Vier Punkte bilden Rechteck < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Di 20.12.2016 | | Autor: | Diophant |
| Aufgabe | Es seien A, B, C und D komplexe Zahlen mit
A+B+C+D=0 (*)
und
|A|=|B|=|C|=|D|=1 (**)
Man zeige, dass aus diesen Eigenschaften folgt, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist.
Nachtrag:
Es gelte die übliche Namenskonvention für die Eckpunkte von Vielecken, also alphabetische Benennung im Gegenuhrzeigersinn. |
Hallo,
mit dieser Aufgabe (sie stammt aus: T. Needham, Anschauliche Funktionentheorie) tue ich mich insofern schwer, als ich mir ziemlich sicher bin, dass meine Argumentation nicht 'im Sinne des Erfinders' ist.
Meine Lösung:
- Wegen (*) existieren Vierecke mit den Seiten A, B, C und D.
- Wegen (**) sind dies Rauten mit Seitenlänge 1.
- Die Seiten dieser Vierecke kann man so verschieben, dass alle vier verschobenen Seiten in 0 enden. Dadurch entsteht das Viereck ABCD, dessen Diagonalen A-C bzw. B-D sich halbieren und gleich lang sind. Daraus folgt die Behauptung.
Ich denke nicht, dass in meiner Argumentation ein Fehler steckt. Allerdings sehe ich nicht, wo ich eine spezifische Eigenschaft von [mm]\IC[/mm] verwendet habe, welche der [mm]{\IR}^2[/mm] nicht auch 'zu bieten' hat. Von daher meine Fragen:
- Ist an meiner Argumentation etwas falsch?
- Sieht jemand einen eleganteren Weg mit den Eigenschaften der Grundrechenarten in C?
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Di 20.12.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Diophant.
In deiner Argumentation sehe ich erstmal keinen Fehler.
Ich würde es über die Polarkoordianten versuchen.
Da |A|=|B|=|C|=|D|=1 liegen alle vier komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis.
Da auch A+B+C+D=0 gelten soll, muss die Summe der Realteile und der Imaginärteile auch jeweils 0 ergeben.
Das müsste meiner Meinung nach dazu führen, dass der Sinus und der Kosinus der jeweiligen Winkel von A, B, C und D betragsmäßig je gleich groß sein müssten.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:45 Mi 21.12.2016 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> In deiner Argumentation sehe ich erstmal keinen Fehler.
>
> Ich würde es über die Polarkoordianten versuchen.
>
> Da |A|=|B|=|C|=|D|=1 liegen alle vier komplexen Zahlen auf
> dem Einheitskreis.
Ja, klar. Das steht sogar so in der Aufgabe, ich habe die Gleichungskette als Ersatz dafür genommen, da ich die Aufgabe am Handy eingetippt habe.
> Da auch A+B+C+D=0 gelten soll, muss die Summe der Realteile
> und der Imaginärteile auch jeweils 0 ergeben.
>
> Das müsste meiner Meinung nach dazu führen, dass der
> Sinus und der Kosinus der jeweiligen Winkel von A, B, C und
> D betragsmäßig je gleich groß sein müssten.
Eben weil die vier Punkte auf dem Einheitskreis liegen, muss man zwischen Real- bzw. Imaginärteil auf der einen und Kosinus bzw. Sinus des Arguments auf der anderen Seite nicht unterscheiden, bzw. ergibt diese Unterscheidung keinen Sinn. Ich sehe auch nicht, inwiefern deine Argumente über die Ausgangsbedingungen hinausgehen (man muss bei dieser Aufgabe vor allem auch aufpassen, dass man nicht ausversehen bei der Rückrichtung landet, denn das alles ist so selbstverständlich, dass man normalerweise gar nicht weiter darüber nachdenken würde).
Im Umfeld dieser Aufgaben sind einige andere, bei denen elegante Lösungsansätze über den Zusammenhang der komplexen Multiplikation mit Drehstreckungen um 0 in der Gaußschen Ebene gelingen. Das wäre ja dann etwas, wozu man [mm] \IC[/mm] benötigt, was also im [mm] {\IR}^2[/mm] so nicht funktionieren würde.
Nach einer solchen Argumentation suche ich eigentlich.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:37 Mi 21.12.2016 | | Autor: | hippias |
Es irritiert mich etwas, dass Du von den Seiten $A$, $B$, $C$ und $D$ sprichst, weil dies doch eher die Eckpunkte sein dürften. Ich sehe auch nicht, inwiefern man von einer Seitenlänge von $1$ ausgehen können sollte.
Aber vielleicht habe ich etwas falsch verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Mi 21.12.2016 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Es irritiert mich etwas, dass Du von den Seiten [mm]A[/mm], [mm]B[/mm], [mm]C[/mm] und
> [mm]D[/mm] sprichst, weil dies doch eher die Eckpunkte sein
> dürften.
Ich betrachte ein beliebiges Viereck in der Gaußschen Ebene, etwa mit den Eckpunkten P, Q, R und S. Dann wären
Q-P=A, R-Q=B, S-R=C und P-S=D
die Seiten dieses Vierecks. Damit das funktioniert, muss die Bedingung (*) gelten.
> Ich sehe auch nicht, inwiefern man von einer
> Seitenlänge von [mm]1[/mm] ausgehen können sollte.
Weil die vier Punkte A, B, C und D auf dem Einheitskreis liegen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:37 Mi 21.12.2016 | | Autor: | donquijote |
> Hallo,
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> > Es irritiert mich etwas, dass Du von den Seiten [mm]A[/mm], [mm]B[/mm], [mm]C[/mm]
> und
> > [mm]D[/mm] sprichst, weil dies doch eher die Eckpunkte sein
> > dürften.
>
> Ich betrachte ein beliebiges Viereck in der Gaußschen
> Ebene, etwa mit den Eckpunkten P, Q, R und S. Dann wären
>
> Q-P=A, R-Q=B, S-R=C und P-S=D
Hallo,
ich gehe aber schon davon aus, dass A,B,C,D die Eckpunkte und nicht die Seiten sein sollen.
Ansonsten könnte man auch eine Raute ohne rechte Winkel bekommen.
>
> die Seiten dieses Vierecks. Damit das funktioniert, muss
> die Bedingung (*) gelten.
>
> > Ich sehe auch nicht, inwiefern man von einer
> > Seitenlänge von [mm]1[/mm] ausgehen können sollte.
>
> Weil die vier Punkte A, B, C und D auf dem Einheitskreis
> liegen.
>
> Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Mi 21.12.2016 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> ich gehe aber schon davon aus, dass A,B,C,D die Eckpunkte
> und nicht die Seiten sein sollen.
> Ansonsten könnte man auch eine Raute ohne rechte Winkel
> bekommen.
A, B, C und D liegen auf dem Einheitskreis und bilden das zu betrachtende Viereck. Dies hindert nicht daran, sie als komplexe Zahlen und damit als Translationen in der Gaußschen Ebene und somit als Seiten eines (weiteren) Vierecks anzusehen. Dieses zweite Viereck dient ja dazu, bequem zu argumentieren, warum sich im Viereck ABCD die Diagonalen halbieren müssen und warum sie gleich lang sind.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:02 Mi 21.12.2016 | | Autor: | donquijote |
Ja, du hast recht. Ich hatte dein Argument nicht richtig erfasst. Mir erscheint der Beweis auch korrekt.
Ansonsten hätte ich es so versucht (nur als Ansatz, nur nicht komplett durchgerechnet):
A und B können auf dem Einheitskreis beliebig gewählt werden. Ist [mm]B\ne\pm A[/mm], so muss gelten [mm]|A+B+C|=|-D|=1[/mm], d.h. -C liegt sowohl auf dem Einheitskreis als auch auf dem Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt A+B. Die beiden Kreise haben aber (da sie nicht identisch sind) nur die beiden Schnittpunkte A und B. Somit müssen sich je zwei der 4 Punkte auf dem Einheitskreis gegenüberliegen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Mi 21.12.2016 | | Autor: | Diophant |
Hallo donquijote,
> Ansonsten hätte ich es so versucht (nur als Ansatz, nur
> nicht komplett durchgerechnet):
> A und B können auf dem Einheitskreis beliebig gewählt
> werden. Ist [mm]B\ne\pm A[/mm], so muss gelten [mm]|A+B+C|=|-D|=1[/mm], d.h.
> -C liegt sowohl auf dem Einheitskreis als auch auf dem
> Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt A+B. Die beiden Kreise
> haben aber (da sie nicht identisch sind) nur die beiden
> Schnittpunkte A und B. Somit müssen sich je zwei der 4
> Punkte auf dem Einheitskreis gegenüberliegen.
Das ist natürlich eine sehr elegante Argumentation. Aber auch dein Weg benötigt streng genommen keine komplexen Zahlen, oder übersehe ich etwas?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Mi 21.12.2016 | | Autor: | donquijote |
Hallo Diophant,
die Beweisidee ist erstmal rein geometrisch. Beim Durchrechnen (was ich jetzt nicht tun werde, da ich eigentlich noch was anderes zu tun habe) könnte die Artithmetik der komplexen Zahlen schon hilfreich sein, aber es geht wahrscheinlich auch ohne.
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Hallo,
hier eine analytische Lösung:
[mm](A+B)(A+C)(A+D)=A^3+A^2(B+C+D)+ABC+ABD+ACD+BCD=A^3+A^2*(-A)+ABCD\bar{D}+ABDC\bar{C}+ACDB\bar{B}+BCDA\bar{A}[/mm]
[mm]=A^3-A^3+ABCD(\bar{A}+\bar{B}+\bar{C}+\bar{D})=0+ABCD\overline{(A+B+C+D)}=0[/mm].
Es folgt [mm]0\in\{A+B,A+C,A+D\}[/mm]. Wegen A+B+C+D=0 muss dann auch die Summe der beiden anderen Punkte 0 sein, d.h. je zwei der 4 Eckpunkte liegen sich gegenüber. Ist zum Beispiel A+C=B+D=0, so folgt aus
[mm](B-A)\overline{(C-B)}=(B+C)(\bar{B}-\bar{C})=B\bar{B}+C\bar{B}-B\bar{C}-C\bar{C}=1+\overline{B\bar{C}}-B\bar{C}-1\in i*\mathbb{R}[/mm],
dass [mm]\frac{B-A}{C-B}[/mm] rein imaginär ist und die beiden Seiten AB und BC somit senkrecht aufeinsander stehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Di 27.12.2016 | | Autor: | Diophant |
Hallo donquijote,
vielen Dank dafür. Könntest du mir in deiner Lösung die zweite Gleichheit noch begründen/erläutern, da komme ich gerade nicht ganz mit.
@Moderation: bitte den obigen Beitrag von donquijote zu einer Antwort umwandeln, ihn mitsamt eventuellen Beiträgen, die in diesem Strang noch folgen sollten, direkt unter die Ausgangsfrage verschieben und diese auf beantwortet stellen. Vielen Dank.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Di 27.12.2016 | | Autor: | donquijote |
Hallo Diophant,
im ersten Schritt habe ich die Klammern aufgelöst und im 2. die Voraussetzung ins Spiel gebracht:
A+B+C+D=0 <=> B+C+D=-A und
[mm]1=|A|^2=A\bar{A}[/mm], analog für B,C,D.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Di 27.12.2016 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
alles klar, vielen Dank!*
Ich denke zwar nicht, dass eine so komplizierte Lösung in dem Buch von Needham angedacht ist (zumindest nicht in dem Zusammenhang, in dem die Aufgabe steht). Ich sammle aber zu den Übungsaufgaben aus dem erwähnten Buch gerade eigene Lösungsansätze (also durchaus auch unterschiedliche), und hier hat mir halt noch einer gefehlt, der wirklich mit komplexen Zahlen arbeitet.
Gruß, Diophant
*Zitiert habe ich aus dem Grund nicht, da dies bei mir im Formeleditor gerade nicht fehlerfrei funktioniert.
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Hallo Hippas!
Er betrachtet das ganze quasi vektoriell. Man kann die Vektoren A, B, C, D zu einem Pfad aneinander heften, die Vektoren selbst bilden dann die Seiten eines geschlossenen Vierecks, da ihre Summe =0 ist. Weil ihre Länge jeweils =1 ist, muß es sich um eine Raute handeln.
Anschließend verschiebt er die Vektoren in den Ursprung, sie beschreiben nun die Ecken eines neuen Vierecks, das nach der Argumentation ein Rechteck sein muß.
Die Argumentation passt, ich sehe auch keinen Fehler.
Wenn man unbedingt "was mit komplexen Zahlen" machen will, muß man die Aufgabe wohl algebraisch lösen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Mi 21.12.2016 | | Autor: | chrisno |
Ich übersehe offenbar etwas offensichtliches und bitte darum meinen Denkfehler aufzuzeigen:
A = 1 + 0i, B = -1 + 0i, C = $ [mm] \br{\sqrt{2}}{2} +\br{\sqrt{2}}{2}i$, [/mm] D = [mm] $-\br{\sqrt{2}}{2} -\br{\sqrt{2}}{2}i$
[/mm]
Ich bin der Meinung, dass beide Bedingungen erfüllt sind, ABCD aber kein Rechteck ist.
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Hallo!
ich grätsche einfach mal dem Diophant rein, und kleb das hier rein:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> Ich übersehe offenbar etwas offensichtliches und bitte
> darum meinen Denkfehler aufzuzeigen:
> A = 1 + 0i, B = -1 + 0i, C = [mm]\br{\sqrt{2}}{2} +\br{\sqrt{2}}{2}i[/mm],
> D = [mm]-\br{\sqrt{2}}{2} -\br{\sqrt{2}}{2}i[/mm]
> Ich bin der
> Meinung, dass beide Bedingungen erfüllt sind,
Das sind sie.
> ABCD aber kein Rechteck ist.
Aber natürlich gibt das ein Rechteck. Das macht man sich leicht durch eine Zeichnung klar, oder durch eine recht einfache Rechnung.
Ich denke jedoch, ich weiß, worauf du hinaus möchtest. Es wird bei der Aufgabe (wie in dem gesamten Werk durchgehend) die übliche Benennungskonvention für Vielecke (also alphabetisch im Gegenuhrzeigersinn) verwendet. Das tust du vermutlich auch und kommst bei deiner Belegung der vier Zahlen mit den Buchstaben A, B, C und D zu einem Vierseit. Das soll hier aber nicht Gegenstand der Diskussion sein. Ich werde die Ausgangsfrage demenstprechend ergänzen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Mi 21.12.2016 | | Autor: | chrisno |
Mein Irrtum ist viel banaler. Ich bin immer von einem Rechteck parallel zu den Koordinatenachsen ausgegangen. Ich hätte doch erst zeichnen oder Winkel nachrechnen sollen.
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