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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Do 24.01.2008 | | Autor: | newid |
| Aufgabe | Es sei G := {a0; a1; a2; a3; a4; a5} eine Gruppe mit 6 Elementen. In der folgenden Verknüpfungstafel sind einige Produkte bereits angegeben:
* | a0 a1 a2 a3 a4 a5
----------------------------
a0| a0 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
a1| ¤ a0 a4 ¤ ¤ ¤
a2| ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
a3| ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
a4| ¤ a3 ¤ ¤ ¤ a0
a5| ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Vervollständigen Sie diese Verknüpfungstafel, d.h. ersetzen Sie die mit ¤ gekennzeichneten Produkte durch Elemente, so dass eine vollstÄandige Gruppentafel entsteht. Begründen Sie
die Herleitung. |
Ich bleibe bei der Auflösung hängen.
a0 ist das neutrale Element,
a1 isti zu sich selbst inverses Element
a4 ist invers zu a5
ich bekomme nun so etwas:
* |a0 a1 a2 a3 a4 a5
----------------------------
a0|a0 a1 a2 a3 a4 a5
a1|a1 a4 ¤ ¤ ¤ ¤
a2|a2 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
a4|a4 a3 ¤ ¤ ¤ a0
a5|a5 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
was symetrisch aussieht. Also nehme ich mal an die gruppe ist abelsch, bzw. das Komutativgesetz gilt. Das führt mich hier hin:
* |a0 a1 a2 a3 a4 a5
----------------------------
a0|a0 a1 a2 a3 a4 a5
a1|a1 a0 a4 ¤ a3 ¤
a2|a2 a4 ¤ ¤ ¤ ¤
a3|a3 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
a4|a4 a3 ¤ ¤ ¤ a0
a5|a5 ¤ ¤ ¤ a0 ¤
nun kann a1*a5 nicht a5 sein, denn dann wäre a1 neutral, und ein neutrales element habe ich ja schon mit a0. Es folgt also
* |a0 a1 a2 a3 a4 a5
----------------------------
a0|a0 a1 a2 a3 a4 a5
a1|a1 a0 a4 a5 a3 a2
a2|a2 a4 ¤ ¤ ¤ ¤
a3|a3 a5 ¤ ¤ ¤ ¤
a4|a4 a3 ¤ ¤ ¤ a0
a5|a5 a2 ¤ ¤ a0 ¤
Und hier verlassen sie mich. Für den Rest der Verknüpfungstabelle gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten und ich weiß nicht ob das so richtig ist. Ich werde das Gefühl nicht los, dass ich da grundsätzlich was falsch mache und würde mich freuen, wenn da nochmal jemand von euch drüber sehen mag..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Fr 25.01.2008 | | Autor: | unknown |
Willkommen im Forum,
also, Deine Einschaetzung, dass [mm] $a_0$ [/mm] das neutrale Element ist, ist schon mal richtig. Insgesamt wuerde ich sagen, die erste Tabelle stimmt so. Aber wenn ich mich nicht verrechnet habe ist die Gruppe nicht kommutativ. Versuch's mal so zu sehen
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] a_0 [/mm] * [mm] a_2 [/mm] = [mm] (a_1 a_1) [/mm] * [mm] a_2 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] * [mm] (a_1 a_2) [/mm] = [mm] a_1 [/mm] * [mm] a_4$,
[/mm]
aber [mm] $a_4 [/mm] * [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_3$ [/mm] nach Vorgabe!
Diese Rechnung gibt Dir auch eine Idee, wie man weiter vorgehen kann. Und nicht vergessen: Jedes Element kommt pro Spalte und Zeile nur einmal vor (wie beim Sudoku  ).
Hoffe, das hilft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Sa 26.01.2008 | | Autor: | newid |
Danke das hilft mir schon ein ganzes Stück weiter.
hab jetzt so was:
* |a0 a1 a2 a3 a4 a5
--------------------------
a0|a0 a1 a2 a3 a4 a5
a1|a1 a0 a4 a5 a2 a3
a2|a2 a5 a0
a3|a3 a0
a4|a4 a3 a0
a5|a5 a0
und gerade hänge ich wieder, ist jetzt aber wohl mehr eine Fleissaufgabe..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 So 27.01.2008 | | Autor: | unknown |
Moin,
das sieht doch schon mal ganz gut aus. So etwas in der Art habe ich auch. Um weiterzukommen kannst Du den gleichen "Trick" anwenden, den ich oben benutzt habe um [mm] $a_1 [/mm] * [mm] a_4$ [/mm] zu berechnen. Sagen wir mal, wir wollen z. B. [mm] $a_5 [/mm] * [mm] a_1$ [/mm] wissen. Zunächst kann das ja nur noch [mm] $a_2$ [/mm] oder [mm] $a_4$ [/mm] sein, weil alles andere in der Spalte (und in der Zeile) schon vorkommt. Aber das hilft uns noch nicht. Also gucken wir, ob wir [mm] $a_1$ [/mm] oder [mm] $a_5$ [/mm] auch anders darstellen können, und sehen, dass [mm] $a_5 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] * [mm] a_1$ [/mm] gilt. Damit können wir dann rechnen:
[mm] $a_5 [/mm] * [mm] a_1 [/mm] = [mm] (a_2 [/mm] * [mm] a_1) [/mm] * [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] * [mm] (a_1 [/mm] * [mm] a_1) [/mm] = [mm] a_2 [/mm] * [mm] a_0 [/mm] = [mm] a_2$.
[/mm]
(Und damit wissen wir auch [mm] $a_3 [/mm] * [mm] a_1$).
[/mm]
Und genauso geht es immer weiter...
Hoffe, Du kommst jetzt voran.
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