Verteilung unendlicher Summe < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien [mm] $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] i.i.d. Zufallsvariable mit [mm] $$P(X_1=k)=\frac{1}{10}\;\;\;\text{für }k=0,\ldots,9$$ [/mm] Geben Sie die Verteilung von [mm] $$Y:=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{X_n}{10^n}$$ [/mm] an. |
Wie ist das möglich, wenn wir nichts über die Verteilungen von [mm] $X_2,X_3,\ldots$ [/mm] wissen?
Versuchen würde ich Induktion über [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] bei Betrachtung von [mm] $$S_n:=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{10^i}$$
[/mm]
Für $n=1$ haben wir [mm] $S_1=\frac{X_1}{10}$. [/mm] Wie lautet jetzt die Verteilung von [mm] $X_1$? [/mm] Wir haben doch [mm] $$P(S_1=k)=P(X_1=10k)$$ [/mm] Jetzt ist dies aber nur für $k=0$ gleich $1/10$ und sonst $0$; das ergibt in der Summe keine Verteilung.
Was mache ich falsch?
Gruß
Differential
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mo 17.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Differential!
Die Aufgabe habe ich zwar noch nicht vollständig gelöst, aber deine konkreten Fragen kann ich dir beantworten:
> Seien [mm]$(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$[/mm] i.i.d. Zufallsvariable mit
> [mm]P(X_1=k)=\frac{1}{10}\;\;\;\text{für }k=0,\ldots,9[/mm] Geben
> Sie die Verteilung von
> [mm]Y:=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{X_n}{10^n}[/mm] an.
> Wie ist das möglich, wenn wir nichts über die
> Verteilungen von [mm]X_2,X_3,\ldots[/mm] wissen?
Die [mm] $X_n$ [/mm] sind iid. Also kennen wir die Verteilungen von [mm] $X_2$, $X_3$, [/mm] usw.: Sie stimmen mit der Verteilung von [mm] $X_1$ [/mm] überein.
> Versuchen würde ich Induktion über [mm]$n\in\mathbb{N}$[/mm] bei
> Betrachtung von [mm]S_n:=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{10^i}[/mm]
>
> Für $n=1$ haben wir [mm]$S_1=\frac{X_1}{10}$.[/mm] Wie lautet jetzt
> die Verteilung von [mm]$X_1$?[/mm] Wir haben doch
> [mm]P(S_1=k)=P(X_1=10k)[/mm]
Ja.
> Jetzt ist dies aber nur für $k=0$
> gleich $1/10$ und sonst $0$; das ergibt in der Summe keine
> Verteilung.
[mm] $P(S_1=k)$ [/mm] ist auch für [mm] $k=\frac{1}{10}$, $k=\frac{2}{10}$, [/mm] ..., [mm] $k=\frac{9}{10}$ [/mm] jeweils positiv, nämlich [mm] $P(S_1=k)=\frac{1}{10}$.
[/mm]
Etwas unpräzise Intuition:
Y lässt sich salopp schreiben als unendliche Dezimalbruch-Entwicklung
[mm] $0,X_1X_2X_3X_4\ldots$
[/mm]
(zumindest, wenn die [mm] $X_n$ [/mm] tatsächlich nur die Werte $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ annehmen.).
An jeder Stelle der Dezimalbruch-Entwicklung treten unabhängig von den anderen Stellen alle denkbaren Ziffern mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf.
Lässt dich das auf eine Vermutung kommen, wie die Verteilung von Y aussehen könnte?
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
vielen Dank für Deine Antwort. Du hast recht, natürlich kennen wir die Verteilung aller [mm] $X_i$.
[/mm]
Für [mm] $S_2=S_1+X_2/10^2$ [/mm] erhalten wir [mm] $$P(S_2=k)=\sum_{m=0}^9P\left(X_2=10^2\left(k-\frac{m}{10}\right)\right)=\frac{1}{10^2}\;\;\;\text{für }k=0,\ldots,1-\frac{1}{10^2}$$
[/mm]
Ich vermute daher, dass die Verteilung von [mm] $S_n$ [/mm] durch [mm] $$P(S_n=k)=\frac{1}{10^k}\;\;\;\text{für }k=0,\ldots 1-\frac{1}{10^n}$$ [/mm] gegeben ist
Aber was bedeutet das für [mm] $n\to\infty$?
[/mm]
Liebe Grüße
Differential
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Di 18.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Für [mm]$S_2=S_1+X_2/10^2$[/mm] erhalten wir
> [mm]P(S_2=k)=\sum_{m=0}^9P\left(X_2=10^2\left(k-\frac{m}{10}\right)\right)=\frac{1}{10^2}\;\;\;\text{für }k=0,\ldots,1-\frac{1}{10^2}[/mm]
Der mittlere Ausdruck in deiner Gleichungskette stimmt nicht, das Endergebnis schon.
Schreibe besser "für [mm] $k=0,\frac{1}{10^2},\frac{2}{10^2},\ldots,1-\frac{1}{10^2}$", [/mm] damit man besser versteht, wie die "Pünktchen-Schreibweise" gemeint ist.
> Ich vermute daher, dass die Verteilung von [mm]$S_n$[/mm] durch
> [mm]P(S_n=k)=\frac{1}{10^k}\;\;\;\text{für }k=0,\ldots 1-\frac{1}{10^n}[/mm]
> gegeben ist
Mit der Vermutung liegst du richtig.
> Aber was bedeutet das für [mm]n\to\infty[/mm]?
Vielleicht hilft es dir, dir klarzumachen, welche Werte $Y$ annehmen kann, wenn die [mm] $X_n$ [/mm] nur die Werte 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 annehmen:
Dann kommen genau die als Dezimalzahlen mit einer 0 vor dem Komma darstellbaren Zahlen als Werte von Y in Betracht.
Das sind genau die Zahlen aus dem Intervall [0,1).
Alle Dezimalbruchentwicklungen sollten intuitiv die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Also sollten alle Zahlen aus [0,1) mit einer eindeutigen Dezimalbruchentwicklung die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Das legt die Vermutung einer Gleichverteilung von Y auf $[0,1)$ nahe...
Versuche also mal (ich habe es noch nicht versucht) nachzuweisen, dass Y gleichverteilt auf $[0,1)$ ist.
Ein Ansatz dazu:
Bezeichne [mm] $\mu$ [/mm] die Gleichverteilung auf $[0,1)$.
Sei [mm] $M:=\{k*10^{-n}\;|\;k\in\IZ,n\in\IN\}$.
[/mm]
Zeige
[mm] $P^Y([a,b))=\mu([a,b))$
[/mm]
für alle [mm] $a,b\in [/mm] M$.
Dazu wirst du verschiedene Fälle unterscheiden müssen.
Zeige, dass die Intervalle $[a,b)$ mit [mm] $a,b\in [/mm] M$ einen Durchschnitts-stabilen Erzeuger der Borelschen Sigma-Algebra bilden.
Somit stimmen die Verteilungen [mm] $P^Y$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] schon auf der ganzen Borelschen Sigma-Algebra überein.
Ich hoffe, dieser Ansatz, den ich selber noch nicht ausgeführt habe, funktioniert!
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