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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
| Aufgabe 1 | Beweisen Sie mittels der vollständigen Induktion.
1. [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{i}{2^{i}} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{n+2}{2^{n}} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
| Aufgabe 2 | | 2. [mm] \summe_{i=2}^{n} [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{i}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
zu 1.:
Ich komme bis zum Induktionsschluss, wo bewiesen werden muss, dass
2 - [mm] \bruch{(n+1)+2}{2^{n+1}} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{n+2}{2^{n}} [/mm] + [mm] (\bruch{n+1}{2^{n+1}})
[/mm]
Ich habe schon versucht die rechte Seite auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, um den Term richtig umzuformen, bin jedoch danach nicht weitergekommen. Ansonsten fällt mir ehrlich gesagt auch nichts ein wie es gehen könnte. Hat mir da jemand einen kleinen Tipp? :)
ähnlich bei 2:
[mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + (1- [mm] \bruch{1}{n+1}) [/mm]
Auch hier fehlt mir irgendwie jeglicher Ansatz. Kann mir da jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Fr 23.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Beweisen Sie mittels der vollständigen Induktion.
> 1. [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{i}{2^{i}}[/mm] = 2 -
> [mm]\bruch{n+2}{2^{n}}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> 2. [mm]\summe_{i=2}^{n}[/mm]
> (1- [mm]\bruch{1}{i})[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> zu
> 1.:
> Ich komme bis zum Induktionsschluss, wo bewiesen werden
> muss, dass
>
> 2 - [mm]\bruch{(n+1)+2}{2^{n+1}}[/mm] = 2 - [mm]\bruch{n+2}{2^{n}}[/mm] +
> [mm](\bruch{n+1}{2^{n+1}})[/mm]
Erweitere [mm] $\bruch{n+2}{2^{n}}$ [/mm] doch mal mit 2.
>
> Ich habe schon versucht die rechte Seite auf einen
> gemeinsamen Nenner zu bringen, um den Term richtig
> umzuformen, bin jedoch danach nicht weitergekommen.
> Ansonsten fällt mir ehrlich gesagt auch nichts ein wie es
> gehen könnte. Hat mir da jemand einen kleinen Tipp? :)
>
>
> ähnlich bei 2:
> [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] + (1- [mm]\bruch{1}{n+1})[/mm]
> Auch hier fehlt mir irgendwie jeglicher Ansatz. Kann mir da
> jemand weiterhelfen?
Diese Gleichheit stimmt ja auch nicht! Da ist irgendwo ein Fehler! In der Angabe? Vereinfachst du die rechte Seite, kommst du auf $0 = [mm] \frac{1}{n}$
[/mm]
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
zu 2:
[mm] \summe_{i=2}^{n} (1-\bruch{1}{i}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN \ge [/mm] 2
So ist die Aufgabe richtig, ich weiss nur nicht ob das ausschlaggebend war^^.
Ansonsten weiss ich nicht wo der Fehler liegen könnte.
zu 1: Dies habe ich auch schon versucht. Dann komme ich jedoch am ende auf
2- [mm] \bruch{3n + 5}{2^{n+1}} [/mm] , was doch nicht sein kann?
Meine Erweiterung mit 2 sieht so aus: [mm] \bruch{2n+4}{2^{n+1}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Fr 23.11.2012 | | Autor: | teo |
> zu 2:
> [mm]\summe_{i=2}^{n} (1-\bruch{1}{i})[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] für
> alle n [mm]\in \IN \ge[/mm] 2
> So ist die Aufgabe richtig, ich weiss nur nicht ob das
> ausschlaggebend war^^.
> Ansonsten weiss ich nicht wo der Fehler liegen könnte.
Also, ich weiß nicht, ob ich da einen Fehler mache, aber bei mir geht das nicht.
> zu 1: Dies habe ich auch schon versucht. Dann komme ich
> jedoch am ende auf
> 2- [mm]\bruch{3n + 5}{2^{n+1}}[/mm] , was doch nicht sein kann?
> Meine Erweiterung mit 2 sieht so aus:
> [mm]\bruch{2n+4}{2^{n+1}}[/mm]
Ich würde mal auf Vorzeichenfehler tippen:
[mm] $-\frac{n+2}{2^n} [/mm] = - [mm] \frac{2n + 4}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{-2n-4}{2^{n+1}} \Rightarrow -\frac{n+2}{2^n} [/mm] + [mm] \frac{n+1}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{-2n - 4}{2^{n+1}} [/mm] + [mm] \frac{n+1}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{-n-1}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] -\frac{n+3}{2^{n+1}} [/mm] = - [mm] \frac{(n+1) + 2}{2^{n+1}}$
[/mm]
Grüße
P.s.: Entschuldigung für den Fehler! Habs ausgebessert!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Okay vielen dank :).
Was ich jetzt nur noch nicht verstehe ist deine erweiterung des Bruchs mit 2. Da wird ja Zähler und Nenner mit 2 multipliziert.
d.h: [mm] \bruch{2 * (n+2)}{2^{n+1}}
[/mm]
d.h. doch dann: [mm] \bruch{(2n+4)}{2^{n+1}}
[/mm]
Oder stehe ich jetzt irgendwie auf dem Schlauch. :D
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Hallo Neongelb,
> Okay vielen dank :).
> Was ich jetzt nur noch nicht verstehe ist deine erweiterung
> des Bruchs mit 2. Da wird ja Zähler und Nenner mit 2
> multipliziert.
> d.h: [mm]\bruch{2 * (n+2)}{2^{n+1}}[/mm]
> d.h. doch dann:
> [mm]\bruch{(2n+4)}{2^{n+1}}[/mm]
>
Ja, das verstehst Du richtig.
> Oder stehe ich jetzt irgendwie auf dem Schlauch. :D
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
aber dann stimmt doch:
$ [mm] -\frac{n+2}{2^n} [/mm] = - [mm] \frac{2n + 2}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{-2n-2}{2^{n+1}} \Rightarrow -\frac{n+2}{2^n} [/mm] + [mm] \frac{n+1}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{-2n - 2}{2^{n+1}} [/mm] + [mm] \frac{n+1}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{-n-1}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] -\frac{n+1}{2^{n+1}} [/mm] $
nicht? oder doch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Fr 23.11.2012 | | Autor: | teo |
Habs ausgebessert! Schaus dir nochmal an! Entschuldigung
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Jetzt ist alles klar. Vielen, vielen Dank :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Fr 23.11.2012 | | Autor: | teo |
Die Summe 2 stimmt schon für n=3 nicht:
[mm] $1-\frac{1}{2} [/mm] + [mm] 1-\frac{1}{3} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}+\frac{2}{3} [/mm] = [mm] \frac{3}{6} [/mm] + [mm] \frac{4}{6} [/mm] = [mm] \frac{7}{6} \neq \frac{1}{3}$
[/mm]
Grüße
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