Vielfachheiten selbstadj. Mat. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] A\in [/mm] Mat(n x n, [mm] \IC) [/mm] und selbstadjungiert, daher sind alle Eigenwerte reel.
Sei nun [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A. Zeigen Sie dass die algebraische Vielfachheit von [mm] \lambda [/mm] gleich der geometrischen Vielfachheit ist. Benutzen Sie dazu folgenden zusammenhang: Wenn die geometrische VF kleiner als die algebraische VF ist, gibt es einen Eigenvektor v von A zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] und ein [mm] w\in\IC^n [/mm] mit [mm] (a-\lambda E_n)w=v [/mm] (Hauptvektor) |
Die Aufgabe stammt aus einem Übungszettel, in der vorigen Teilaufgabe habe ich gezeigt dass die Eigenräume zu unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal sind.
Ich weiß nun gar nicht wie ich den gegeben Hinweis nutzen soll. Mein Gedanke ist zu zeigen, dass v=w ist, da fehlt mir aber jeder weitere Schritt..
Falls mir jemand einen Hinweis geben könnte, wäre ich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forumauf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Mi 18.01.2012 | | Autor: | thunder89 |
Mir sind die Begriffe schon bekannt, ich weiß auch das die geometrische VF (dim Eigenraum) immer kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit (Vielfachheit der Nullstelle des charakt. Polynoms) ist. Ich muss nun zeigen, dass bei einer selbstadjungierten der "kleiner"-Fall nicht auftritt.
Und dazu soll ich den Hinweis zu den Hauptvektoren nutzen??
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Hi,
im endlichen unitären Vektorraum (für den weiß ich es):
Ist [mm]\varphi[/mm] selbstadjungiert <=> A ist hermitesch (A ist Darstellungsmatrix für [mm] $\varphi$)
[/mm]
Über das Hermitesch bekommst du eine Aussage über die Diagonalisierbarkeit. Damit hast du auch deine gesuchte Gleichheit.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 Mi 18.01.2012 | | Autor: | thunder89 |
Dies ist kein Lösungsansatz, da letzlich durch die Gleichheit der Vielfachheiten die Diagonaliserbarkeit bewiesen werden soll. Ich muss schon den Hinweis der in der Aufgabe gegeben ist irgendwie nutzen..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 Do 19.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei [mm]A\in[/mm] Mat(n x n, [mm]\IC)[/mm] und selbstadjungiert, daher sind
> alle Eigenwerte reel.
> Sei nun [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von A. Zeigen Sie dass die
> algebraische Vielfachheit von [mm]\lambda[/mm] gleich der
> geometrischen Vielfachheit ist. Benutzen Sie dazu folgenden
> zusammenhang: Wenn die geometrische VF kleiner als die
> algebraische VF ist, gibt es einen Eigenvektor v von A zum
> Eigenwert [mm]\lambda[/mm] und ein [mm]w\in\IC^n[/mm] mit [mm](a-\lambda E_n)w=v[/mm]
> (Hauptvektor)
>
> Die Aufgabe stammt aus einem Übungszettel, in der vorigen
> Teilaufgabe habe ich gezeigt dass die Eigenräume zu
> unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal sind.
>
> Ich weiß nun gar nicht wie ich den gegeben Hinweis nutzen
> soll. Mein Gedanke ist zu zeigen, dass v=w ist, da fehlt
> mir aber jeder weitere Schritt..
>
> Falls mir jemand einen Hinweis geben könnte, wäre ich
> dankbar.
du musst zeigen, dass das LGS $(A - [mm] \lambda E_n) [/mm] w = v$ keine Loesung $w$ hat, falls $v$ ein Eigenvektor ist.
Da $v [mm] \neq [/mm] 0$ muss $(A - [mm] \lambda E_n) [/mm] w [mm] \neq [/mm] 0$ sein, falls es so eine Loesung $w$ gibt. Da $(A - [mm] \lambda E_n) [/mm] v = 0$ ist, ist also $(A - [mm] \lambda E_n)^2 [/mm] w = 0$.
Jetzt berechne doch mal [mm] $\langle [/mm] (A - [mm] \lambda E_n)^2 [/mm] w, w [mm] \rangle$.
[/mm]
LG Felix
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Geometrische Vielfachheit