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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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| Aufgabe | Kevin und Chantal werfen beide je einen fairen Würfel solange, bis zum ersten Mal eine Sechs erscheint. Anschließend notieren Sie den Bruch, der sich aus Kevin’s und Chantal’s Versuchsum-fang ergibt. Zeigen Sie:
(a)Das Experiment kann durch eine Zufallsvariable X beschrieben werden, die auf die positiven rationa-len Zahlen konzentriert ist.
(b) (1)Die zu X gehörige Verteilungsfunktion F ist gegeben durch $F(x):=1-\frac{1}{5}\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{5}{6})^{\lfloor (x+1)k\rfloor}$
(2) Sie ist in allen positiven rationalen Zahlen unstetig
(3) und in allen positiven irrationalen Zahlen stetig.
(c) Es gilt speziell $F(n) = \frac{1-(\frac{5}{6})^n}{1-(\frac{5}{6})^{n+1}$ für alle $n\in\IN$
(d) Die Funktion G mit $G(x) = \frac{1-(\frac{5}{6})^x}{1-(\frac{5}{6})^{x+1}$ für alle $x \le 0$ ist eine Verteilungsfunktion mit $F \le G$.
(e) Unter Verwendung von d) lässt sich der Erwartungswert von X abschätzen durch $E(X) = \integral_0^{\infty}(1-G(x))dx = \frac{ln(6)}{5*ln(\frac{6}{5})} = 1,964593...$
(f) Es gilt exakt: $E(X) = \frac{6}{5}*ln(6) = 2,150111...$ |
Hallo, ich komm hier leider an mehreren Stellen nicht weiter und würd mich über einige Hinweise freuen.
Meine Ansätze:
(a) Ich würde $X:\Omega^2\to\IQ_{\ge 0}$ mit $\Omega = \{0,1\}^{\IN}$ und $X(x,y):= \frac{inf\{n\in\IN | x_n = 1\}}{inf\{n\in\IN | y_n = 1\}}, (x,y)\in\Omega^2$.
Damit wäre der linke Maßraum $(\Omega^2,P(\Omega^2),Q)$ wobei $P(\Omega^2)$ und ich keine Ahnung habe wie ich das Maß $Q$ definieren kann.
Und der rechte Maßraum $(\IQ_{\ge 0}, P(\IQ_{\ge 0}), Q^X)$ mit Q^X als Bildmaß von $Q$.
Es happert am $Q$
(b)(1) Ohne ein vernünfiges $Q$ aus (a) habe ich keine Ahnung.
(b)(2) F unstetig in allen rationalen Zahlen:
Sei $x_0\in\IQ_{\ge 0}$ und $x_n:= x_0+\frac{\sqrt{2}}{n}$ eine irrationale Folge mit $x_n\to x_0$
Zeige nun $\limes_{n\rightarrow\infty}F(x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(1 - \frac{1}{5}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{\lfloor(x_0+\frac{\sqrt{2}}{n}+1)k\rfloor})\not=F(x_0)=1 - \frac{1}{5}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{\lfloor(x_0+\frac{\sqrt{2}}{n}+1)k\rfloor}
oder zeige \limes_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{\lfloor(x_0+\frac{\sqrt{2}}{n}+1)k\rfloor}\not=\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{\lfloor(x_0+\frac{\sqrt{2}}{n}+1)k\rfloor}
Hier hab ich leider keine Idee mehr.
(b)(3) F stetig in allen irrationalen Zahlen:
Hier würde ich es mit einem Widerspruch versuchen:
Ann: Es gibt eine irrationale Zahl, sodass F unstetig an dieser Stelle unstetig ist.
D.h: Es gibt x_0\in\IR_{\ge 0}\backslash\IQ_{\ge 0} und eine Folge x_n\to x_0 mit F(x_n)\not\to F(x_0)
Nur habe ich keine Idee, wie ich nun einen Widerspruch basteln könnte.
(c) das hat geklappt
(d) das klappt auch bis auf F\le G:
zz. $1-\frac{1}{5}\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{5}{6})^{\lfloor (x+1)k\rfloor} \le \frac{1-(\frac{5}{6})^x}{1-(\frac{5}{6})^{x+1}$
Hier würde ich die rechte Seite als geo. Reihe aufschreiben und beide Seiten mit 1 Subtrahieren und mit -5 multiplizieren:
zz. \sum_{k=1}^{\infty}(\frac{5}{6})^{\lfloor (x+1)k\rfloor}\ge 5*\frac{(\frac{5}{6})^x-(\frac{5}{6})^{x+1}}{1-(\frac{5}{6})^{x+1}} = 5*((\frac{5}{6})^x-(\frac{5}{6})^{x+1})*\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{(x+1)k}$
Ab jetzt hab ich wieder keine Idee
(e) $E(X) = \integral_0^{\infty}(1-F(x))\,dx \ge \integral_0^{\infty}(1-G(x))\,dx = \integral_0^{\infty}(1-\frac{1-(\frac{5}{6})^x}{1-(\frac{5}{6})^{x+1}})\,dx = \limes_{a\in\IR_{\ge 0}\rightarrow\infty}(a-\integral_0^{a}(\frac{1-(\frac{5}{6})^x}{1-(\frac{5}{6})^{x+1}})\,dx)$
Aber wie nun integrieren?
(f)$E(X) = \integral_0^{\infty}(1-F(x))\,dx = \integral_0^{\infty}\frac{1}{5}\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{5}{6})^{\lfloor (x+1)k\rfloor}$
Hier hab ich auch keine Idee wie ich integrieren soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 10.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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