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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Mi 18.10.2006 | | Autor: | mechanix |
| Aufgabe | Beweise die Gültigkeit folgender Summenformel für alle [mm] n\in\IN [/mm]
[mm] \frac{1}{1 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 9}+...+\frac{1}{(4n-3)(4n-1)}=\frac{n}{4n+1}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich will diese Summenformel mit vollständiger Induktion beweisen.
(diese Summe kann man auch so schreiben, oder?
[mm] \sum_{\nu=1}^{n} \frac{1}{(4\nu-3)(4\nu-1)} [/mm] = [mm] \frac{\nu}{4\nu+1} [/mm] )
Naja, ich habe erstmal so angefangen:
A(n)
Induktionsanfangen A(1)
für n=1
[mm] \frac{1}{(4-3)(4+1)}=\frac{1}{5}=\sum_{\nu=1}^{1} \frac{1}{(4\nu-3)(4\nu-1)}
[/mm]
=> Wahre Aussage
n=k
Induktionsschritt:
aus A(k) ist wahr => A(k+1) ist w.A.
[mm] \sum_{\nu=1}^{k+1} \frac{1}{(4\nu-3)(4\nu+1)} =\frac{k+1}{4k+5}
[/mm]
Jetzt muss ich zeigen, dass das das gleiche ist wie folgendes, oder?
(wie schreibt man das unmissverständlich auf, dass man die Gleichheit von zwei solchen Termen beweisen will?)
[mm] \frac{k}{4k+1}+\frac{1}{(4(k+1)-3)(4(k+1)+1)}
[/mm]
= [mm] \frac{k(4k+1)(4k+5)+1(4k+1)}{(4k+1)^2(4k+5)}
[/mm]
= [mm] \frac{k}{4k+1}+\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}
[/mm]
Und da komme ich nicht weiter.
Eigentlich müsste ich den Term soweit umformen, bis da [mm] \frac{k+1}{4k+5} [/mm] steht, oder?
Meine zweite Frage: ist die Darstellung soweit korrekt? Machen die Summenzeichen sinn? Die sind nämlich in der Aufgabenstellung nicht gezeigt.
vielen Dank im vorraus
Gruß
mechanix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Mi 18.10.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo mechanix
Du kannst es nicht beweisen, weil es nicht stimmt!
Versuche es richtig hinzuschreiben.
Die richtige Formel ist:
[mm]
\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(4k-3)(4k+1)}=\bruch{n}{4n+1}
[/mm]
Links im Nenner hast du 4k+1 und nicht 4k-1!
Viele Grüße, 
galileo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Mi 18.10.2006 | | Autor: | mechanix |
Hallo galileo,
ich habe 1,2 und 3 eingesetzt, und bisher hat die Formel jedesmal gestimmt.
Meinst du nicht, die Aufgabenstellung wäre irgendwie "beweise, wenn möglich", wenn es nicht ginge?
Gruß
mechanix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Mi 18.10.2006 | | Autor: | galileo |
Ein einziges Vorzeichen war falsch. Siehe oben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mi 18.10.2006 | | Autor: | mechanix |
Hallo, einen Vorzeichenfehler habe ich gefunden... auch in der Aufgabenstellung habe ich das falsch abgetippt. Aber der Fehler hat sich nicht ganz durchgezogen, weil ich es nur anfangs falsch abgeschrieben habe, später jedoch aus dem Buch abgeschrieben habe.
A(n)
Induktionsanfang A(1)
für n=1
[mm] \frac{1}{(4-3)(4+1)}=\frac{1}{5}=\sum_{\nu=1}^{1} \frac{1}{(4\nu-3)(4\nu+1)} [/mm] + geändert
=> Wahre Aussage
n=k
Induktionsschritt:
aus A(k) ist wahr => A(k+1) ist w.A.
[mm] \sum_{\nu=1}^{k+1} \frac{1}{(4\nu-3)(4\nu+1)} =\frac{k+1}{4k+5}
[/mm]
hier war es schon richtig, weil ich die Formel manchmal aus dem Buch abgeschrieben habe...
[mm] \frac{k}{4k+1}+\frac{1}{(4(k+1)-3)(4(k+1)+1)}
[/mm]
= [mm] \frac{k(4k+1)(4k+5)+1(4k+1)}{(4k+1)^2(4k+5)}
[/mm]
= [mm] \frac{k}{4k+1}+\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}
[/mm]
Und da komme ich jetzt trotzdem nicht weiter.
Eigentlich müsste ich den Term soweit umformen, bis da [mm] \frac{k+1}{4k+5} [/mm] steht, oder?
vielen Dank im vorraus
Gruß
mechanix
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Hallo mechanix!
> A(n)
>
> Induktionsanfang A(1)
> für n=1
>
> [mm]\frac{1}{(4-3)(4+1)}=\frac{1}{5}=\sum_{\nu=1}^{1} \frac{1}{(4\nu-3)(4\nu+1)}[/mm]
> + geändert
> => Wahre Aussage
>
> n=k
>
> Induktionsschritt:
> aus A(k) ist wahr => A(k+1) ist w.A.
>
> [mm]\sum_{\nu=1}^{k+1} \frac{1}{(4\nu-3)(4\nu+1)} =\frac{k+1}{4k+5}[/mm]
>
> hier war es schon richtig, weil ich die Formel manchmal aus
> dem Buch abgeschrieben habe...
>
>
> [mm]\frac{k}{4k+1}+\frac{1}{(4(k+1)-3)(4(k+1)+1)}[/mm]
>
> = [mm]\frac{k(4k+1)(4k+5)+1(4k+1)}{(4k+1)^2(4k+5)}[/mm]
>
Es gibt einen einfacheren gemeinsamen Nenner: $(4k+1)(4k+5)$
> = [mm]\frac{k}{4k+1}+\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}[/mm]
>
Diese Umformung bringt nichts, das ist das gleiche wie in der ersten Zeile mit vereinfachtem Nenner des zweiten Bruchs.
> Und da komme ich jetzt trotzdem nicht weiter.
> Eigentlich müsste ich den Term soweit umformen, bis da
> [mm]\frac{k+1}{4k+5}[/mm] steht, oder?
Genau. Ich würde das so aufschreiben:
[mm] $\sum_{\nu=1}^{k+1} \frac{1}{(4\nu-3)(4\nu+1)} =\sum_{\nu=1}^{k} \frac{1}{(4\nu-3)(4\nu+1)} [/mm] + [mm] \frac{1}{(4(k+1)-3)(4(k+1)+1)}=\frac{k}{4k+1}+\frac{1}{(4(k+1)-3)(4(k+1)+1)}=\frac{k}{4k+1}+\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{k(4k+5)+1}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{4k^2+5k+1}{(4k+1)(4k+5)}$
[/mm]
Den Zähler musst Du nun so faktorisieren, daß sich dann $4k+1$ wegkürzen lässt.
Alles klar?
Gruß, phrygian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mi 18.10.2006 | | Autor: | galileo |
Es fehlt nur ein millimeter!
[mm]\text{Links} = \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(4k-3)(4k+1)}[/mm]
[mm]\text{Rechts}=\bruch{n+1}{4n+5}[/mm]
Zu beweisen ist Links = Rechts
[mm]
\text{Links}=\bruch{1}{(4n+1)(4n+5)}+\summe_{k=1}^{n}
\bruch{1}{(4k-3)(4k+1)}=\bruch{1}{(4n+1)(4n+5)}+
\bruch{n}{4n+1}=\bruch{1}{4n+1}\left( \bruch{1}{4n+5}+n\right)=[/mm]
[mm]
\bruch{1}{4n+1}\cdot
\bruch{4n^{2}+5n+1}{4n+5}=\bruch{(n+1)(4n+1)}{(4n+1)(4n+5)}
=\bruch{n+1}{4n+5}
[/mm]
Also, wir haben bewiesen [mm]\text{Links = Rechts }=
\bruch{n+1}{4n+5}[/mm] q.e.d.
Viele Grüße,
galileo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mi 18.10.2006 | | Autor: | mechanix |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort, galileo!
Ich habe das jetzt nachvollziehen können.
Aber nochmal eine Frage dazu:
Wie kommt man auf folgende Umformung?
[mm] \bruch{1}{4n+1}*\frac{4n^2+5n+1}{4n+5} \gdw \frac{1}{4n+1}*\frac{(n+1)(4n+1)}{4n+5}
[/mm]
Macht man da einfach eine Polynomdivision, in der Hoffnung, dass es gehen "muss", um das ausklammern zu können?
[mm] (4n^2+5n+1):(4n+5)=1 [/mm] ... *geht nicht auf*
nächster Versuch: [mm] (4n^2+5n+1):(4n+1)=n+1 [/mm]
Oder gibt es dazu noch einen bestimmten Trick, damit man sowas "sehen" kann?
Danke schonmal
Gruß
mechanix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mi 18.10.2006 | | Autor: | galileo |
Man versucht 5n aufzuspalten.
[mm]4n^{2}+5n+1=4n^{2}+4n+n+1=4n(n+1)+(n+1)=(n+1)(4n+1)[/mm]
Oder, man löst die Gleichung:
[mm]4x^{2}+5x+1=0[/mm]
Mit den Lösungen [mm]x_{1}=-1[/mm], [mm]x_{2}=-\bruch{1}{4}[/mm]
Dann ist die Faktorisierung:
[mm] 4(x-x_{1})(x-x_{2})=4(x-(-1))\left( x-\left( -\bruch{1}{4}\right)\right)=(x+1)(4x+1)
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Mi 18.10.2006 | | Autor: | mechanix |
Ok, jetzt hab ich das auch verstanden. Vielen Dank für alle deine Hilfe!
Gruß
mechanix
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