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| Aufgabe | Gib von den folgenden Behauptungen an, ob sie wahr oder nicht wahr sind. Begründe deine Antwort.
i) Jeder Vektorraum hat eine endliche Basis.
ii) Die Dimension von [mm] $M_{m \times n}(\IR)$ [/mm] ist $n+m$.
iii) Wenn $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum ist, dann enthält es genau einen linearen Unterraum mit Dimension 0 und genau einen linearen Unterraum mit Dimension $n$.
iv) Wenn $T, U : V [mm] \to [/mm] W$ lineare Abbildungen sind, die auf einer Basis von $V$ übereinstimmen, dann ist $T=U$.
v) Seien $V$ und $W$ Vektorräume, [mm] $v_1,v_2 \in [/mm] V$ und [mm] $w_1, w_2 \in [/mm] W$. Dan gibt es eine lineare Abbildung $T$, sodass [mm] $T(v_1) [/mm] = [mm] w_1$ [/mm] und [mm] $T(v_2) [/mm] = [mm] w_2$. [/mm] |
Hallo, eine sehr allgemeine Aufgabe. Ich werd mal für jeden Punkt schildern, was ich denke.
Teilaufgabe i)
Das Problem hier ist, dass wir nie mit unendlichdimensionalen Vektorräumen gearbeitet haben. Und "jeder" Vektorraum heißt ja, dass auch alle Vektorräume eine endliche Basis haben, die unendlichdimensional sind. Ich weiß also nicht recht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Wenn ich das, was ich über endlichdimensionale Vektorräume weiß, anwende - nämlich dass ein Vektorraum von Basis $n$ eine Basis mit $n$ Elementen hat (also eine endliche Anzahl) -, dann würde ich sagen, dass unendlichdimensionale Vektorräume auch Basen haben mit unendlich vielen Elementen. Nur ich weiß nicht, ob man das einfach so sagen kann.
Teilaufgabe ii)
Wenn wir beispielsweise eine Matrix aus [mm] $M_{3 \times 2}(\IR)$ [/mm] nehmen, dann sehen wir, dass eine Basis dieses Vektorraumes beispeilsweise besteht aus den Matrizen
$ [mm] \pmat{1&0\\0&0\\0&0}, \pmat{0&1\\0&0\\0&0}, \pmat{0&0\\1&0\\0&0}, \pmat{0&0\\0&1\\0&0}, \pmat{0&0\\0&0\\1&0}, \pmat{0&0\\0&0\\0&1} [/mm] $
[mm] $M_{3 \times 2}$ [/mm] muss also sechsdimensional sein ($ m * n $) und nicht fünfdimenional ($ m + n $). Diese Behauptung ist also widerlegt.
Teilaufgabe iii)
Hierbei bin ich mir auch nicht sicher.
Aber ein linearer Teilraum mit Dimension 0 enthält ja nur das Nullelement, oder? D.h. es gibt keinen anderen linearen Teilraum mit mehr als dem Nullelement, der die Dimension 0 hat. Wenn das stimmt, dann ist dieser Teil der Behauptung wahr.
Wenn weiterhin ein linearer Teilraum und dessen Vektorraum dieselbe Dimension haben, dann ist der lineare Teilraum der Vektorraum selber. Nur gilt das als Argument dafür, dass ein $n$-dimensionaler Vektorraum nur einen linearen Teilraum mit Dimension $n$ hat? Wenn nein, dann würde ich mich über eine Erklärung freuen :)
Teilaufgaben iv) und v)
Ich finde hier keinen richtigen Ansatz. Danke für jeden Tipp :)
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Do 16.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gib von den folgenden Behauptungen an, ob sie wahr oder
> nicht wahr sind. Begründe deine Antwort.
>
> i) Jeder Vektorraum hat eine endliche Basis.
> ii) Die Dimension von [mm]M_{m \times n}(\IR)[/mm] ist [mm]n+m[/mm].
> iii) Wenn [mm]V[/mm] ein [mm]n[/mm]-dimensionaler Vektorraum ist, dann
> enthält es genau einen linearen Unterraum mit Dimension 0
> und genau einen linearen Unterraum mit Dimension [mm]n[/mm].
> iv) Wenn [mm]T, U : V \to W[/mm] lineare Abbildungen sind, die auf
> einer Basis von [mm]V[/mm] übereinstimmen, dann ist [mm]T=U[/mm].
> v) Seien [mm]V[/mm] und [mm]W[/mm] Vektorräume, [mm]v_1,v_2 \in V[/mm] und [mm]w_1, w_2 \in W[/mm].
> Dan gibt es eine lineare Abbildung [mm]T[/mm], sodass [mm]T(v_1) = w_1[/mm]
> und [mm]T(v_2) = w_2[/mm].
> Hallo, eine sehr allgemeine Aufgabe. Ich
> werd mal für jeden Punkt schildern, was ich denke.
>
> Teilaufgabe i)
> Das Problem hier ist, dass wir nie mit
> unendlichdimensionalen Vektorräumen gearbeitet haben. Und
> "jeder" Vektorraum heißt ja, dass auch alle Vektorräume
> eine endliche Basis haben, die unendlichdimensional sind.
> Ich weiß also nicht recht, wie ich an diese Aufgabe
> rangehen soll. Wenn ich das, was ich über
> endlichdimensionale Vektorräume weiß, anwende - nämlich
> dass ein Vektorraum von Basis [mm]n[/mm] eine Basis mit [mm]n[/mm] Elementen
> hat (also eine endliche Anzahl) -, dann würde ich sagen,
> dass unendlichdimensionale Vektorräume auch Basen haben
> mit unendlich vielen Elementen. Nur ich weiß nicht, ob man
> das einfach so sagen kann.
Betrachte mal den Vektorraum V aller reellen Polynome. Zeige:
[mm] \{1,x,x^2,x^3,...\}
[/mm]
ist eine Basis von V. Jede weitere Basis von V ist ebenfalls unendlich (warum ?)
>
> Teilaufgabe ii)
> Wenn wir beispielsweise eine Matrix aus [mm]M_{3 \times 2}(\IR)[/mm]
> nehmen, dann sehen wir, dass eine Basis dieses Vektorraumes
> beispeilsweise besteht aus den Matrizen
>
> [mm]\pmat{1&0\\0&0\\0&0}, \pmat{0&1\\0&0\\0&0}, \pmat{0&0\\1&0\\0&0}, \pmat{0&0\\0&1\\0&0}, \pmat{0&0\\0&0\\1&0}, \pmat{0&0\\0&0\\0&1}[/mm]
>
> [mm]M_{3 \times 2}[/mm] muss also sechsdimensional sein ([mm] m * n [/mm])
> und nicht fünfdimenional ([mm] m + n [/mm]). Diese Behauptung ist
> also widerlegt.
Korrekt.
>
> Teilaufgabe iii)
> Hierbei bin ich mir auch nicht sicher.
>
> Aber ein linearer Teilraum mit Dimension 0 enthält ja nur
> das Nullelement, oder? D.h. es gibt keinen anderen linearen
> Teilraum mit mehr als dem Nullelement, der die Dimension 0
> hat. Wenn das stimmt, dann ist dieser Teil der Behauptung
> wahr.
Ja
> Wen
> n weiterhin ein linearer Teilraum und dessen Vektorraum
> dieselbe Dimension haben, dann ist der lineare Teilraum der
> Vektorraum selber. Nur gilt das als Argument dafür, dass
> ein [mm]n[/mm]-dimensionaler Vektorraum nur einen linearen Teilraum
> mit Dimension [mm]n[/mm] hat?
Ja
> Wenn nein, dann würde ich mich über
> eine Erklärung freuen :)
>
> Teilaufgaben iv) und v)
> Ich finde hier keinen richtigen Ansatz. Danke für jeden
> Tipp :)
>
> Liebe Grüße.
iv) ist richtig. Das liegt an der Linearität von T und U.
Sei B eine Basis von V mit der Eigenschaft
(*) T(b)=U(b) für jedes b [mm] \in [/mm] B.
Ist v [mm] \in [/mm] V, so ex. [mm] b_1,...,b_m \in [/mm] B und skalare [mm] s_1,...,s_m [/mm] mit
[mm] v=s_1b_1+....+s_mb_m.
[/mm]
Mit (*) zeige nun: T(v)=U(v)
v) ist natürlich falsch ! Niemand hat [mm] v_1=v_2 [/mm] und [mm] w_1 \ne w_2 [/mm] verboten !
FRED
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Hallo,
> iv) ist richtig. Das liegt an der Linearität von T und U.
>
> Sei B eine Basis von V mit der Eigenschaft
>
>
> (*) T(b)=U(b) für jedes b [mm]\in[/mm] B.
>
> Ist v [mm]\in[/mm] V, so ex. [mm]b_1,...,b_m \in[/mm] B und skalare
> [mm]s_1,...,s_m[/mm] mit
>
> [mm]v=s_1b_1+....+s_mb_m.[/mm]
>
> Mit (*) zeige nun: T(v)=U(v)
Wenn wir sagen, dass
$ v = [mm] s_1b_1+\ldots+s_nb_n [/mm] $
mit $ [mm] s_i \in \IR$, [/mm] $v [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $b_i \in [/mm] B$, dann können wir das umschreiben zu
$ [mm] b_j [/mm] = [mm] \bruch{1}{s_j}*(v-s_1b_1-\ldots-s_{j-1}b_{j-1}-s_{j+1}b_{j+1}-\ldots-s_nb_n)$
[/mm]
für irgendein [mm] $b_j \in [/mm] B$. Wenn wir jetzt [mm] (\star) [/mm] benutzen,
$ [mm] T(b_j)=U(b_j) [/mm] $,
folgt hieraus, dass $T=U$. Geht das so?
>
> v) ist natürlich falsch ! Niemand hat [mm]v_1=v_2[/mm] und [mm]w_1 \ne w_2[/mm]
> verboten !
>
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Fr 17.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Hallo,
>
> > iv) ist richtig. Das liegt an der Linearität von T und U.
> >
> > Sei B eine Basis von V mit der Eigenschaft
> >
> >
> > (*) T(b)=U(b) für jedes b [mm]\in[/mm] B.
> >
> > Ist v [mm]\in[/mm] V, so ex. [mm]b_1,...,b_m \in[/mm] B und skalare
> > [mm]s_1,...,s_m[/mm] mit
> >
> > [mm]v=s_1b_1+....+s_mb_m.[/mm]
> >
> > Mit (*) zeige nun: T(v)=U(v)
>
> Wenn wir sagen, dass
>
> [mm]v = s_1b_1+\ldots+s_nb_n[/mm]
>
> mit [mm]s_i \in \IR[/mm], [mm]v \in V[/mm] und [mm]b_i \in B[/mm], dann können wir
> das umschreiben zu
>
> [mm]b_j = \bruch{1}{s_j}*(v-s_1b_1-\ldots-s_{j-1}b_{j-1}-s_{j+1}b_{j+1}-\ldots-s_nb_n)[/mm]
Aber wer sagt dir, dass [mm] $s_j \neq [/mm] 0$?
>
> für irgendein [mm]b_j \in B[/mm]. Wenn wir jetzt [mm](\star)[/mm] benutzen,
>
> [mm]T(b_j)=U(b_j) [/mm],
>
> folgt hieraus, dass [mm]T=U[/mm]. Geht das so?
>
Wieso folgt das?
Zu zeigen ist: [mm] $T(v)=T(s_1b_1+\ldots+s_nb_n)=\dots=U(s_1b_1+\ldots+s_nb_n)=U(v)$, [/mm] dafür benutze nacheinander: Linearität von T, [mm] $T(b_j)=U(b_j) [/mm] \ [mm] \forall [/mm] j$ und die Linearität von U.
> >
> > v) ist natürlich falsch ! Niemand hat [mm]v_1=v_2[/mm] und [mm]w_1 \ne w_2[/mm]
> > verboten !
> >
> >
> > FRED
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>
Liebe Grüße
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Hallo,
> >
> > Wenn wir sagen, dass
> >
> > [mm]v = s_1b_1+\ldots+s_nb_n[/mm]
> >
> > mit [mm]s_i \in \IR[/mm], [mm]v \in V[/mm] und [mm]b_i \in B[/mm], dann können wir
> > das umschreiben zu
> >
> > [mm]b_j = \bruch{1}{s_j}*(v-s_1b_1-\ldots-s_{j-1}b_{j-1}-s_{j+1}b_{j+1}-\ldots-s_nb_n)[/mm]
>
> Aber wer sagt dir, dass [mm]s_j \neq 0[/mm]?
Kann ich das selber 'sagen'?
> >
> > für irgendein [mm]b_j \in B[/mm]. Wenn wir jetzt [mm](\star)[/mm] benutzen,
> >
> > [mm]T(b_j)=U(b_j) [/mm],
> >
> > folgt hieraus, dass [mm]T=U[/mm]. Geht das so?
> >
>
> Wieso folgt das?
>
> Zu zeigen ist:
> [mm]T(v)=T(s_1b_1+\ldots+s_nb_n)=\dots=U(s_1b_1+\ldots+s_nb_n)=U(v)[/mm],
> dafür benutze nacheinander: Linearität von T,
> [mm]T(b_j)=U(b_j) \ \forall j[/mm] und die Linearität von U.
>
Also, wir haben
$ T(v) = [mm] T(s_1b_1+\ldots+s_nb_n) [/mm] $, [mm] $s_i \in \IR$ [/mm] und [mm] $b_i \in [/mm] B$
und weil $T$ eine lineare Abbildung ist, folgt, dass
$ T(v) = [mm] s_1T(b_1)+\ldots+s_nT(b_n) [/mm] $.
Da ja [mm] $T(b_j)=U(b_j), \forall_j$, [/mm] gilt auch
$ [mm] s_1T(b_1)+\ldots+s_n(Tb_n) [/mm] = [mm] s_1U(b_1)+\ldots+s_nT(b_n) [/mm] $.
Weil $U$ ebenfalls eine lineare Abbildung ist, kann man das umschreiben zu
$ [mm] s_1U(b_1)+\ldots+s_nT(b_n) [/mm] = [mm] U(s_1b_1+\ldots+s_nb_n) [/mm] = U(v)$.
Hieraus folgt dann, dass $T(v)=U(v)$ und somit $T=U$. Ist das so in Ordnung? :)
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Sa 18.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Hallo,
>
> > >
> > > Wenn wir sagen, dass
> > >
> > > [mm]v = s_1b_1+\ldots+s_nb_n[/mm]
> > >
> > > mit [mm]s_i \in \IR[/mm], [mm]v \in V[/mm] und [mm]b_i \in B[/mm], dann können wir
> > > das umschreiben zu
> > >
> > > [mm]b_j = \bruch{1}{s_j}*(v-s_1b_1-\ldots-s_{j-1}b_{j-1}-s_{j+1}b_{j+1}-\ldots-s_nb_n)[/mm]
>
> >
> > Aber wer sagt dir, dass [mm]s_j \neq 0[/mm]?
>
> Kann ich das selber 'sagen'?
Nur ist dann [mm] $v\in [/mm] V$ nicht mehr beliebig.
>
> > >
> > > für irgendein [mm]b_j \in B[/mm]. Wenn wir jetzt [mm](\star)[/mm] benutzen,
> > >
> > > [mm]T(b_j)=U(b_j) [/mm],
> > >
> > > folgt hieraus, dass [mm]T=U[/mm]. Geht das so?
> > >
> >
> > Wieso folgt das?
> >
> > Zu zeigen ist:
> >
> [mm]T(v)=T(s_1b_1+\ldots+s_nb_n)=\dots=U(s_1b_1+\ldots+s_nb_n)=U(v)[/mm],
> > dafür benutze nacheinander: Linearität von T,
> > [mm]T(b_j)=U(b_j) \ \forall j[/mm] und die Linearität von U.
> >
>
> Also, wir haben
>
> [mm]T(v) = T(s_1b_1+\ldots+s_nb_n) [/mm], [mm]s_i \in \IR[/mm] und [mm]b_i \in B[/mm]
>
> und weil [mm]T[/mm] eine lineare Abbildung ist, folgt, dass
>
> [mm]T(v) = s_1T(b_1)+\ldots+s_nT(b_n) [/mm].
>
> Da ja [mm]T(b_j)=U(b_j), \forall_j[/mm], gilt auch
>
> [mm]s_1T(b_1)+\ldots+s_n(Tb_n) = s_1U(b_1)+\ldots+s_nT(b_n) [/mm].
Das letzte T ist auch durch U zu ersetzen.
>
> Weil [mm]U[/mm] ebenfalls eine lineare Abbildung ist, kann man das
> umschreiben zu
>
> [mm]s_1U(b_1)+\ldots+s_nT(b_n) = U(s_1b_1+\ldots+s_nb_n) = U(v)[/mm].
Hier ebenso.
> Hieraus folgt dann, dass [mm]T(v)=U(v)[/mm] und somit [mm]T=U[/mm]. Ist das
> so in Ordnung? :)
Bis auf das Erwähnte ja.
>
> Liebe Grüße.
>
Liebe Grüße
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> Hallo,
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> > Hallo,
> >
> > > >
> > > > Wenn wir sagen, dass
> > > >
> > > > [mm]v = s_1b_1+\ldots+s_nb_n[/mm]
> > > >
> > > > mit [mm]s_i \in \IR[/mm], [mm]v \in V[/mm] und [mm]b_i \in B[/mm], dann können wir
> > > > das umschreiben zu
> > > >
> > > > [mm]b_j = \bruch{1}{s_j}*(v-s_1b_1-\ldots-s_{j-1}b_{j-1}-s_{j+1}b_{j+1}-\ldots-s_nb_n)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Aber wer sagt dir, dass [mm]s_j \neq 0[/mm]?
> >
> > Kann ich das selber 'sagen'?
>
> Nur ist dann [mm]v\in V[/mm] nicht mehr beliebig.
Wie kann ich das denn dann sagen?
> >
> > > >
> > > > für irgendein [mm]b_j \in B[/mm]. Wenn wir jetzt [mm](\star)[/mm] benutzen,
> > > >
> > > > [mm]T(b_j)=U(b_j) [/mm],
> > > >
> > > > folgt hieraus, dass [mm]T=U[/mm]. Geht das so?
> > > >
> > >
> > > Wieso folgt das?
> > >
> > > Zu zeigen ist:
> > >
> >
> [mm]T(v)=T(s_1b_1+\ldots+s_nb_n)=\dots=U(s_1b_1+\ldots+s_nb_n)=U(v)[/mm],
> > > dafür benutze nacheinander: Linearität von T,
> > > [mm]T(b_j)=U(b_j) \ \forall j[/mm] und die Linearität von U.
> > >
> >
> > Also, wir haben
> >
> > [mm]T(v) = T(s_1b_1+\ldots+s_nb_n) [/mm], [mm]s_i \in \IR[/mm] und [mm]b_i \in B[/mm]
>
> >
> > und weil [mm]T[/mm] eine lineare Abbildung ist, folgt, dass
> >
> > [mm]T(v) = s_1T(b_1)+\ldots+s_nT(b_n) [/mm].
> >
> > Da ja [mm]T(b_j)=U(b_j), \forall_j[/mm], gilt auch
> >
> > [mm]s_1T(b_1)+\ldots+s_n(Tb_n) = s_1U(b_1)+\ldots+s_nT(b_n) [/mm].
>
> Das letzte T ist auch durch U zu ersetzen.
Ja, klar, übersehen :) Danke.
> >
> > Weil [mm]U[/mm] ebenfalls eine lineare Abbildung ist, kann man das
> > umschreiben zu
> >
> > [mm]s_1U(b_1)+\ldots+s_nT(b_n) = U(s_1b_1+\ldots+s_nb_n) = U(v)[/mm].
>
> Hier ebenso.
>
> > Hieraus folgt dann, dass [mm]T(v)=U(v)[/mm] und somit [mm]T=U[/mm]. Ist das
> > so in Ordnung? :)
>
> Bis auf das Erwähnte ja.
> >
> > Liebe Grüße.
> >
>
> Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 So 19.10.2014 | | Autor: | andyv |
> > Hallo,
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > > >
> > > > > Wenn wir sagen, dass
> > > > >
> > > > > [mm]v = s_1b_1+\ldots+s_nb_n[/mm]
> > > > >
> > > > > mit [mm]s_i \in \IR[/mm], [mm]v \in V[/mm] und [mm]b_i \in B[/mm], dann können wir
> > > > > das umschreiben zu
> > > > >
> > > > > [mm]b_j = \bruch{1}{s_j}*(v-s_1b_1-\ldots-s_{j-1}b_{j-1}-s_{j+1}b_{j+1}-\ldots-s_nb_n)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Aber wer sagt dir, dass [mm]s_j \neq 0[/mm]?
> > >
> > > Kann ich das selber 'sagen'?
> >
> > Nur ist dann [mm]v\in V[/mm] nicht mehr beliebig.
>
> Wie kann ich das denn dann sagen?
Ich wollte nur damit sagen, dass dein (erster) Beweis so nicht funktioniert. Mitlerweile hast du aber einen richtigen Beweis vorgestellt (s.u.).
>
> > >
> > > > >
> > > > > für irgendein [mm]b_j \in B[/mm]. Wenn wir jetzt [mm](\star)[/mm] benutzen,
> > > > >
> > > > > [mm]T(b_j)=U(b_j) [/mm],
> > > > >
> > > > > folgt hieraus, dass [mm]T=U[/mm]. Geht das so?
> > > > >
> > > >
> > > > Wieso folgt das?
> > > >
> > > > Zu zeigen ist:
> > > >
> > >
> >
> [mm]T(v)=T(s_1b_1+\ldots+s_nb_n)=\dots=U(s_1b_1+\ldots+s_nb_n)=U(v)[/mm],
> > > > dafür benutze nacheinander: Linearität von T,
> > > > [mm]T(b_j)=U(b_j) \ \forall j[/mm] und die Linearität von U.
> > > >
> > >
> > > Also, wir haben
> > >
> > > [mm]T(v) = T(s_1b_1+\ldots+s_nb_n) [/mm], [mm]s_i \in \IR[/mm] und [mm]b_i \in B[/mm]
>
> >
> > >
> > > und weil [mm]T[/mm] eine lineare Abbildung ist, folgt, dass
> > >
> > > [mm]T(v) = s_1T(b_1)+\ldots+s_nT(b_n) [/mm].
> > >
> > > Da ja [mm]T(b_j)=U(b_j), \forall_j[/mm], gilt auch
> > >
> > > [mm]s_1T(b_1)+\ldots+s_n(Tb_n) = s_1U(b_1)+\ldots+s_nT(b_n) [/mm].
>
> >
> > Das letzte T ist auch durch U zu ersetzen.
>
> Ja, klar, übersehen :) Danke.
>
> > >
> > > Weil [mm]U[/mm] ebenfalls eine lineare Abbildung ist, kann man das
> > > umschreiben zu
> > >
> > > [mm]s_1U(b_1)+\ldots+s_nT(b_n) = U(s_1b_1+\ldots+s_nb_n) = U(v)[/mm].
>
> >
> > Hier ebenso.
> >
> > > Hieraus folgt dann, dass [mm]T(v)=U(v)[/mm] und somit [mm]T=U[/mm]. Ist das
> > > so in Ordnung? :)
> >
> > Bis auf das Erwähnte ja.
> > >
> > > Liebe Grüße.
> > >
> >
> > Liebe Grüße
> >
>
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Fr 17.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gib von den folgenden Behauptungen an, ob sie wahr oder
> nicht wahr sind. Begründe deine Antwort.
>
> i) Jeder Vektorraum hat eine endliche Basis.
FRED hatte Dir ja schon den Vektorraum der reellen Polynome genannt.
Im Endeffekt nenne ich (indirekt) eigentlich den gleichen Vektorraum, aber
ich denke, dass man vielleicht doch einfacher damit hantieren kann:
Die Menge
[mm] $\IR^{\IN}=\{f \mid f \text{ ist eine Abbildung }\IN \to \IR\}$
[/mm]
mit punktweiser Addition und skalerer Multiplikation (d.h. $(f+g)(n):=f(n)+g(n)$
und $(r [mm] \cdot f)(n)=r\cdot [/mm] f(n)$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] - wobei $f,g [mm] \in \IR^{\IN}$)
[/mm]
ist ein Vektorraum.
Eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] kann dabei als ein Zeilen-Vektor mit (abzählbar)
unendlich vielen Komponenten identifiziert werden, Du kennst das als
Folgennotation. (Du kannst also auch sagen, dass Du die Menge aller
reellwertigen Folgen mit der ... Addition und ... skalaren Multiplikation
betrachtest.)
Für die Menge der reellwertigen Folgen ist aber eine Basis sehr naheliegend:
Mit
[mm] $e_k=(\delta_{m,k})_{m \in \IN}$ [/mm] ($k [mm] \in \IN$ [/mm] fest)
ist dann die Familie
[mm] $(e_k)_{k \in \IN}$ [/mm] (beachte [mm] $e_k \in \IR^{\IN}$)
[/mm]
eine Basis des Teilraums der abbrechenden Folgen.
(D.h. eine Folge nimmt ab einer gewissen Stelle nur noch den Wert 0 an!)
Da dieses Teilraum folglich schon die Dimension [mm] $\infty$ [/mm] hat, wird auch eine
Basis von [mm] $\IR^{\IN}$ [/mm] die Dimension [mm] $\infty$ [/mm] haben!
Allerdings gibt es ein Problem: Wenn ihr bisher nur den Begriff einer
Basis für einen endlichdimensionalen VR definiert habt, habt ihr vermutlich
auch den Begriff des Erzeugendensystems nur für endlichdimensionale
Vektorräume definiert. Die Definition eines Erzeugendensystems irgendeines
Vektorraums (d.h. ob endlicher oder unendlicher Dimension) läßt sich
natürlich auch auf endlichdimensionale anwenden. Allerdings gibt es
durchaus auch Definitionen, die so nur für endlichdimensionale Vektorräume
geeignet sind.
Wir bräuchten also vor allem Eure Definition des Begriffes "Erzeugendensystem",
mindestens aber die Definition des Begriffes einer Basis (und wenn da auch
das EZS erwähnt wird, musst Du diese Definition sowieso erwähnen).
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
Falls $I$ unendlich ist, und $K$ ein Körper, gilt niemals [mm] $\prod_{i\in I}K\cong\bigoplus_{i\in I}K$. [/mm] Insbesondere ist Freds Vektorraum tatsächlich von abzählbarer Dimension, deiner jedoch nicht. Deine Vektoren erzeugen nicht den ganzen Vektorraum, sondern lediglich den Unterraum der Folgen, die fast überall verschwinden.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 17:14 Fr 17.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi UniversellesO.,
> Hallo Marcel,
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> Falls [mm]I[/mm] unendlich ist, und [mm]K[/mm] ein Körper, gilt niemals
> [mm]\prod_{i\in I}K\cong\bigoplus_{i\in I}K[/mm]. Insbesondere ist
> Freds Vektorraum tatsächlich von abzählbarer Dimension,
> deiner jedoch nicht. Deine Vektoren erzeugen nicht den
> ganzen Vektorraum, sondern lediglich den Unterraum der
> Folgen, die fast überall verschwinden.
ich denke da nachher nochmal drüber nach - aber Du wirst wohl recht haben:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Vektorraum%29#Beispiele
Aber wichtig ist das nicht, denn da wir ein unendliches, linear unabhängiges
System haben, kann eine Basis dann doch auch nur "größer" sein. Meine
Wortwahl ist aber falsch, wobei ich mich auch erinnere, dass es verschiedene
Definitionen des Begriffes "Basis" gibt:
http://de.wikipedia.org/wiki/Schauderbasis
Aber da will ich mich gerade nicht reindenken.
Mit der Definition, die ich kenne und benutzen wollte, haben wir aber einen
Teilraum gefunden, der schon eine abzählbar unendliche Basis hat, was
ja auch reicht. Ich korrigiere das mal!
Gruß,
Marcel
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