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Verkettung von Funktionen: Aufgabe, Erklärung, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Sa 02.10.2010
Autor: Phoenix22

Aufgabe
Bilden sie f(x)=u(v(x)) und g(x)=v(u(x)) mit den Termen u(x) und v(x).

a) u(x)=2+x und v(x)=x²
b) u(x)=1-x² und v(x)=(1-x)²
c) u(x)=x²+1 und v(x)= 1/(x-1)

Hallo,

kann mir jemand sagen ob das richtig ist?

a) f(x)=4+x² und g(x)=4+x²

b) f(x)=(1-(1-x)²)² und g(x)= [mm] 1-(1-x)^4 [/mm]

c) f(x)= [1/(x²+1)]²+1 und g(x)= [1/(x²+1-1)]


also ich weiß ungefähr wie man das macht aber ich hab noch nicht verstanden warum das so ist und wie man genau darauf kommt. ich hab mir schon einige sachen dazu im internet und hier im forum durchgelesen aber ich verstehs einfach nicht.
kann mir das jemand vielleicht ganz einfach erklären?
weil später wird es wichtig auch nachvollziehen zu können wie man auf das ergebnis kommt.



        
Bezug
Verkettung von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Sa 02.10.2010
Autor: M.Rex

Hallo


> Bilden sie f(x)=u(v(x)) und g(x)=v(u(x)) mit den Termen
> u(x) und v(x).
>  
> a) u(x)=2+x und v(x)=x²
>  b) u(x)=1-x² und v(x)=(1-x)²
>  c) u(x)=x²+1 und v(x)= 1/(x-1)
>  Hallo,
>  
> kann mir jemand sagen ob das richtig ist?
>  
> a) f(x)=4+x²

Nicht ganz: [mm] f(x)=\blue{u(}\green{v(x)}\blue{)}=\blue{2+}\green{x^{2}}=\ldots [/mm]

> und g(x)=4+x²

Das stimmt so nicht, denn [mm] (2+x)^{2}\ne4+x^{2} [/mm] (Es fehlt ein Teil der MBbinomische Formel)

>  
> b) f(x)=(1-(1-x)²)² und g(x)= [mm]1-(1-x)^4[/mm]

[daumenhoch]

>  
> c) f(x)= [1/(x²+1)]²+1 und g(x)= [1/(x²+1-1)]

Bei g(x) passt der Nenner nicht, du hast auch hier den Mittelteil der binomischen Formel vergessen.

>  
>
> also ich weiß ungefähr wie man das macht aber ich hab
> noch nicht verstanden warum das so ist und wie man genau
> darauf kommt. ich hab mir schon einige sachen dazu im
> internet und hier im forum durchgelesen aber ich verstehs
> einfach nicht.

Verlink doch mal nen paar Seiten.

> kann mir das jemand vielleicht ganz einfach erklären?
>  weil später wird es wichtig auch nachvollziehen zu
> können wie man auf das ergebnis kommt.

g(h(x)) heisst, dass man auf eine Variable erst die Funktion h "loslässt", und mit diesem Ergebnis dass die Funktion g "füttert".
Das heisst, ersetze alle x aus g(x) durch den Term von h(x), sinnvollerweise erstmal in Klammern, um deutlich zu machen, was genau passiert. Diese Klammern kann man dann im nächsten Schritt dann auflösen.

>  
>
>  

Marius

Bezug
                
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Verkettung von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Sa 02.10.2010
Autor: Phoenix22

So einfach gehts..jetzt hab ichs auch verstanden --> ich liebe dieses forum :D

nur zu c)

wo siehst du da eine binomische formel?
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Bezug
Verkettung von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Sa 02.10.2010
Autor: MathePower

Hallo Phoenix22,


> So einfach gehts..jetzt hab ichs auch verstanden --> ich
> liebe dieses forum :D
>  
> nur zu c)
>  
> wo siehst du da eine binomische formel?


Mein Vorredner hat statt g, f gemeint.


Gruss
MathePower
Bezug
                                
Bezug
Verkettung von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Sa 02.10.2010
Autor: Phoenix22

aber f kann man doch so stehen lassen oder?

wenn man einen bruch hoch 2 hat

steht dann aufgelöst das da:

[mm] (\bruch{1}{x-1})²= \bruch{1²}{(x-1)²}= \bruch{1}{x²-2x+1} [/mm]

?
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Bezug
Verkettung von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Sa 02.10.2010
Autor: MathePower

Hallo Phoenix22,

> aber f kann man doch so stehen lassen oder?
>  
> wenn man einen bruch hoch 2 hat
>  
> steht dann aufgelöst das da:
>  
> [mm](\bruch{1}{x-1})²= \bruch{1²}{(x-1)²}= \bruch{1}{x²-2x+1}[/mm]


Schreibe den Exponenten 2 nicht mit der dritten Belegung der Taste 2,
sondern in geschweiften Klammern:

\bruch{1}{x-1})^{2}

Das ergibt: [mm](\bruch{1}{x-1})^{2}[/mm]

[mm](\bruch{1}{x-1})^{2}= \bruch{1^{2}}{(x-1)^{2}}= \bruch{1}{x^{2}-2x+1}[/mm]

Und das stimmt. [ok]


>  
> ?



Gruss
MathePower
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