Verknüpfung von Drehungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Do 12.08.2010 | | Autor: | Isis |
| Aufgabe | | Untersuche $D(D, [mm] \delta) \cdot [/mm] D(C, [mm] \gamma) \cdot [/mm] D(B, [mm] \beta) \cdot [/mm] D(A, [mm] \alpha)$, [/mm] wenn ABCD ein Rhombus mit den Innenwinkel [mm] $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ [/mm] und [mm] $\delta$ [/mm] ist. |
Meine Überlegung:
Zwei Drehungen [mm] $D(Z_1, \alpha)$ $D(Z_2, \beta)$ [/mm] miteinander verknüpft ergeben wieder eine Drehung mit den Drehwinkel [mm] $\alpha [/mm] + [mm] \beta$. [/mm] (Das neue Drehzentrum ist konstruierbar. Dann sind drei Drehungen miteinander verknüpft ebenfalls wieder eine Drehund und der neue Drehwinkel ist die Summe der drei Drehwinkel.
Analog ist auch die Verknüpfung von vier Drehungen wiederum eine Drehung und der neue Drehwinkel ist die Summe der vier einzelnen Drehwinkel. Da sich in einem Rhombus die Innenwinkel auf 360° addieren und eine Drehung um 360° immer die Identität ist (unabhängig vom Drehzentrum), sollte folgen: $D(D, [mm] \delta)\cdot [/mm] D(C, [mm] \gamma) \cdot [/mm] D(B, [mm] \beta) \cdot [/mm] D(A, [mm] \alpha) [/mm] = ID$
Wenn ich mir aber ein Schaubild konstruiere (ein beliebiges Dreieck, um die vier Ecken, um die entsprechenden Winkel drehen, GeoGebra) stelle ich fest, dass $D(D, [mm] \delta)\cdot [/mm] D(C, [mm] \gamma) \cdo [/mm] tD(B, [mm] \beta) \cdot [/mm] D(A, [mm] \alpha)$ [/mm] in Tat und Wahrheit einer Translation entspricht, was ich mir nicht erklären kann.
Wo ist mein Denkfehler???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Isis und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Untersuche [mm]D(D, \delta) \cdot D(C, \gamma) \cdot D(B, \beta) \cdot D(A, \alpha)[/mm],
> wenn ABCD ein Rhombus mit den Innenwinkel [mm]\alpha[/mm], [mm]\beta[/mm],
> [mm]\gamma[/mm] und [mm]\delta[/mm] ist.
> Meine Überlegung:
>
> Zwei Drehungen [mm]D(Z_1, \alpha)[/mm] [mm]D(Z_2, \beta)[/mm] miteinander
> verknüpft ergeben wieder eine Drehung mit den Drehwinkel
> [mm]\alpha + \beta[/mm]. (Das neue Drehzentrum ist konstruierbar.
> Dann sind drei Drehungen miteinander verknüpft ebenfalls
> wieder eine Drehund und der neue Drehwinkel ist die Summe
> der drei Drehwinkel.
>
> Analog ist auch die Verknüpfung von vier Drehungen
> wiederum eine Drehung und der neue Drehwinkel ist die Summe
> der vier einzelnen Drehwinkel. Da sich in einem Rhombus die
> Innenwinkel auf 360° addieren und eine Drehung um 360°
> immer die Identität ist (unabhängig vom Drehzentrum),
> sollte folgen: [mm]D(D, \delta)\cdot D(C, \gamma) \cdot D(B, \beta) \cdot D(A, \alpha) = ID[/mm]
>
> Wenn ich mir aber ein Schaubild konstruiere (ein beliebiges
> Dreieck, um die vier Ecken, um die entsprechenden Winkel
> drehen, GeoGebra) stelle ich fest, dass [mm]D(D, \delta)\cdot D(C, \gamma) \cdo tD(B, \beta) \cdot D(A, \alpha)[/mm]
> in Tat und Wahrheit einer Translation entspricht, was ich
> mir nicht erklären kann.
>
> Wo ist mein Denkfehler???
Du willst doch die Drehung eines Rhombus untersuchen, warum testest du dann ein Dreieck, das keinen Punkt D besitzt?!
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Fr 13.08.2010 | | Autor: | Isis |
Nein ich untersuche die beschriebene Verknüpfung von vier Drehungen im allgemeinen und interessiere mich für die Frage, welche Abbildung dabei heraus kommt. Dabei liegen die vier Drehzentren auf den Eckpunkten eines Rhombus.
Um die dabei entstehende Abbildung zu untersuchen habe ich dann die einfachste geometrische Figur (d.h. Dreieck) gewählt und ihr Bild bestimmt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Do 12.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mit deiner Drehung um insgesamt 360° hast du recht, aber die erfolgt ja nicht um Ein Drehzentrum. du kannst ja die 2 ersten und 2 letzten zu jeweils einer Drehung um 180° zusammenfassen, Aber um 2 verschiedene Zentren, daher die Translation.
(Das "Dreieck" war wohl nur ein Schreibfehler?)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Fr 13.08.2010 | | Autor: | Isis |
Einverstanden:
Wenn ich zwei Punktspiegelungen (d.h. Drehungen um 180°) zusammenfasse bekomme ich eine Traslation (Vektor ist der zweifache Abstand der Spiegelzentren). Entsprechend kommt bei der beschriebenen Verknüpfung von vier Drehungen die Verknüpfung von zwei Punktspiegelungen und daher eine Translation heraus.
ABER:
Wenn ich mir einen anderen Lösungsweg überlege:
Zwei Drehungen miteinander verknüpft ergeben immer eine neue Drehung, wobei der neue Drehwinkel die Summe der beiden einzelnen Drehwinkel ist. Fasse ich also zwei Drehungen um 180° zusammen entsteht eine Drehung um 360°, was der Identität entspricht egal wo das Drehzentrum liegt.
Offensichtlich muss meine Überlegung falsch sein. Aber warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Fr 13.08.2010 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Isis,
> Einverstanden:
> Wenn ich zwei Punktspiegelungen (d.h. Drehungen um 180°)
> zusammenfasse bekomme ich eine Traslation (Vektor ist der
> zweifache Abstand der Spiegelzentren). Entsprechend kommt
> bei der beschriebenen Verknüpfung von vier Drehungen die
> Verknüpfung von zwei Punktspiegelungen und daher eine
> Translation heraus.
>
> ABER:
> Wenn ich mir einen anderen Lösungsweg überlege:
> Zwei Drehungen miteinander verknüpft ergeben immer eine
> neue Drehung, wobei der neue Drehwinkel die Summe der
> beiden einzelnen Drehwinkel ist. Fasse ich also zwei
> Drehungen um 180° zusammen entsteht eine Drehung um 360°,
> was der Identität entspricht egal wo das Drehzentrum
> liegt.
Das stimmt nicht. Du erhälst bei verschiedenen Zentren nur dann eine Drehung, wenn die Summe der Drehwinkel < 360° ist.
Gruß
Sigrid
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> Offensichtlich muss meine Überlegung falsch sein. Aber
> warum?
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