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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mi 09.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] |
Ich hatte vorgestern schonmal eine ähnliche/gleiche Aufgabe hier im Forum gestellt. Finde sie aber nirgends wieder.
Nun ja, habe mir nun ein paar Videos zur vollständigen Induktion angeschaut und wollte nun diese Aufgabe lösen. Bin mir nicht sicher, ob ich auch die Schritte richtig befolge.
Ich komme einfach nicht weiter....
Induktionsanfang:
für k,n = 1
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{1}} \ge 2\wurzel{1+1}-2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1}} [/mm] = 1
[mm] 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] = 0,8284
nun soll ich ja zeigen, dass das für alle weiteren zahlen auch gilt....
Induktionsannahme:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+2}-2
[/mm]
Induktionsvorraussetzung:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
Induktionsbeweis:
Nun muss ich das auf der rechten Seite so zusammenfassen, dass die Formel von der Induktionsannahme bestätigt wird...
[mm] 2\wurzel{n+2}-2 [/mm] = [mm] 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
und genau hier ist mein Problem:
[mm] 2\wurzel{n+2}-2 [/mm] = [mm] 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
ich muss rechts, beide terme am besten in einen bruch verwandeln....einzeln sehen sie ja so aus
[mm] \bruch{2\wurzel{n+1}-2}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
um diese zu addieren, muss ich sich sie auf den gemeinsammen nenner bringen, also muss ich den linken bruch mit [mm] \wurzel{n+1} [/mm] multiplizieren und erhalte
[mm] \bruch{2\wurzel{n+1}-2 \wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
und daraus wird
[mm] \bruch{2\wurzel{n+1}-2 \wurzel{n+1}+1}{\wurzel{n+1}} [/mm]
irgendwie bin ich nun total verwirrt...
wäre nett wenn ihr mir weiterhelft
gruß smuji
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Mi 09.07.2014 | | Autor: | chrisno |
> Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm]
>
>.....
> Induktionsanfang:
>
> für k,n = 1
Das musst Du besser aufschreiben. Induktionsanfang: Ich zeige, dass die Aussage für n = 1 stimmt.
Sei n = 1. Daraus folgt
[mm][mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1}}[/mm] = 1
Für n = 1 gilt weiterhin [mm]2\wurzel{n+1}-2 = 2\wurzel{2}-2[/mm]
> [mm]2\wurzel{n+1}-2[/mm] = 0,8284
Das geht gar nicht.
Nun musst Du zeigen, dass $1 [mm] \ge 2\wurzel{2}-2$. [/mm] Da würde ich ein wenig umformen und dann quadrieren.
>
>
> nun soll ich ja zeigen, dass das für alle weiteren zahlen
> auch gilt...
>
> Induktionsannahme:
Das Folgende ist nicht die Annahme, das Folgende willst Du zeigen.
>
Zu zeigen ist, dass
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+2}-2[/mm]
stimmt, wenn vorausgesetzt wird, dass [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm] gilt.
>
>
Aus der
> Induktionsvorraussetzung:
folgt
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
>
>
> Induktionsbeweis:
>
> Nun muss ich das auf der rechten Seite so zusammenfassen,
> dass die Formel von der Induktionsannahme bestätigt
> wird...
Streichen wir lieber.
Auf der linken Seite steht schon [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm]
Das Ziel ist nun zu zeigen, dass dies größer als [mm]2\wurzel{n+2}-2[/mm] ist.
Das ist erreicht, wenn Du zeigst, dass [mm]2\wurzel{n+1}-2 +
\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+2}-2[/mm] ist, weil dann eine Ungleichungskette vorliegt.
Also musst Du keine Gleichheit zeigen. Auf beiden Seiten 2 addieren, dann alles mit [mm] $\wurzel{n+1}$ [/mm] multiplizieren und quadrieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Do 10.07.2014 | | Autor: | Smuji |
das war jetzt alles für mich ein wenig verwirrend....
also ich kann es in meinem kopf nicht richtig zuordnen...
du sagtest:
[mm]$ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1}} [/mm] $ = 1
Für n = 1 gilt weiterhin $ [mm] 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] = [mm] 2\wurzel{2}-2 [/mm] $
> $ [mm] 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] $ = 0,8284
Das geht gar nicht.
was geht garnicht ? dass dieses ergebnis rauskommt ?
bzgl der bezeichnung der schritte....
habe das thema im internet anhand von videos gelernt und jeder typ bezeichnet seine schritte anders und manche lassen welche begriffe weg und manche benutzen sehr viele...deshalb... kann ich nicht zuordnen, was wohin gehört....
ich kann die aufgabe ja nochmal rechnen OHNE begriffe und du ordnest dann zu, was was ist ?!? wäre vllt ganz gut...
ich fang mal an:
Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] $
Ich zeige nun, dass für n & k = 1 die ungleichung gilt.
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{1}} \ge 2\wurzel{1+1}-2
[/mm]
dann:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+2}-2
[/mm]
dann ziehe ich das n+1 in meine ungleichung:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
nun zeige ich, dass folgendes gilt:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+2}-2
[/mm]
aber irgendwie verwirrt mich das jetzt alles ein wenig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Do 10.07.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
ich habe es schon einmal gepostet:
http://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf
Wenn du dich daran orientierst, so hast du gefühlte 1000 Aufgaben zur Induktion. Alle nach demselben Schema, sodass keine Verwirrung aufkommen sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Do 10.07.2014 | | Autor: | Smuji |
diese aufgaben z.b. haben alle nur Induktionsanfang und Induktionsschluss.... wieder eine verwirrung mehr...
2. sind die meisten mir einfach zu hoch...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Do 10.07.2014 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Smuji!
> diese aufgaben z.b. haben alle nur Induktionsanfang und
> Induktionsschluss.... wieder eine verwirrung mehr...
Lesen soll angeblich manchmal helfen.
Unter der ersten Lösung / dem ersten Beweis steht:
"Bei allen folgenden Aufgaben werden lediglich noch der Induktionsanfang und der Induktionsschluss aufgeschrieben. Auf das nochmalige Aufschreiben der Induktionsvoraussetzung wird verzichtet, da das Prinzip immer das gleiche ist."
> 2. sind die meisten mir einfach zu hoch...
Die sind ja zum Üben da und es sind verschiedene Schwierigkeitsgrade vorhanden!
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Do 10.07.2014 | | Autor: | Smuji |
Danke, wenn ich zeit habe, werde ich mal reinschauen...habe eben ein video auf YT gefunden, hat 2 min. gedauert und ich weiß nun wo und was behauptung, vorraussetzung etc. ist...
vielen dank
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Hi,
mal 'ne Frage am Rande: Welchen Vorteil siehst du darin nach YouTube-Videos zu lernen (machst du ja scheinbar gerne) und nicht klassisch nach Skript/Lehrbuch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Do 10.07.2014 | | Autor: | Smuji |
weil, wie du sicher weißt, es verschiedene lerntypen gibt und ich mit dem skrypt unseres dozenten nur bahnhof verstehe....generell gelesenes geht mir net so gut in den kopf...ich muss dinge sehen und hören oder probieren...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Do 10.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> weil, wie du sicher weißt, es verschiedene lerntypen gibt
> und ich mit dem skrypt
Skript. 
> unseres dozenten nur bahnhof
> verstehe....generell gelesenes geht mir net so gut in den
> kopf...ich muss dinge sehen und hören oder probieren...
Im Hauptstudium kann das zu großen Problemen führen. Nimm'
dir die Zeit und lies das Skript sorgfältig durch.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
>
> $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] $ |
ich habe mir nun dein geschriebenes mal ausgedruckt.. dann ist es vllt. besser oder gar angenehmer damit zu arbeiten.
Also:
Induktionsanfang:
Ich zeige mit n & k = 1, dass die Aussage stimmt:
>
> $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{1}} \ge 2\wurzel{1+1}-2 [/mm] $
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1}} [/mm] = 1
&
[mm] 2\wurzel{1+1}-2 [/mm] = 0,8284
daraus folgt 1 [mm] \ge [/mm] 0,8284
Der Induktionsschritt:
Vorraussetzung ist:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2 [/mm]
Behauptung:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+2}-2 [/mm]
nun folgt der Beweis:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] $ + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
und nun gehts weiter mit
[mm] 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+2}-2
[/mm]
nun kann ich doch zuerst die "doofen" 2er eliminieren, durch addieren
[mm] 2\wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+2}
[/mm]
nun bringe ich die linke seite auf einen gemeinsamen nenner...
[mm] \bruch{(\wurzel{n+1})*(2\wurzel{n+1})+1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+2}
[/mm]
wenn es bis dahin richtig ist, gebt mir mal einen kleinen tipp, beovr ich wieder sinnlos ausmultipliziere und ich mir das dann hätte sparen können...
ich will kürzen, kann aber nicht wegen der +1 .... also muss ich diese irgendwie in der klammer unterbringen...nur wie...
wenn diese weg wäre, könnte ich kürzen
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Hallo Smuji,
das sieht soweit alles ganz gut aus, aber vielleicht verlierst Du das Ziel aus den Augen?
> Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm]
>
> ich habe mir nun dein geschriebenes mal ausgedruckt.. dann
> ist es vllt. besser oder gar angenehmer damit zu arbeiten.
>
>
> Also:
>
> Induktionsanfang:
>
> Ich zeige mit n & k = 1, dass die Aussage stimmt:
Nein, nur für n=1. k ist die Laufvariable der Summe (und nimmt für n=1 nur den Wert k=1 an).
> > [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{1}} \ge 2\wurzel{1+1}-2[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1}}[/mm] = 1
>
> &
>
> [mm]2\wurzel{1+1}-2[/mm] = 0,8284
>
> daraus folgt 1 [mm]\ge[/mm] 0,8284
Das ist wieder so eine Taschenrechnerlösung. Es geht hier doch ganz leicht ohne:
[mm] \br{1}{\wurzel{1}}=1>2\wurzel{2}-2
[/mm]
[mm] \gdw\quad 3>2\wurzel{2}
[/mm]
Da beide Seiten positiv sind, dürfen wir quadrieren:
[mm] \gdw\quad 3^2>(2\wurzel{2})^2\quad\gdw\quad{9>8}
[/mm]
Diese Ungleichung stimmt, also auch die, die wir zeigen wollten.
> Der Induktionsschritt:
>
>
> Vorraussetzung ist:
Voraussetzung...
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm]
...ist erfüllt für irgendein n.
> Behauptung:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+2}-2[/mm]
Behauptet wird also, dass die Ungleichung dann auch für $n+1$ erfüllt ist.
> nun folgt der Beweis:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} + \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
> und nun gehts weiter mit
>
> [mm]2\wurzel{n+1}-2[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+2}-2[/mm]
>
> nun kann ich doch zuerst die "doofen" 2er eliminieren,
> durch addieren
Ja, richtig.
> [mm]2\wurzel{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+2}[/mm]
>
> nun bringe ich die linke seite auf einen gemeinsamen
> nenner...
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{n+1})*(2\wurzel{n+1})+1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+2}[/mm]
Auch richtig.
> wenn es bis dahin richtig ist, gebt mir mal einen kleinen
> tipp, beovr ich wieder sinnlos ausmultipliziere und ich mir
> das dann hätte sparen können...
>
> ich will kürzen, kann aber nicht wegen der +1 .... also
> muss ich diese irgendwie in der klammer unterbringen...nur
> wie...
Du kannst jetzt erstmal den Zähler aus der linken Seite ausmultiplizieren.
> wenn diese weg wäre, könnte ich kürzen
Dann hast Du:
[mm] \br{2(n+1)+1}{\wurzel{n+1}}=\br{2\left(n+\br{3}{2}\right)}{\wurzel{n+1}}>2\wurzel{n+2}
[/mm]
Den Zähler habe ich jetzt extra so zusammengefasst, damit man den Faktor 2 kürzen kann. Außerdem multiplizieren wir jetzt mit dem Nenner der linken Seite, also insgesamt mit [mm] \br{1}{2}\wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw\quad n+\br{3}{2}>\wurzel{n+2}*\wurzel{n+1}
[/mm]
Beide Seiten sind positiv, wir dürfen also quadrieren:
[mm] \gdw\quad n^2+3n+\br{9}{4}>(n+2)(n+1)=n^2+3n+2
[/mm]
[mm] \gdw\quad \br{9}{4}>2, [/mm] was wahr ist.
Was musst Du jetzt noch schreiben, damit der Beweis vollständig wird?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ich kann diese schritte nicht nachvollziehen...wie kommst du z.b. auf 3/2 ?
Dann hast Du:
$ [mm] \br{2(n+1)+1}{\wurzel{n+1}}=\br{2\left(n+\br{3}{2}\right)}{\wurzel{n+1}}>2\wurzel{n+2} [/mm] $
Den Zähler habe ich jetzt extra so zusammengefasst, damit man den Faktor 2 kürzen kann. Außerdem multiplizieren wir jetzt mit dem Nenner der linken Seite, also insgesamt mit $ [mm] \br{1}{2}\wurzel{n+1} [/mm] $
$ [mm] \gdw\quad n+\br{3}{2}>\wurzel{n+2}\cdot{}\wurzel{n+1} [/mm] $
Beide Seiten sind positiv, wir dürfen also quadrieren:
$ [mm] \gdw\quad n^2+3n+\br{9}{4}>(n+2)(n+1)=n^2+3n+2 [/mm] $
$ [mm] \gdw\quad \br{9}{4}>2, [/mm] $ was wahr ist.
Was musst Du jetzt noch schreiben, damit der Beweis vollständig wird?
Grüße
reverend
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Hallo nochmal,
[mm] 2(n+1)+1=2n+2+1=2n+3=2\left(n+\br{3}{2}\right)
[/mm]
Alles keine Zauberei. Ich will mir nur in den nächsten Schritten ein bisschen Rechnerei ersparen. Es geht natürlich auch anders.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
$ [mm] 2(n+1)+1=2n+2+1=2n+3=2\left(n+\br{3}{2}\right) [/mm] $
der letzte schritt leuchtet mir nicht ein
kannst du mir noch eine andere methode zeigen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]2(n+1)+1=2n+2+1=2n+3=2\left(n+\br{3}{2}\right)[/mm]
>
> der letzte schritt leuchtet mir nicht ein
welcher?
[mm] $2n+3=2\left(n+\br{3}{2}\right)$?
[/mm]
Das ist Schulwissen
[mm] $2n+3=2n+2*\frac{3}{2}=2*(n+\tfrac{3}{2})$
[/mm]
Man sagt auch "Ausklammern" dazu!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok , verstehe nun was du meinst
aber, dass man so mir nichts dir nichts darauf kommt...
ich käme da nicht so schnell drauf
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 So 27.07.2014 | | Autor: | reverend |
> ok , verstehe nun was du meinst
>
> aber, dass man so mir nichts dir nichts darauf kommt...
>
> ich käme da nicht so schnell drauf
Naja, mach Dir nichts draus. Das ist einfach Übungssache.
Und wie gesagt, geht es auch ohne diesen Schritt.
Probiers doch mal!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Aufgabe
Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] $ |
Hallo,
ich habe nun ein wenig "geübt" , aber bei dieser aufgabe, klappt es immernoch nicht so wie es soll.
ich lasse mal den induktionsanfang und die vorraussetzung weg, denn das denke ich, dürfte kein problem darstellen...
machen wir mal bei der behauptung weiter....
die behauptung sagt doch
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+2}-2
[/mm]
der beweis soll nun zeigen dass das stimmt...
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
bei einer gleichung, würde ich nun die behauptung dem gegenüber stellen und es beweisen...
aber, das kann ich hier ja nicht tun.. ich kann ja nicht
[mm] 2\wurzel{n+2}-2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
schreiben.... das ergäbe ja keinen sinn, nur was soll ich nun zeigen ??
dass:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
????
gruß smuji
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Fr 25.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Könnte es sein, dass du schon das eine oder andere Mal gebeten wurdest, für eine neue Frage auch einen neuen Thread zu eröffnen?
Gefallen dir selbst diese Monsterthreads die du produzierst?
> Aufgabe
> Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe nun ein wenig "geübt" , aber bei dieser aufgabe,
> klappt es immernoch nicht so wie es soll.
>
> ich lasse mal den induktionsanfang und die vorraussetzung
> weg, denn das denke ich, dürfte kein problem
> darstellen...
>
>
> machen wir mal bei der behauptung weiter....
>
> die behauptung sagt doch
>
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+2}-2[/mm]
>
>
>
> der beweis soll nun zeigen dass das stimmt...
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm] +[mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
Nein! Das sollst du nicht zeigen, das ist nur eine Folgerung aus der Induktionsvoraussetzung (Übrigens: großer Anfangsbuchstabe, dafür aber nur ein "r").
>
>
> bei einer gleichung, würde ich nun die behauptung dem
> gegenüber stellen und es beweisen...
>
> aber, das kann ich hier ja nicht tun.. ich kann ja nicht
>
>
> [mm]2\wurzel{n+2}-2[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
>
> schreiben.... das ergäbe ja keinen sinn, nur was soll ich
> nun zeigen ??
>
> dass:
>
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
>
> ????
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>
> gruß smuji
>
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Hallo Smuji,
> Aufgabe
> Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe nun ein wenig "geübt" , aber bei dieser aufgabe,
> klappt es immernoch nicht so wie es soll.
>
> ich lasse mal den induktionsanfang und die vorraussetzung
> weg, denn das denke ich, dürfte kein problem
> darstellen...
>
>
> machen wir mal bei der behauptung weiter....
>
> die behauptung sagt doch
>
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+2}-2[/mm]
Jo, das musst du zeigen
>
>
>
> der beweis soll nun zeigen dass das stimmt...
Jo, dann mal los, der erste Schritt ist ok, es fehlt ein wenig formale Korrektheit, aber du hast ja geschrieben, dass du das ein wenig abkürzt.
Ausführlich hast du die linke Seite der Behauptung hingeschrieben, den [mm](n+1)[/mm]-ten Summanden abgespaltet und die IV angewendet.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") [mm](\star)[/mm]
Das liefert dir die IV - ok soweit
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> bei einer gleichung, würde ich nun die behauptung dem
> gegenüber stellen und es beweisen...
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> aber, das kann ich hier ja nicht tun.. ich kann ja nicht
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> [mm]2\wurzel{n+2}-2[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
>
> schreiben.... das ergäbe ja keinen sinn, nur was soll ich
> nun zeigen ??
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> dass:
>
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
>
> ????
Um in der Ungleichheitskette zu bleiben, darfst du mit den weiteren Umformungen Terme nicht vergrößern, wohl aber verkleinern oder gleich groß lassen ...
Ich habe den letzten Term, von dem wir ausgehen, mal mit [mm](\star)[/mm] gemakert.
Überlege mal in einer Nebenrechnung, was du zu [mm]2\sqrt{n+1}[/mm] addieren musst, damit du auf [mm]2\sqrt{n+2}[/mm] kommst:
[mm]2\sqrt{n+1}+x=2\sqrt{n+2}\Rightarrow x=2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})=\frac{2(n+2-n-1)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}[/mm]
[mm]=\red{\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}[/mm]
Ok, gehen wir zurück zu [mm](\star)[/mm]
[mm]2\sqrt{n+1}-2+\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/mm]
Schieben wir die -2 nach ganz hinten und schleppen sie nur mit, die brauchen wir nicht für die weitere Rechnung
[mm]=2\sqrt{n+1}+\frac{2}{2\sqrt{n+1}} \ -2[/mm]
Einfach nur den Bruch mit 2 erweitert
[mm]=2\sqrt{n+1}+\frac{2}{\blue{\sqrt{n+1}}+\sqrt{n+1}} \ -2[/mm]
[mm]\ge 2\sqrt{n+1}+\frac{2}{\blue{\sqrt{n+2}}+\sqrt{n+1}} \ -2[/mm]
Ich habe den Nenner vergrößert (statt [mm]\sqrt{n+1}[/mm] nämlich [mm]\sqrt{n+2}[/mm] geschrieben) und damit den Bruch, mithin den gesamten Term, verkleinert
Nun blicke auf die Nebenrechnung von oben und der roten Bruch am Ende der Nebenrechnung, dann siehst du, dass nun nix anderes dasteht als
[mm]=2\sqrt{n+2} \ -2[/mm]
So wie es sein soll ...
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> gruß smuji
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Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] $ |
hallo,
ich blicke da nicht ganz durch...allerdings ist die aufgabe auch nicht ganz korrekt wiedergegeben...
wenn ich nun den beweis aufstelle, gilt zu beweisen, dass:
[mm] 2\wurzel{n+2}-2 \ge 2\wurzel{n+1}-2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
wenn ich mich nicht irre, kann ich zuerst mal +2 rechnen, um auf beiden seiten die -2 zu eliminieren
[mm] 2\wurzel{n+2} \ge 2\wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
nun minus [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
[mm] 2\wurzel{n+2} -\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+1}
[/mm]
nun geteilt durch [mm] 2\wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{2\wurzel{n+2} -\bruch{1}{\wurzel{n+1}}}{2\wurzel{n+1}} \ge [/mm] 1
nun wurzeln lösen.....
[mm] \bruch{2(n+2)^{\bruch{1}{2}} - (n+1)^{-\bruch{1}{2}}}{2(n+1)^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
die 2er in die klammern holen
[mm] \bruch{(2n+4)^{\bruch{1}{2}} - (n+1)^{-\bruch{1}{2}}}{(2n+2)^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
nun den negativen term von oben nach unten holen
[mm] \bruch{(2n+4)^{\bruch{1}{2}} - 1}{(2n+2)^{\bruch{1}{2}} * (n+1)^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
geht das so in ordnung, was ich hier mache ?
gruß smuji
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 So 27.07.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Smuji!
> Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm]
>
> hallo,
>
> ich blicke da nicht ganz durch...allerdings ist die aufgabe
> auch nicht ganz korrekt wiedergegeben...
Was ist nicht ganz korrekt wiedergegeben?
> wenn ich nun den beweis aufstelle, gilt zu beweisen, dass:
>
>
> [mm]2\wurzel{n+2}-2 \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das Ungleichheitszeichen ist falschherum.
> wenn ich mich nicht irre, kann ich zuerst mal +2 rechnen,
> um auf beiden seiten die -2 zu eliminieren
>
> [mm]2\wurzel{n+2} \ge 2\wurzel{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
>
> nun minus [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
>
> [mm]2\wurzel{n+2} -\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge 2\wurzel{n+1}[/mm]
>
>
> nun geteilt durch [mm]2\wurzel{n+1}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{2\wurzel{n+2} -\bruch{1}{\wurzel{n+1}}}{2\wurzel{n+1}} \ge[/mm]
> 1
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>
>
> nun wurzeln lösen.....
>
>
> [mm]\bruch{2(n+2)^{\bruch{1}{2}} - (n+1)^{-\bruch{1}{2}}}{2(n+1)^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
>
> die 2er in die klammern holen
>
> [mm]\bruch{(2n+4)^{\bruch{1}{2}} - (n+1)^{-\bruch{1}{2}}}{(2n+2)^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
Die Umformung [mm]2\sqrt{n}=\sqrt{2n}[/mm] ist falsch!
> nun den negativen term von oben nach unten holen
(Der Term ist nicht negativ... Der Exponent ist negativ.)
>
> [mm]\bruch{(2n+4)^{\bruch{1}{2}} - 1}{(2n+2)^{\bruch{1}{2}} * (n+1)^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
Was du da machst, nennt man "aus Summen oder Differenzen kürzen" und das funktioniert nicht. Wenn schon, dann hieße es [mm]\bruch{(2n+4)^{\bruch{1}{2}}\cdot (n+1)^{\bruch{1}{2}} - 1}{(2n+2)^{\bruch{1}{2}} * (n+1)^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
> geht das so in ordnung, was ich hier mache ?
Warum gehst du nicht dem Tipp (eigentlich ist ja schon fast eine vollständige Anleitung!) nach, den chrisno in der ersten Antwort dieses Threads geschrieben hat?
Klar, manchmal sind Texte (oder Skripten) nicht gleich bei ersten Lesen verständlich, aber dann muss man sie - ggf. nach Rückfragen - eben nochmal lesen.
Und noch ein Tipp: Die Umformungen, die du hier betreibst sind ein wenig umständlich. Das liegt wahrscheinlich daran, dass dir die Erfahrung fehlt. Befolge darum die Tipps, die dir hier gegeben werden! Vielleicht sind das Schritte, bei denen du sagst "da wär ich ja nie drauf gekommen!", aber so gewinnst du die nötige Erfahrung und kommst vielleicht bei der nächsten Aufgabe selber drauf.
Also: lies dir nochmal chrisnos erste Antwort durch und versuch's nochmal!
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, habe mir chrisnos teil ausgedruckt und beherzigt
und meine aufgabe nochmal aufs neue versucht zu lösen...
danke
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> Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge 2\wurzel{n+1}-2[/mm]
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> hallo,
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> ich blicke da nicht ganz durch...
Wie kann das sein?
Ich habe es dir ausführlich vorgerechnet, sogar die Nebenrechnung, mit der du dir überlegen kannst, was du da addieren musst, habe ich vorgerechnet.
Sogar mit [mm] $(\star)$ [/mm] und farbig markiert.
Was willst du noch?
Sollen wir es vorsingen oder vortanzen?
Ich geb's echt auf.
Mir fehlen die Worte.
Mal die klare Aufforderung an dich: erkläre mal konkret, was du da nicht geblickt hast.
Dir kann man nicht wirklich ernsthaft helfen, wenn du nur so allgemein daherplapperst.
Die Lösung steht da und du sagst: "ich blicke das nicht" ohne auf irgendwas einzugehen.
Das ist frustrierend, man möchte dir helfen, aber du lässt es nicht zu.
Ohne Worte ...
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