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Hallo
ich habe in meinem Skript folgendes stehen und verstehe die Aussage nicht:
"Seien [mm] (\Omega, [/mm] P) ein W-Raum, [mm] (X_i [/mm] | i [mm] \in \IN_n) [/mm] eine endliche Familie von [mm] \Omega_i-ZVen [/mm] und X := [mm] (X_1,...,X_n). [/mm] Dann" gilt:
[mm] "P({\omega \in \Omega | X_i(\omega) = \omega_i (i \in \IN_n)}) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} P({\omega \in \Omega | X_i(\omega) = \omega_i}) [/mm]
[mm] (\omega_i \in \Omega_i [/mm] (i [mm] \in \IN_n))
[/mm]
So, was heisst dann das jetzt konkret:
Seien bsp.-weise [mm] \Omega [/mm] = {a,b,c}, [mm] \Omega_1 [/mm] = {d,e,f}, [mm] \Omega_2 [/mm] = {g,h,i}, [mm] \Omega_3 [/mm] = {j,k,l}, n=3
Dann gelte fuer:
i=1: [mm] X_i(a) [/mm] = d, [mm] X_i(b) [/mm] = e, [mm] X_i(c) [/mm] = f
i=2: [mm] X_i(a) [/mm] = g, [mm] X_i(b) [/mm] = h, [mm] X_i(c) [/mm] = i
i=3: [mm] X_i(a) [/mm] = j, [mm] X_i(b) [/mm] = k, [mm] X_i(c) [/mm] = l
Woher aber soll ich jetzt wissen, ob [mm] X_i(\omega) [/mm] = [mm] \omega_i? [/mm] Was ist denn dieses [mm] \omega_i? [/mm] Versteht ihr das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Sa 16.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Hi Sancho!
Moooment... ich hole mal die Kristallkugel. Etwas sterndeuternd
vermute ich folgendes:
Ihr betrachtet einen n-Dimensionalen Wahrscheinlichkeitsraum
mit Der Grundmenge [mm] \Omega [/mm] = [mm] \Omega_1 \oplus [/mm] ... [mm] \oplus \Omega_n [/mm] und
dem Wahrscheinlichkeitsmaß P: A [mm] \to [/mm] [0,1], wobei A eine
nicht genannte Sigma-Algebra auf [mm] \Omega [/mm] darstellt.
X = [mm] (X_1, [/mm] ..., [mm] X_n)
[/mm]
ist ein n-dimensionaler Zufallsvektor aus diesem Raum.
[mm] \omega_i [/mm] ist ein Elementarereignis aus der Untergrundmenge [mm] \Omega_i.
[/mm]
Das Produkt, welches Du erwähnst, entspricht der Forderung, dass
die einzelnen Einträge des Vektors X unabhängige Zufallsvariablen
darstellen, denn zwei Ereignisse A,B heißen "stochastisch
unabhängig" genau dann, wenn
P[A [mm] \cup [/mm] B] = P[A] * P[B]
und das ist genau die Aussage Deiner Formel für die einzelnen
Einträge von X betrachtet für jedes einzelne [mm] \omega\in\Omega.
[/mm]
Nebel steigt auf... die Vision wird unklar. Um mehr zu sehen müsste
ich Dein Skript besser kennen.
Ich hoffe trotzdem, das Dir dieser Text ein wenig weiterhilft!
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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