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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Mo 08.10.2007 | | Autor: | diego |
| Aufgabe | Beweisen Sie, das folgende Abbildungen gleich sind.
f: [mm] \IN \to \IN, [/mm] f(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n} i^{3} [/mm] und g : [mm] \IN \to \IN, [/mm] g(n) = [mm] \bruch {n^{2}(n+1)^{2}}{4} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. |
Hallo,
also, ich möchte das mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen.
Der Induktionsanfang ist noch kein Problem, aber bei dem Induktionschritt komme ich nicht weiter.
Ich hab das jetzt so gemacht:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} i^{3} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} i^{3} [/mm] + [mm] (n+1)^{3}
[/mm]
= [mm] \bruch {n^{2}(n+1)^{2}}{4} [/mm] + [mm] \bruch {4+(n+1)^{3}}{4}
[/mm]
Wenn ich das ausrechne komme ich auf [mm] \bruch {2n^{5}+9n^{2} +9}{4}. [/mm] Und damit bin ich ja von der Lösung die ich haben will, nämlich [mm] \bruch {n+1^{2}(n+2)^{2}}{4} [/mm] ziemlich weit entfernt.
Vielen Dank für eure Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Mo 08.10.2007 | | Autor: | diego |
Oh, das mit dem 4+ war ein Tippfehler.
Danke für die schnelle Antwort.
Ich habe das so gerechnet:
[mm] \bruch {n^{2}(n+1)^{2}}{4} [/mm] + [mm] \bruch {4(n+1)^{3}}{4}
[/mm]
= [mm] \bruch {n^{2}(n+1)^{2}+4(n+1)^{3}}{4} [/mm] dann habe ich ausmultipliziert
= [mm] \bruch {4n^{2}+n^{2}(n+1)^{3}+4(n+1)^{2}+(n+1)^{2}(n+1)^{3}}{4}
[/mm]
Und wenn ich jetzt zusammenfasse komme ich auf das oben genannte Ergebnis.
Ich glaube mir sind da ein paar Fehler bei den Potenzen unterlaufen, aber ich sitz jetzt schon so lang davor, dass ich überhaupt nicht mehr weiß wo der/die Fehler sind.
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> Oh, das mit dem 4+ war ein Tippfehler.
>
> Danke für die schnelle Antwort.
> Ich habe das so gerechnet:
>
> [mm]\bruch {n^{2}(n+1)^{2}}{4}[/mm] + [mm]\bruch {4(n+1)^{3}}{4}[/mm]
> =
> [mm]\bruch {n^{2}(n+1)^{2}+4(n+1)^{3}}{4}[/mm]
Hallo,
das ist richtig.
>dann habe ich
> ausmultipliziert
> = [mm]\bruch {4n^{2}+n^{2}(n+1)^{3}+4(n+1)^{2}+(n+1)^{2}(n+1)^{3}}{4}[/mm]
Ogottogott! Was hast Du getan? Das ist ja entsetzlich!!!
Du solltest Dir den Unterschied zwischen der Addition und der Multiplikation und zwischen gesetzten und nicht gesetzten Klammern klarmachen.
Es ist [mm] {4n^{2}+n^{2}(n+1)^{3}+4(n+1)^{2}+(n+1)^{2}(n+1)^{3}}=(n^{2}+(n+1)^{2})(4+(n+1)^{3}).
[/mm]
Mit [mm] n^{2}(n+1)^{2}+4(n+1)^{3} [/mm] hat das verflixt wenig zu tun.
Wenn Du da oben unbedingt irgendwelche Klammern auflösen möchtest, kannst Du das natürlich tun, zunächst (n+1=^2 und [mm] (n+1)^3, [/mm] dann mit dem Vorfaktor multiplizieren.
Einfacher und schneller wird es allerdings, wenn Du in [mm] \bruch {n^{2}(n+1)^{2}+4(n+1)^{3}}{4} [/mm] zunächst [mm] (n+1)^2 [/mm] ausklammerst. Dann bist Du fast fertig.
Falls Du wirklich Mathematik studierst, solltest Du Dich unbeding schleunigst mit den einschlägigen Rechenregeln vertraut machen - eigentlich gehe ich davon aus, daß Du diese beherrschst.
Daher Tip2: rechne zunächst auf Papier, und gib es anschließend erst mit dem Formeleditor ein. Möglicherweise verwirrt Dich das, was Du auf dem Bildschirm siehst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Di 09.10.2007 | | Autor: | diego |
Hallo,
danke für die Antwort und vor allem für den Tip.
Hab alles nochmal auf dem Papier gerechnet und hab diesmal auch das richtige Ergebniss auf ner halben Seite.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Gute Idee ...
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Beim zweiten Bruch muss es [mm] $\bruch{4 \ \red{*} \ (n+1)^3}{4}$ [/mm] heißen (schließlich wird der Bruch erweitert).
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Wie kommst Du hier auf den Term mit [mm] $n^{\red{5}}$ [/mm] ? Bitte mal vorrechnen ...
