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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Binu |
Hallo an alle da draußen! Ich hab da ein paar Fragen zur vollständigen Induktion bei einigen Aufgaben..hoffe ihr könnt mir weiter helfen - komme nämlich teilweise nicht weiter..
1) Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] , alle reellen Zahlen a und alle reellen Zahlen q (im Falle von aufgabe (b) ist q natürlich von 1 verschieden, da man ansonsten durch 0 dividieren würde) die Gültigkeit folgender Gleichungen:
a) [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] a + kq = ((n+1)/2) * (2a + nq)
Ansatz: Beim Induktionsanfang mit n=1 kommt 2a+q = 2a+q raus, stimmt also. Aber wie kann ich den Induktionsschritt mit n --> n+1 dann schließlich auflösen?
b) [mm] \summe_{k=0}^{n} aq^{k} [/mm] = a * [mm] ((q^{n+1}-1)/(q-1))
[/mm]
Ansatz: Habe hier das gleiche Problem, wie bei der Aufgabe oben - Induktionsanfang funktioniert, aber wie kann ich diese Gleichungen lösen mit dem Induktionsschritt mit n --> n+1?
2a) Seien n [mm] \ge [/mm] 2 und k [mm] \ge [/mm] 1 natüürliche Zahlen. Beweisen Sie, dann n-1 ein Teiler von [mm] n^{k}-1. [/mm] Tipp: Benutzen Sie Aufgabe 1(b).
Ansatz: Induktionsvoraussetzung: [mm] n-1/n^{k}-1. [/mm] Mit dem üblichen Induktionsanfang von n=1 kann ich doch hier nichts anfangen oder? Soll ich die Gleichung von Aufgabe 1(b) benutzen oder nur das Prinzip?
2b) Finden Sie in folgendem Beweis surch vollständige Induktion, mit deren Hilfe wir den offensichtlich falschen Satz, dass alle Menschen gleich groß sind, beweisen wollen, den Fehler!
Induktionsanfang: n=1, d.h. ein Mensch ist gegeben, dann ist dieser Mensch natürlich zu sich selber gleich groß.
Induktionsannahme: Wenn n Menschen gegeben sind, dann sind diese Menschen untereinander gleich groß.
Induktionsbehauptung: Wenn n+1 Menschen gegeben sind,dann sind diesen n+1 Menschen auch untereinander gleich groß.
Induktionsschluss: Seien n+1 Menschen M1, M2, ... , Mn+1 gegeben, dann betrachten wir die Menschen M:={M1, M2, ... ,Mn} und N:={M2, M3, ... ,Mn+1}. Sei für alle i [mm] \varepsilon [/mm] {1, ... ,n+1} die Größe des Menschen Mi duch g(Mi) abgekürzt. Dann gilt wegen der Induktionsvoraussetzung g(Mi)=g(M2)=...=g(Mn) und g(M2)=g(M1)=g(M2)=g(M3)=...=g(Mn+1), was zu zeigen war.
Ansatz: Meiner meinung nach ist die Induktionsannahme schon falsch das n Menschen gleich groß sind, da ich dieses ja beweisen möchte oder was meint ihr?
Vielen lieben Dank im vorraus..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Di 25.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Form doch deine Ausdrücke erst mal um!
> a) [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] a + kq = ((n+1)/2) * (2a + nq)
[mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] a+ [mm]q*\summe_{k=0}^{n}q[/mm] =na [mm] +q*n*\bruch{n+1}{2}
[/mm]
> Ansatz: Beim Induktionsanfang mit n=1 kommt 2a+q = 2a+q
> raus, stimmt also. Aber wie kann ich den Induktionsschritt
> mit n --> n+1 dann schließlich auflösen?
>
> b) [mm]\summe_{k=0}^{n} aq^{k}[/mm] = a * [mm]((q^{n+1}-1)/(q-1))[/mm]
beide Seiten mit (q-1)multiplizieren.
der Rest sollte in beiden Fällen einfach sein. alte Summe +Summand mit n+1. Formel für n einsetzen und stur ausrechnen, dass dann die neue rechte Seite rauskommt. (Schreib dir zuerst auf was du auf der rechten Seite für n+1 erwartest)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Di 25.10.2005 | | Autor: | Binu |
Hallo, hab da nochmal ne Rückfrage zu der Antwort..Muss ich denn nicht jedes n aus der Ausgangsaufgabe durch n+1 ersetzen? Und dann habe ich nämlich das Problem das ich nicht weiß, wie man solch ein Summenzeichen auflöst bzw. aufspaltet - das von k=0 bis n+1 geht...
Wie sieht's denn mit Aufgabe 3 aus?
Mfg, Binu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Di 25.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Binu
Am Anfang fällt es was schwer mit dem Summenzeichen umzugehen. Es hilft oft, wenn mans noch mal mit Pünktchen hinschreib, dann wird alles klar, und nach kurzer Zeit hat man sich an das Summenz. gewöhnt.
Also: $ [mm] \sum_{i=1}^{n+1}a_i=(a_1+a_2+a_3+............+a_n=a_1+a_2+...........+a_n)+a_{n+1}= \summe_{i=1}^{n}a_i +a_{n+1}
[/mm]
Kurz du nimmst die Summe bis n und zählst einfach das (n+1)te Glied dazu.
Da man die Klammer irgendwohin setzen kann kannst du die Summe auch in andere Teile aufspalten also summe 1 bis n = Summe 1bis k + Summe k+1 bis n. k irgend ne Stelle zwischen 1 und n. Den letzten Satz aber nur allgemein, nicht für diese Aufgabe.
Gruss leduart
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