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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Lisa-19 |
| Aufgabe | | Für [mm] n\in [/mm] IN mit [mm] n\ge [/mm] 2 ist [mm] n^2+n+1 [/mm] < [mm] n^3 [/mm] |
I-Anfang: Für n=2 gilt:
[mm] 2^2+2+1<2^3
[/mm]
7<8
I-Schritt:
I-Voraussetzung: Für ein beliebiges n [mm] \in [/mm] IN mit [mm] n\ge [/mm] 2 gilt:
[mm] n^2+n+1
I-Behauptung:
[mm] (n+1)^2+n+1+1<(n+1)^3
[/mm]
Bemerkung: [mm] (n+1)^3= n^3+3n^2+3n+1
[/mm]
I-Beweis:
[mm] (n+1)^2+n+1+1=n^2+3n+3=n^2+n+1+2n+2
So da hörts jetzt schon wieder auf bei mir :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mi 21.01.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo Lisa,
> Für [mm]n\in[/mm] IN mit [mm]n\ge[/mm] 2 ist [mm]n^2+n+1[/mm] < [mm]n^3[/mm]
> I-Anfang: Für n=2 gilt:
> [mm]2^2+2+1<2^3[/mm]
> 7<8
>
> I-Schritt:
> I-Voraussetzung: Für ein beliebiges n [mm]\in[/mm] IN mit [mm]n\ge[/mm] 2
> gilt:
> [mm]n^2+n+1
>
> I-Behauptung:
> [mm](n+1)^2+n+1+1<(n+1)^3[/mm]
> Bemerkung: [mm](n+1)^3= n^3+3n^2+3n+1[/mm]
>
> I-Beweis:
> [mm](n+1)^2+n+1+1=n^2+3n+3=\blue{n^2+n+1+2n+2
>
> So da hörts jetzt schon wieder auf bei mir :(
was hältst du davon, einfach bei:
[mm] $\blue{n^2+n+1+2n+2\ <\ n^3+2n+2}$
[/mm]
dieser Ungleichung 2n+2 auf beiden Seiten zu subtrahieren 
Viele Grüße
Smarty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Mi 21.01.2009 | | Autor: | smarty |
mmh, so richtig dolle ist der Vorschlag aber nicht. Ich denke da noch einmal drauf rum ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Grüße
Smarty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Lisa-19 |
Hmm....
wie schreibt man das denn dann auf?
also [mm] n^2+3n+3=n^2+n+1+2n+2
[mm] n^2+n+1
[mm]
[mm] <(n+1)^3
[/mm]
Irgendwie verstehe ich das noch nicht so richtig...glaube ich...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Lisa-19 |
Puhh, ja gut, da muss man erst mal drauf kommen. Sowas fällt mir in der Klausur bestimmt nicht ein...Für heute reichts erst mal, bin zu kaputt. Ich schaue mir die Aufgabe morgen nochmal in Ruhe an, aber ich denke, ich habe sie verstanden. Danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Mi 21.01.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo,
es ist nun noch zu zeigen, dass für [mm] n\ge2 [/mm] die Ungleichung $2n+2\ <\ 3n+1$ gilt. Das geht aber recht schnell.
Ind.Anf. Für n=2 ist $2*2+2=6\ <\ 7=3*2+1$
Ind.Vor. $2n+2\ <\ 3n+1$
Ind. $2*(n+1)+2=\ 2n+4\ <\ 3n+4\ =3*(n+1)+1$
Fertig 
Grüße
Smarty
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
