Verständnis Primitivwurzeln < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Di 21.06.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Guten Tag,
in meinem Skript steht das wenn man [mm] \IZ^{\*}_{p} [/mm] betrachtet (p ist eine Primzahl). Dann gibt es zwischen 1 und p-1 genau [mm] \phi(p-1) [/mm] Primitivwurzeln modulo p. Mir ist absolut nicht klar weshalb dem so ist. Eine Primitivwurzel modulo p erzeugt ja [mm] \IZ^{\*}_{p}. [/mm] Ich frage mich nun wie man darauf kommt? Wieso gibt es genau [mm] \phi(p-1) [/mm] primitivwurzeln modulo p zwischen 1 und p-1? Wäre echt klasse, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen würde.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Di 21.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> in meinem Skript steht das wenn man [mm]\IZ^{\*}_{p}[/mm]
> betrachtet (p ist eine Primzahl). Dann gibt es zwischen 1
> und p-1 genau [mm]\phi(p-1)[/mm] Primitivwurzeln modulo p. Mir ist
> absolut nicht klar weshalb dem so ist. Eine Primitivwurzel
> modulo p erzeugt ja [mm]\IZ^{\*}_{p}.[/mm] Ich frage mich nun wie
> man darauf kommt? Wieso gibt es genau [mm]\phi(p-1)[/mm]
> primitivwurzeln modulo p zwischen 1 und p-1? Wäre echt
> klasse, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen würde.
Es ist besser, die Aussage in zwei Teile aufzuspalten:
1) Die Gruppe [mm] $\IZ_p^\ast$ [/mm] ist zyklisch (der Ordnung $p - 1$);
2) Eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$ hat [mm] $\phi(n)$ [/mm] Erzeuger.
Erstmal: 1) ist dazu aequivalent, dass es ueberhaupt Primitivwurzeln gibt. Primitivwurzeln sind gerade die Erzeuger der multiplikativen Gruppe.
Wenn du jetzt Aussage 1) und 2) kombinierst, bekommst du deine Aussage oben. (Ok soweit?)
Nun zur Aussage 2). Sei $G$ eine Gruppe und $g [mm] \in [/mm] G$ habe endliche Ordnung $n$. Dann ist die Ordnung von [mm] $g^k$ [/mm] gegeben durch [mm] $\frac{n}{ggT(n, k)}$. [/mm] (Kennst du die Aussage? Wenn nicht: schreibst du $n = [mm] \ell \cdot [/mm] d$, $k = m [mm] \cdot [/mm] d$ mit $d = ggT(n, k)$, so ist [mm] $g^d$ [/mm] ein Element der Ordnung [mm] $\frac{n}{d} [/mm] = [mm] \ell$. [/mm] Nun ist $m$ teilerfremd zu [mm] $\frac{n}{d}$, [/mm] weshalb [mm] $g^k [/mm] = [mm] (g^d)^m$ [/mm] wieder Ordnung [mm] $\frac{n}{d}$ [/mm] hat.)
Das bedeutet insbesondere: [mm] $g^k$ [/mm] hat genau dann Ordnung $n$, wenn $ggT(n, k) = 1$ ist. Und die Ordnung ist genau dann $n$, wenn [mm] $g^k$ [/mm] ein Erzeuger von $G$ ist. Daraus folgt: die Anzahl der Erzeuger von $G$ ist gleich der Anzahl der Restklassen von [mm] $\IZ$ [/mm] modulo $n$, welche koprim zu $n$ sind. Und das ist gerade [mm] $\phi(n)$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Di 21.06.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen, vielen Dank für diese ausführliche Erklärung. Ich habe sie mir mehrere male durchgelesen und ich denke ich habe es nun verstanden. Nochmals vielen Dank für deine Hilfe und Mühe :).
LG Loriot95
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