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Soooo und nochmal ich ;)
ich habe die Aufgabe:
a R ; Für welche a lösbar?
(wie mache ich eigentlich dieses Element-Zeichen?)
Nun die Gleichung:
[mm] e^x-e^{-x}=2a
[/mm]
Wie gehe ich nun an diese Gleichung ran und wie ist "a R ; Für welche a lösbar?" zu verstehen?
Schonmal, DANKE!
Gruß Benjamin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 So 09.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
also das Element-zeichen heißt "in" mit einem Backslash davor.
Also [mm] $a\in \IR$ [/mm] (ruhig mal auf die Formel clicken)
Du sollst alle reellen a finden, für die es eine Lösung (für x) der Gleichung gibt, so ist die Aufgabenstellung zu verstehen.
zu deiner Gleichung:
$ [mm] e^x-e^{-x}=2a \quad \gdw \quad e^x-\bruch{1}{e^x}=2a [/mm] $
so, jetzt kannst du doch mal auf beiden Seiten mit [mm] e^x [/mm] multiplizieren
(darf man für alle x, denn es gibt ja keine Nullstellen)
und dann [mm] $t=e^x$ [/mm] substituieren, dann erhält man sowas wie:
[mm] $t^2-2a*t-1=0$
[/mm]
Dies kann man dann mal lösen (in Abhängigkeit von a) und schauen, wann es überhaupt eine (echt positive) Lösung gibt.
Damit sollte dann a eingegrenzt werden.
viele Grüße
DaMenge
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ich soll dann versuchen nach x umzustellen?
Dann habe ich auf der anderen Seite ein a bei dem ich dann beliebige Zahlen einsetzen kann? Und ich muss dann versuchen die a für die es kein Ergebnis gibt auszuschließen?
Ohh je ob ich das hinbekomme :/
Naja ich versuchs mal ;)
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Hallo fisch.auge und DaMenge,
Die Frage lässt sich meiner Meinung nach auf andere Weise sehr leicht beantworten.
Es gilt: [mm] $e^x [/mm] - [mm] e^{-x}$ [/mm] = $2 [mm] \sinh [/mm] x$
Gefragt wird also nach der Lösbarkeit der Gleichung:
[mm] $\sinh [/mm] x = a$
Da sinh aber surjektiv (sogar bijektiv) auf [mm] $\IR$ [/mm] ist, lässt sich die Gleichung für alle $a [mm] \in \IR$ [/mm] (eindeutig) lösen.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 So 09.10.2005 | | Autor: | fisch.auge |
Diese Antwort geht dann eher an DaMenge, da dieser Weg mir "noch" nicht bekannt ist... Mache im Moment den Mathevorkurs und bin schon glücklich, wenn ich das was wir machen gut verstehe ;)
Aber das was wir machen, macht mir ja Spass und ich bin immer für neue Dinge offen ;)
Aber trotzdem danke ich dir!
Gruß fisch.auge
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ich hab mal gerechnet und versucht nach x umzuformen:
[mm] e^x-e^{-x}=2a \gdw x=ln(a\pm\wurzel{1+a^2}
[/mm]
vielleicht ists ja richtig...
wenn nicht was ich eher glaube schreib ich mal meinen kompletten Rechenweg ;)
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Dann bin ich schonmal froh, dass das geklappt hat!
Soo, jetzt hab ich aber noch ein kleines Problem...
In der ln() funktion muss ja eine Zahl > 0 stehen, dies geschieht aber nur, wenn ich "vor der Wurzel das +" nehme... in diesem Fall kann ich jede beliebige Zahl einsetzen! Nehme ich aber das Minus kann ich keine Zahl einsetzen... Wie drücke ich das jetzt aus?
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...reicht es wenn ich sage:
[mm] {\forall a\in\IR : a<\wurzel{1+a^2}}
[/mm]
und wie drücke ich nun die Lösungsmenge aus?
DANKE für deine/eure tolle Hilfe!
Gruß Benjamin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 So 09.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Benjamin!
> ...reicht es wenn ich sage: [mm]{\forall a\in\IR : a<\wurzel{1+a^2}}[/mm]
Naja, das solltest Du aber auch irgendwie auch noch nachweisen ...
> und wie drücke ich nun die Lösungsmenge aus?
Gegenfrage  ...
Gibt es denn für $x \ = \ [mm] \ln\left(a + \wurzel{a^2+1 \ } \ \right)$ [/mm] eine Einschränkung für $a_$ ??
Also ist doch die Lösungsmenge für $a_$ gleich der Grundmenge von $a_$ .
Gruß
Loddar
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> Hallo Benjamin!
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> > ...reicht es wenn ich sage: [mm]{\forall a\in\IR : a<\wurzel{1+a^2}}[/mm]
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> Naja, das solltest Du aber auch irgendwie auch noch
> nachweisen ...
>
und wie weise ich das nach?
>
>
> > und wie drücke ich nun die Lösungsmenge aus?
>
> Gegenfrage ...
>
> Gibt es denn für [mm]x \ = \ \ln\left(a + \wurzel{a^2+1 \ } \ \right)[/mm]
> eine Einschränkung für [mm]a_[/mm] ??
>
nein es gibt keine Einschränkung, da das Ergebnis unter der Wurzel immer positiv ist, egal was ich für a einsetze...
>
> Also ist doch die Lösungsmenge für [mm]a_[/mm] gleich der Grundmenge
> von [mm]a_[/mm] .
>
Die Grundmenge von a ist R... also ist L=R ?
>
> Gruß
> Loddar
>
Danke für die Hilfe!
Gruß Benjamin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 So 09.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Benjamin!
> und wie weise ich das nach?
Du musst versuchen, diese Ungleichung [mm]a<\wurzel{1+a^2}[/mm] nach $a_$ umzustellen bzw. in eine wahre Aussage zu überführen.
1. Schritt: quadrieren diese Ungleichung ...
> Die Grundmenge von a ist R... also ist L=R ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ...
Gruß
Loddar
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> Hallo Benjamin!
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> > und wie weise ich das nach?
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> Du musst versuchen, diese Ungleichung [mm]a<\wurzel{1+a^2}[/mm] nach
> [mm]a_[/mm] umzustellen bzw. in eine wahre Aussage zu überführen.
>
> 1. Schritt: quadrieren diese Ungleichung ...
>
Also schreibe ich unter meine ganze Rechnung:
[mm] {\forall a\in\IR : a<\wurzel{1+a^2}}
[/mm]
darunter schreibe ich:
Beweis:
[mm] a^2
0<1 (w)
L=R
>
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> > Die Grundmenge von a ist R... also ist L=R ?
>
> Genau ...
>
>
> Gruß
> Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 So 09.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Benjamin!
> Also schreibe ich unter meine ganze Rechnung:
> [mm]{\forall a\in\IR : a<\wurzel{1+a^2}}[/mm]
> darunter schreibe ich:
> Beweis:
> [mm]a^2
> 0<1 (w)
>
> L=R
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 So 09.10.2005 | | Autor: | fisch.auge |
super !
Du hast mir wirklich sehr geholfen!!!
Danke dafür!!!
Echt ne klasse Arbeit, die du/ihr hier leistet!!!
Wenn ich mal groß und schlau bin, beantworte ich auch mal die ein oder andere Frage ;)
Gruß Benjamin
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Die Argumente der [mm] $\ln$-funktion [/mm] müssen positiv sein!
