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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Ferma |
Hallo Forum,
wie kann man beweisen, dass jede natürliche Zahl größer als 11 durch die Summe VERSCHIEDENER Primzahlen dargestellt werden kann. Beispiel:
12=5+7; 13=2+11; 14=3+11; 17=2+3+5+7....
Ich fand so einen Beweis im Netz, weiß aber nicht, ob das richtig ist. Möchte gerne die Meinung der Experten einholen. Der Link:
http://abikoe2003.abomb.info/data/facharbeiten/susi.pdf
fG, Ferma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Sa 06.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Beweis ist richtig, dass da der Beweis fehlt, dass zw n und 2n immer mindestens eine Primzahl liegt wird dabei benutzt und nicht bewiesen, aber das sagt die Autorin ja selbst.
Tolle facharbeit!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Der Beweis ist richtig, dass da der Beweis fehlt, dass zw
> n und 2n immer mindestens eine Primzahl liegt wird dabei
> benutzt und nicht bewiesen, aber das sagt die Autorin ja
> selbst.
Öhm. Sorry, der Beweis enthält schon ein Fehlerchen, sogar einen eher gravierenden wenn man nicht scharf mitdenkt, folgende Stellen mit Verbesserungen:
[m]p_{6+k}=s_k[/m] gilt
... muss sein: [m]p_{6+k}\red{ < }s_k[/m] gilt
und dann weiter Gleichheit zu Ungleichheit machen:
[m]p_{6 + k - 1} + p_{6 + k-1} \red{<} s_{k - 1} + p_{6 + k - 1}[/m]
[m]2*p_{6 + k - 1} \red{<} s_{k - 1} + p_{6 + k - 1} = s_k[/m]
[m]p_{6 + k} < 2*p_{6 + k - 1} \red{<} s_k[/m]
> Tolle facharbeit!
Stimmt, müsst ich mal durchlesen. Was mich allerdings abschreckt sind die ganzen biographischen Notizen, vor allem so knapp und keine Anekthoten. Nicht mein Fall.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 07.02.2010 | | Autor: | Ferma |
Kann das jemand (ausgiebig) mit Worten erklären? Ich meine den Beweis aus dem Netz. Zu beweisen war, dass alle natürlichen Zahlen größer als 11(in dem Beispiel war 6, das kann nicht stimmen, denn 7 und 11 können nicht als SUMME UNTERSCHIEDLICHER Primzahlen dargestellt werden) als Summe mehrerer unterschiedlicher Primzahlen dargestellt werden können. Es scheint zu stimmen. 12=5+7; 13=2+11; ...20=7+11; 21=3+7+11; 22=2+7+13....Nur der Beweis...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 So 07.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Secki hat recht, hatte ich übersehen.
Und warum brauchst du das? Schreibst du auch ne Facharbeit?
( dann müssten wir und du vorsichtig sein, denn da unterschreibst du ja die Selbständigkeit! Und ich versichere dir, wenig L sind heut so blöd nicht im Netz nach den Quellen der S zu suchen!)
Was verstehst du nicht an dem Beweis?
(übrigens: 7 und 11 sind Primzahlen, sind also Summe einer Primzahl)
Gruss leduart
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Hallo,
wie in dem Beweis schon angegeben: 7=2+5 und 11=11 Die Anzahl der Summanden ist ausdrücklich nicht eingeschränkt. Also gilt das dann folgende auch für einen "Summanden".
Was der Beweis macht ist folgendes:
1. Es wird eine konkrete Zerlegung der Zahlen in aus Primzahlen bestehenden Summanden angegeben. Dabei werden nur die ersten fünf Primzahlen genutzt.
2. Zu jeder dieser Zahlen (7 bis 19) wird die nächste Primzahl [mm] (p_6=13) [/mm] addiert. Das Resultat ist eine neue Menge von 13 Zahlen (nämlich 20 bis 32). Das ganze wird [mm] Z_0' [/mm] genannt.
3. Die Vereinigung beider Mengen ist die Menge [mm] Z_1.
[/mm]
Nun fängt man wieder bei 2. an. Durch das Addieren der nächsten Primzahl (17) erhält man eine Menge von Zahlen, die von 7+17=24 bis 32+17=49 geht. Diese Menge wird [mm] Z_1' [/mm] genannt. Mit [mm] Z_1 [/mm] vereinigt merkt man schon, dass einige Zahlen in [mm] Z_1 [/mm] und [mm] Z_1' [/mm] vorkommen. Das stört nicht weiter, ist aber später noch hilfreich. Das Resultat dieser Vereinigung heißt [mm] Z_2.
[/mm]
So kann man immer weiter machen. Doch könnte man auf die Idee kommen, dass mal eine Menge [mm] Z_n [/mm] vereinigt mit [mm] Z_n' [/mm] eine Zahl dazwischen aus lässt. (Etwa so: [mm] Z_n={3,4,5,6} \rightarrow [/mm] Zahl 9 addiert [mm] \rightarrow Z_n'={12,13,14,15} [/mm] Das ist nur ein Beispiel und hat mit den tatsächlich auftretenden Zahlen nichts zu tun. Hier würden jedenfalls die Zahlen {7,8,9,10,11} ausgelassen werden.)
Es lässt sich nun leicht zeigen, dass so ein Fall nur eintritt, wenn zwischen den zwei Zahlen n und 2n keine Primzahl liegt. Aber gerade dieser Beweis, dass nämlich immer eine Primzahl dazwischen liegt, ist schon von Tschebyscheff gebracht worden.
Somit können wir induzieren und die Zerlegung auf beliebig große Zahlen beweisen.
Im Grunde war das das, was schon in deiner pdf steht. Hoffe, dass das jetzt etwas klarer geworden ist. Schau dir aber noch die Korrekturen meiner Vorredner an. Mit deren Hilfe müsste deinem Verständnis nichts weiter im Wege stehen.
Viel Erfolg noch,
Roland.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 07.02.2010 | | Autor: | Ferma |
Hallo,
In der Facharbeit steht:...als Summe ungleichER Primzahlen. Es müssen also MEHRERE ungleiche Primzahlen sein. Wenn ich 23 durch Addieren der 13 erhalte, dann sind das keine Primzahlen(10+13) Das geht aber nur so: 23=3+7+13. Das Ganze scheint ab 11(exlusiv) zu funktionieren. Also kann man den von mir angestrebten Beweis erst ab der Zahl 11 bringen. Vielleicht kann man die Goldbachsche Vermutung hier anwenden. Eine Frage: Wie kann man das hier vorher als Antwort Geschriebene ausdrucken lassen, dass auch der "blasse" Text gedruckt wird?
Gruß, Ferma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 So 07.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> In der Facharbeit steht:...als Summe ungleichER
> Primzahlen. Es müssen also MEHRERE ungleiche Primzahlen
> sein.
Nö. Normalerweise heitß in der Mathematik die Mehrzahl "Von 0 bis einer endlichen Anzahl", also ist die Anzahl 0 und 1 dabei. Beispiel: wenn man sagt "Es gibt Zahlen [m]a_1,\ldtos,a_n[/m] mit [m]m=a_1+\ldots +a_n[/m]" dann kann es auch [m]m=a_1[/m] sein. Das ist per Konevntion so - unsere Sprache gibt da oft nicht viel her. Das müsste man dann mit Formeln präzisieren, also obiges ausdrücken als: Für jede Zahl [m]n>11[/m] gibt es k Primzahlen [m]p_i[/m], so dass [m]n=\sum_{i=1}^k p_i[/m], damit ist der Fall [m]k=1[/m] dabei ([m]k=0[/m] per Konevtion auch, aber das wird wohlnie klappen).
Aber im Wsentlichen ist es ein Sturm im Wasserglas, da du ja nur haderst, ob die 11 dabei ist, oder nicht. Das ist - total egal. Wenn man am Anfang abschneiden muss, dann muss man abschneiden. Ob 11 dabei ist oder nicht - Definitionsfrage ohne mathematischen Mehrwert/Nährwert.
> Wenn ich 23 durch Addieren der 13 erhalte, dann sind
> das keine Primzahlen(10+13)
Hat ja auch niemand behauptet. Wie komsmt du darauf?
> Das geht aber nur so:
> 23=3+7+13.
Ja, aber - what's your point?
> Das Ganze scheint ab 11(exlusiv) zu
> funktionieren. Also kann man den von mir angestrebten
> Beweis erst ab der Zahl 11 bringen.
Was ist der angestrebte Beweise? Der, der in der Facharbeit steht? Wofür brauchst du den? Verstehst du denn den Rest jetzt?
> Vielleicht kann man die
> Goldbachsche Vermutung hier anwenden.
Wobei das eine unbewiesene Vermutung ist - das andere recht einfach zu beweisen. Man kann mit der Vermutung zeigen, dass jede Zahl Summe von maximal 3 Primzahlen ist. Willst du das?
> Eine Frage: Wie kann
> man das hier vorher als Antwort Geschriebene ausdrucken
> lassen, dass auch der "blasse" Text gedruckt wird?
Blasser Text? Was meinst du?!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:13 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Ferma |
ja, die Kunst Fragen zu stellen...
Also: ich soll beweisen, dass jede Primzahl größer als 11, mit mehreren und verschiedenen Primzahlen als Summe darzustellen ist. Diese Facharbeit tritt in den Hintergrund, sollte bloß eine Hilfe sein. Das mit den 3 Primzahlen kann nicht stimmen. Vinogradoff hat einen "Beweis" erbracht für "Zahlen ab einer gewissen Größe". Dieser Beweis erwähnt maximal 4, nicht 3 Primzahlen. Beispiel: 17=2+3+5+7. Mit "blassem" Text meinte ich die mathematischen Symbole, die mein Drucker einfach ignoriert.
Ich habe das Problem erweitert, da ich vermute, dass ALLE natürlichen Zahlen ab 11 mit versch. Primz. als Summ. darzustellen sind.
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Hallo,
dann schau dir nochmal den Beweis und gegebenenfalls die gegebenen Ergänzungen an. Dann wirst du sehen, dass genau dein Problem schon gelöst ist. Du hast schon recht 23=10+13. Aber es geht darum, dass die Zerlegung von 10 schon bekannt ist. 10=7+3 wie du schon richtig erkannt hast. Durch Hinzufügen der 13 ist eine Möglichkeit der Zerlegung angebbar. Das heißt nicht, dass es die einzige Möglichkeit ist. Mit dem angegebenen Algorithmus (Beweis) ist es möglich eine Möglichkeit der Zerlegung anzugeben. Je größer die Zahlen sind, desto mehr Summanden hat die Zerlegung mit diesem Algorithmus.
Schreib dir die einzelnen Schritte des Beweises einfach mal auf, dann wirst du sehen, was genau passiert.
Schon Goldbach hatte die Vermutung, dass 3 Summanden reichen müssten. Beweisen können hat er es nicht. Deine Argumentation ist insofern falsch, dass die Vermutung stimmen kann, auch wenn es einen Beweis für die Zerlegung mit 4 Summanden gibt.
Nochmal mit anderen Worten: Wenn man so argumentiert wie du, dann dürfte es auch nicht möglich sein, natürliche Zahlen in eine Summe beliebig vieler (unterschiedlicher) Primzahlen zu zerlegen. Genau das ist aber durch den von dir gefundenen Beweis nachgewiesen worden.
Zuletzt irritiert mich noch dein letzter Satz. Das war doch schon die Aufgabenstellung, oder nicht? Wie hast du das Problem dadurch erweitert?
Viel Erfolg beim Verstehen des Beweises,
Roland.
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