich irgendwie nicht...
> Da steht als Lösung:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \* \vektor{x\\ y}[/mm] - [mm]\vektor{6\\ 8}[/mm]
>
> Auf die Matrix kommt man wenn man einfach beide Matrizen
> multipliziert und dann kommt da das raus wobei die Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] bedeutet das ja im Prinzip nichts
> passiert sondern nur der Rest addiert wird und das ganze
> dann eine Verschiebung ist.
> Aber warum wird der Vektor da subtrahiert??? Könnt ihr
> mir mal bitte den genauen Rechenweg sagen sonst komme ich
> da nie drauf, unser Buch ist nämlich absolut schei** wenns
> ums erklären geht!
>
> Wäre super wenn ihr mir weiterhelfen könntet!! Danke
> schonmal vorab!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Fr 29.04.2011 | | Autor: | marvin8xxl |
Oha wie einfach :D
Danke für die schnelle Antwort ;)
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